数学分析 第十章 无穷级数

也收敛, 且其和不变.
注. 收敛的级数可以任意加括号, 但不能去括号.

注. 给定 {an } , 生成级数 an , 得到它的部分 n1
和序列 {Sn } .

给定 {Tn } , 一定可以找到级数 bn , 使得{Tn } n1
是 bn 的部分和序列. n1

例6. 讨论等比级数 qn 的敛散性. n0
n bn
(1)当 0 l 时,

an
与

bn
同时收敛或
n1
n1
同时发散;


(2)当
l 0 时, 如果 bn n1
收敛, 那么 an 收敛; n1
(3)当
l


时,
如果


bn发散,
那么


an
发散.
n1
n1
例4.
讨论


n1
n

. lim an1
n an

lim n
n
an
lim n n
an
lim an1 n an
5.Raabe判别法

定理2.7. 设 an 为正项级数, 且 an 0,n , n1
又设
r


lim
n
n

an an1
1
.
则 (1)当 r 1
第十章 无穷级数
§1 无穷级数的基本概念
1.无穷级数的概念
设 {an }是一个序列. 我们称和式
a1 a2 L an L

为一无穷级数, 简写成 an , 简称级数.
n1
an 称为通项.
2.无穷级数的收敛与发散

给定级数 an , 将前 n 项之和 n1
n
Sn a1 a2 L an ak k 1
例9. 设
0, s 0
, 讨论
n
n1 ns
的收敛性.
例 10.
证明:
1



xn
对任意的
x

R都收敛.
n1 n!
例 11.
讨论


n1
2

(1)n 2n
的收敛性.
注. Cauchy判别法比d’Alembert判别法适用 范围广.
命题 2.1. 设an 0,n 1,2,L , 则
(2)
lim
n
an

0
,
则
(1)


(1)n1
an
ຫໍສະໝຸດ Baidu
收敛,
n1
(2)余和
rn (1)n2 an1 L


(1)k1 ak
k n1
的符号与第一项 (1)n2 an1 的符号相同, 且
rn an1 .
注. 满足定理3.1中条件(1),(2)的级数, 称为 Leibniz型级数.
bn
发散.
n1
例2. 证明: 当
p 1时,
1
n1 n p
发散;
当
p
1时,
1
n1 n p
收敛.
注.
1
n1 n p
称为 p
级数.


1
称为调和级数.
n1 n
思考题.

证明:
设
an
n1
是正项级数,
且 {an }单调下降

则 an 收敛的充要条件是: n1
F (n)

n
1
f
( x)dx
有界.
例 13.
讨论


n2
n
1 ln p
n
的收敛性.
§3 任意项级数
1.交错级数
形如
a1 a2 a3 a4 L (1)n1an L
的级数称为交错级数, 其中an 0, n 1,2,L .
定理3.1.(Leibniz判别法) 若 {an }满足 (1) 0 an1 an , n 1,2,L ;
例 2. 证明:
1
n1 n2
收敛.
例3. 证明:


n1
1 n

1

1 2

1 3

L
发散.

注. an 发散的充要条件是: 0 0 , N ,
n1
n N , p, 使得
Sn p Sn 0 .
例 4.
证明:


(1)n1
n1 n
1
1 2
n
Bn k M , n 1,L , m , k 1
则
m
k k M 1 2 m
k 1
定理3.2.(Dirichlet判别法)
若(1)
{an }单调, 且
lim
n
an

0
;

(2) bn 的部分和有界, 即 M 0 , 使得 n1
Bn b1 L bn M , n 1,2,L ,
(3)当 r 1 或 r 1 时, 不能由此法判别收敛
性.
推论.
设


an
为正项级数,
且
an 0,n
,
n1
又设 r lim an1
n an
.
则 (1)当 r 1 时,

an
收敛;
n1
(2)当
r 1
时,

an
发散;
n1
(3)当 r 1 时, 不能由此法判别收敛性.

1 3
L
收敛.
5.收敛级数的性质


定理1.3. 若 an 收敛, 则 an 收敛.
n1
n1
注. 反之不成立.
例 5.
证明:


n1
n
sin
(
1)n n3
收敛.


定理1.4. 若 an 和 bn 都收敛, 和分别为
n1
n1

A, B , 则对任意实数 , , (an bn ) 也
n1
收敛, 和为 A B.
思考.


若 an 收敛, bn 发散, 能否推出
n1
n1


(an

bn
)
发散?
n1


若 an 发散, bn 也发散, 能否推出
n1
n1

(an bn ) 发散?
n1
定理1.5. 若存在 N0 , 使得 an bn ,n N0 , 则
证明:
当
p

1时,


n1
(1)n1 np
绝对收敛.
例 2.

讨论 n1
xn ns
(s

0)。
3.Abel判别法与Dirichlet判别法 设有两组数 1 ,L ,m 和 1,L , m .
令 B1 1 , B2 1 2 , L , Bm 1 L m .
则


an
发散.an
n1
定理2.6.(d’Alembert判别法的极限形式)

设
an
n1
为正项级数,
且 an

0, n,
又设
r lim an1 , r lim an1 .
n an
n an

则 (1)当 r 1
时, an n1
收敛;

(2)当 r 1 时, an 发散; n1

k0 2k a2k a1 2a2 4a4 8a8 L
收敛.
例3. 讨论下列级数的收敛性
(1)


ln
n
n1 n
(2)


n1
n4 n2 2
定理2.2. (比较判别法的极限形式)

设 an 和 n1

bn
n1
是正项级数,
且 bn
0
,
又设 lim an l . 则有下列结论
1

cos
1 n

的收敛性.
例 5.


n
p
sin
1
讨论的收敛性,
其中 p 0.
n1
n
例 6.
讨论

n1 2n
1 1 sin2
n3
的收敛性.
3.Cauchy判别法

定理2.3. 设 an 为正项级数. n1
(1) 若存在自然数 N 及q 1 , 使得
n an q 只要 n N ，
例 1.
证明:


n1
n2
1 n

1
收敛.
2.比较判别法


定理2.1. 设 an 和 bn 是正项级数, 且 N0,
n1
n1
使得 an bn ,n N0 .
则


(1)
如果
bn
n1
收敛, 那么
an
n1
收敛;
(2)
如果

an
n1
发散, 那么

又设
r


lim
n
n

an an1
1
.
则 (1)当 r 1
时,

an
收敛;
n1

(2)当 r 1 时, an 发散; n1
注. 当
r

lim
n
n

an1 an
1 1
时, 不能由此法判
别收敛性. 例如
1

n2
n
ln
p
n
注. 单调递减的条件非常重要.
例如


(
1)n1
an
,
其中
n1
a2n

1 (2n)2
,
a2 n1

1.
2n 1
2.绝对收敛与条件收敛
定义.
若


an
收敛,
则称


an
绝对收敛.
n1
n1

若 an 收敛, 但 n1

an
n1
发散,
则称


an
n1
条件收敛.
例 1.
则有Abel变换式
m
m1
k k (k k1 )Bk m Bm .
k 1
k 1
注. Abel变换式也称作分部求和式.
引理3.1.(Abel引理) 若 {k }mk1 单调, 又 {k }mk1 的部分和式 {Bn }nm1
有界, 即 M 0 , 使得
则
lim
n
an
0
.
例 1.
证明:


ln

1
n1

1 n

发散.
注. an 0仅仅是级数收敛的必要条件.
4.Cauchy收敛原理

定理1.2. an 收敛的充要条件是: 0, N , n1
当 n N 时, 对任意的自然数 p ,
Sn p Sn an1 L an p .
时,

an
收敛;
n1

(2)当 r 1 时, an 发散; n1
引理2.1. 设 1 , 则存在 0 , 使得 当 0 x 时, 1 x (1 x) .
5.Raabe判别法

定理2.7. 设 an 为正项级数, 且 an 0,n , n1
(2)当
r 1
时,

an
发散;
n1
.则
(3)当 r 1 时, 不能由此法判别收敛性.
例7. 讨论
en
n1 nn
的收敛性.
例 8.
考虑级数


an
x
n
,
n1
并设s lim n n
an .
证明:
(1)当s 0时, x R
,


an
xn
收敛.
n1
(2)当0 s 时, 对满足 x 1 的 x,


an 与 bn 同时收敛或同时发散.
n1
n1
注. 改动一个级数的有限项值, 不改变级数的 敛散性.

定理1.6. 若 an 收敛, 则在保持项的次序不 n1
变的条件下, 任意加括号所形成的级数
a1 L ai1 ai11 L ai2 L
s


an
x
n
收敛.
n1
4.d’Alembert判别法

定理2.5. 设 an 为正项级数, 且 an 0 . n1
(1)若存在自然数 N 及 q 1 , 使得
an1 q 只要 n N ，

则 an
an
收敛;
n1
(2)若存在自然数 N , 使得
an1 1 只要 n N ,
.
例
12.讨论


n1
(2n 1)!! (2n)!!
1 2n
1
6.积分判别法

定理2.8. 设 an 是正项级数. 若存在[1, ) n1
上连续非负单调递减函数 y f ( x) , 满足
an f (n) , n 1,2,L ,

则
an
n1
收敛的充要条件是:

则 anbn 收敛. n1
注. Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.
定理3.3.(Abel判别法) 若 (1) {an }单调, 且有界, 即 M 0 , 使得
an M , n 1,2,L ,

则 an 收敛; n1
(2) 若存在自然数 N , 使得
n an 1 只要 n N ,

则 an 发散. n1
定理2.4.(Cauchy判别法的极限形式)

设 an 为正项级数, 且 n1
lim n
n
an

r

(1)当 r 1 时, an 收敛; n1
§2 正项级数
通项非负的级数称为正项级数.

n
设 an 是正项级数, Sn ak .
n1
k 1
{Sn }单调上升. 要么 {Sn } 有上界, 要么
Sn .
1.正项级数收敛的充要条件
基本定理.
设


an
是正项级数.
则


an
收敛
n1
n1
的充要条件是: 其部分和序列{Sn }有上界.
称为

an
的前
n
项部分和,
或简称部分和.
n1

定义.
若
an
n1
的部分和序列
{Sn
}
,
当
n


时,

有极限, 则称级数 an 收敛, 记 n1

S

an
n1

lim
n
Sn
称为级数的和;
否则称

an
发散.
n1
3.收敛的必要条件

定理 2.1.
若 an 收敛, n1