第七章 缝隙流动

第7章缝隙流动

一、学习目的和任务

1．掌握求解平行平板间缝隙流动、同心圆环缝隙流动问题的方法，分析缝隙大小对流量泄漏和功率损失的影响。

2．掌握平行圆盘间缝隙流动的特性以及圆盘对缝隙的作用力的计算。

3．了解变间隙宽度缝隙流动。

二、重点、难点

重点：平行平板间缝隙流动、平行圆盘间缝隙流动

难点：平行圆盘间缝隙流动求解方法、偏心圆盘缝隙流动

在机械和液压装备中存在着充满油液的各种缝隙，如滑板与导轨间的缝隙、活塞与缸筒间的缝隙、轴与轴承间缝隙、齿轮泵中齿顶与泵壳之间的缝隙等。这些缝隙流动对机械性能有很大的影响，特别是在液压传动中的影响更为显著。液压泵、液动机、换向阀等液压元件处处存在着缝隙流动的问题。缝隙过小则增大了摩擦，缝隙过大又会增加泄漏，所以缝隙大小的选择在液压元件设计中是一个重要问题。

本章主要介绍平行平板间的缝隙流、环形缝隙流、变间隙宽度中的流动、两平行圆盘间的缝隙流以及球面缝隙流。由于缝隙一般很小，缝隙流动的雷诺数都不大，在大多数情况下缝隙流动可看作是层流。

7.1 平行平板间的缝隙流

平行平板间流体运动微分方程导出方法

有两种，一是由N－S方程简化而来，二是基

于牛顿力学的动力平衡分析，并且因坐标系选

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择不同，得出速度分布方程也有所不同，但结论在本质上无差异。

7.1.1 由N －S 方程简化分析

平行平板间的缝隙流动是其他各种缝隙流动的基础，通常把流体两边的平面简化成水平放置的无限大平板。如图7-1所示；设一平行平板缝隙流的平板长为L ，宽为B ，缝隙

高度为h 。下面s 首先应用N －S 方程来讨论平行平板间流体运动，首先粘性力处于主导地位，故惯性力可不计，即

0===dt

du dt du dt du z

y x ；因缝隙甚小，质量力可不计0x y z f f f ===；假定流动为一维流，即0==z y u u ，x u u =。在上述条件下，由N

－S 方程可得如下方程。

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧

=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-0)(10)(10)()(1222222z

u y u x u z v z p z u y u x u y v y p z u y u x u x v z u y u x u v x p z

y z

y z

y ρρρ (7.1-1) 对于不可压缩流体0=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u z y ，又0==z y u u ，则⇒=∂∂0x u

022=∂∂x

u ，则上式进一步简化为

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-

00

0)(12222z

p y p

z u

y u v x

p ρ (7.1-2) 由式(7.1-2)知，压力p 仅为x 的函数，与y 和z 无关；即

dx

dp x p =∂∂；另外对于平行平面，单位长度上的压力损失是相同的，或者说压力减小服从线性分布规律，即L

p dx dp ∆-=（其中12p p p ∆=-）；再者，对于充分宽的平行平面，任意宽度坐标z 处的流动状态都

图 7-1 平行平面缝隙流

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是相同的，即

0=∂∂z

u

。根据上式条件和式(7.1-2)等价为 L p

dy

u d μ∆-=2

2 (7.1-3) 7.1.2 牛顿力学分析法

同样取坐标系如图7－1所示， 在流体中任意取一边长为dx 和dy 的平行六面体微小系统，设六面体左右两个面的压强分别为p 和p

p dx x

∂+∂，上下两个面上形心点上的切应力分别为dy y

τ

τ∂+

∂和τ，考虑到流体流动是定常、连续，不可压缩的，所以沿x 方向的力平衡方程为

0)()(=∂∂--+∂∂+

-dxdz dy y

dxdz dzdy dx x p p pdzdy τττ (7.1-4) 化简后则有

x

p

y ∂∂=∂∂τ (7.1-5) y 方向同样可以得到

p g x y

τρ∂∂=+∂∂ (7.1-6)

由于τ只是y 的函数，则上式中的

0x τ

∂=∂，并且缝隙中重力的影响可以忽略不计，所以 0p

y

∂=∂

(7.1-7)

可见在平面缝隙流动中，压强p 只是x 的函数，

p x ∂∂可以写成dp dx ，即L

p dx dp x p ∆-==∂∂，切应力只是y 的函数，

y τ∂∂可以写成d dy

τ

，即式(7.1-5)可写成 d p

dy L

τ∆=-

(7.1-8)

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缝隙流动一般都是层流，切应力与速度之间满足牛顿内摩擦定律du

dy

τμ=，代入上式则有

L p

dy

u d μ∆-=2

2 (7.1-9) 这就是平板中层流运动的常微分方程，这和N-S 方程推导出的式(7.1-3)一致。对上式积分得

2

1212p u y C y C L

μ∆=

++

(7.1-10)

积分常数1C 和2C 由边界条件决定。

7.1.2.1 在x 方向压强作用下固定平板之间的缝隙流动

上下平面均固定不动，由于两端压力差12p p p ∆=-的作用使流体在x 方向流动。由边界条件0=y ，0=u ；h y =，0=u ，可以得到积分常数

p L

h c ∆=

μ21，02=c

代入式(7.1-10)得到

)(22y hy L

p

u -∆=

μ（0>y ） (7.1-11)

这就是平行平板间的速度分布规律，在压强差p ∆的作用下，速度u 与x 之间是二次抛物线规律。如图7-2所示，这种流动称为压差流，也称为伯肃叶流。

最大速度发生在两平行平面中线处，把2

h

y =代入式(7.1-11)得

2

max 8h L

p u μ∆=

(7.1-12) 图7-2 压差流