(完整版)勾股定理(基础)知识讲解
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勾股定理(基础)
撰稿:吴婷婷 责编:常春芳
【学习目标】
1.掌握勾股定理的内容,了解勾股定理的多种证明方法,体验数形结合的思想;
2.能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长(只限于常用的数);
3.通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题,进一步运用方程思想解决问题.
【要点梳理】
【高清课堂 勾股定理 知识要点】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ,,斜边长为c ,那么222
a b c +=.
要点诠释:(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. (2)利用勾股定理,当设定一条直角边长为未知数后,根据题目已知的线段长
可以建立方程求解,这样就将数与形有机地结合起来,达到了解决问题的
目的.
(3)理解勾股定理的一些变式: 222a c b =-,222b c a =-, ()2
22c a b ab =+-.
要点二、勾股定理的证明
方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.
图(1)中,所以.
方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形.
图(2)中,所以.
方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.
,所以. 要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长,求第三边;
2. 用于解决带有平方关系的证明问题;
3. 与勾股定理有关的面积计算;
4.勾股定理在实际生活中的应用.
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .
(1)若a =5,b =12,求c ;
(2)若c =26,b =24,求a .
【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长.
【答案与解析】
解:(1)因为△ABC 中,∠C =90°,222a b c +=,a =5,b =12,
所以2222251225144169c a b =+=+=+=.所以c =13.
(2)因为△ABC 中,∠C =90°,222a b c +=,c =26,b =24,
所以222222624676576100a c b =-=-=-=.所以a =10.
【总结升华】已知直角三角形的两边长,求第三边长,关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边,再决定用勾股原式还是变式.
举一反三:
【变式】在△ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .
(1)已知b =6,c =10,求a ;
(2)已知:3:5a c =,b =32,求a 、c .
【答案】
解:(1)∵ ∠C =90°,b =6,c =10,
∴ 2222210664a c b =-=-=,
∴ a =8.
(2)设3a k =,5c k =,
∵ ∠C =90°,b =32,
∴ 222a b c +=.
即222(3)32(5)k k +=.
解得k =8.
∴ 33824a k ==⨯=,55840c k ==⨯=.
类型二、与勾股定理有关的证明
2、如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AM 是中线,MN ⊥AB ,垂足为N ,
试说明222
AN BN AC -=.
【答案与解析】
解:因为MN ⊥AB ,所以222AN MN AM +=,222
BN MN MB +=,
所以2222AN BN AM BM -=-.
因为AM 是中线,所以MC =MB .
又因为∠C =90°,所以在Rt △AMC 中,222AM MC AC -=,
所以222AN BN AC -=.
【总结升华】证明带有平方的问题,主要思想是找到直角三角形,利用勾股定理进行转化.若没有直角三角形,常常通过作垂线构造直角三角形,再用勾股定理证明.
举一反三:
【变式】如图,在△ABC 中,∠C =90°,D 为BC 边的中点,DE ⊥AB 于E ,则AE 2-BE 2等于( )
A .AC 2
B .BD 2
C .BC 2
D .D
E 2
【答案】连接AD 构造直角三角形,得
,选A .
类型三、与勾股定理有关的线段长
【高清课堂 勾股定理 例3】
3、如图,长方形纸片ABCD 中,已知AD =8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合,点B 落在点F 处,折痕为AE ,且EF =3,则AB 的长为( )
A .3
B .4
C .5
D .6
【答案】D ;
【解析】
解:设AB =x ,则AF =x ,
∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ,
∴ △ABE ≌△AFE .BE =EF ,
EC =BC -BE =8-3=5,
在Rt △EFC 中,
由勾股定理解得FC =4,
在Rt △ABC 中,()2
2284x x +=+,解得6x =.
【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题,最后通过勾股定理求解. 类型四、与勾股定理有关的面积计算
4、如图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,若a ,c 的面积分别为5和11,则b 的面积为( )
A .6
B .5
C .11
D .16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用,由b 是正方形,可求△ABC ≌△CDE .由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积.
【答案】D
【解析】
解:∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,
∴∠ACB=∠DEC ,
在△ABC 和△CDE 中,
∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△CDE
∴BC=DE
∵222
AB BC AC +=
∴222AB DE AC +=
∴b 的面积为5+11=16,故选D .
【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题,考查了对勾股定理几何意义的理解能力,根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键.
类型五、利用勾股定理解决实际问题
5、一圆形饭盒,底面半径为8cm ,高为12cm ,若往里面放双筷子(精细不计),那么筷子最长不超过多少,可正好盖上盒盖?