数学思想方法的几次重大转折
数学思想的几个进化阶段
数学思想的几个进化阶段数学是一切自然科学的重要基础，而数学的发展本身又表现出与其他自然学科极大的个性，传统自然学科带有显著的固然性和机械性，而数学本身则不仅带有极强的自明性和客观性，而且随其发展还逐渐衍生出自为性。
数学方法于自然科学及数学本身之重要性已无须过多赘言，理解数学思想发展的几个进化阶段，是获取数学方法思维自由度的根本。
（1）关系机械系统阶段首先数学被视作关系机械系统，即此时的数学以客观世界抽象所得之机械几何公理、代数数值运算公理系统为其绝对前提和判决标准。
代数数值运算公理是自然计算所产生的，机械几何公理系统的生成过程则是漫长而复杂的，早期的机械几何公理其实不成体系，只是一些人们在生产实践过程中在直观上形成了一些极其熟悉的基本数学元素和概念，例如直线、平面角，这些要素在应用几何学的发展过程中始终都作为一种基础要素存在。
仅就欧几里德几何体系的公理部分而言，与其说其为一种严密逻辑根源的总结，毋宁说是一种“从最简约的基本概念出发”的一种朴素试探的结果。
作为有史以来最漫长的数学发展阶段，数学关系机械系统阶段不是简单一贯的，而是在漫长的简单一贯以后逐渐地随物理、化学、系统科学等其他学科之发展俱进。
几乎可以确定地说，无论是否认可欧几里德实有其人，几何原本的归纳方法几乎是可以确认的——首先，按照几何对象的复杂度进行分类，依从点、线、面、体的基本顺序对各类命题进行自下而上的金字塔层次划分，对每一类定理的每一定理假设其成立，然后以此为起点，结合其基层的定理得到另外一些同层定理或上层定理，由此逐层遍历，直到已知的所有命题，挑选其中完整覆盖全部命题节点、且原因命题节点最少（即针对任意目标命题，以最简约的原始命题即推得目标命题的逻辑路径，才能被认为是逻辑体系的路径；其余路径皆可认为有所冗余）的一颗逻辑树（生成的逻辑树方案很可能不止一种），作为几何原本最终的逻辑体系。
古代西方利用几何模型解方程的思想带有显著的数学机械化特色，尽管这种解方程的方法带有狭隘性（无法表达负根），但就其解决问题的思路本身而言极具价值——对构造的艺术启发意义尤大。
2数学思想方法的几次突破
2数学思想方法的几次突破数学思想方法的几次突破就数学发展的历史进程来看，从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机性数学是数学思想方法的几次重要的突破。
第一节从算术到代数一、算术的局限性随着社会的发展，人类认识到算术在理论上的限制了其自身的发展，主要表现在他限制抽象的未知数参与运算，只允许具体的、已知的数进行运算，因而导致其在解决问题的方法上存在局限性。
这种局限性在很大程度上限制了其应用范围，从而促使了新的数学分支――代数的产生。
二、代数的产生算术的内容反映了物体集合数量关系，这些内容是在分析和概括大量实际经验的基础上加以抽象出来的，从而产生了纯粹形式上的算术。
符号化一方面推动了算术的发展，另一方面也为代数的产生奠定了基础。
代数讨论正整数、正分数和零，还讨论负数、虚数和复数。
其特点是用字母符号表示各种数，最初的研究的对象主要是代数式的运算和方程的求解。
代数解题的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含移植术和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
因此，代数是一门关于形式运算的学说。
代数学形成的三大阶段：文字代数阶段；简写代数阶段；符号代数阶段。
因此，代数是一门关于形式运算的学说。
代数学形成的三大阶段：文字代数阶段：即全部解法都用文字语言表达；简写代数阶段：即用简化的文字表达一些经常出现的量、关系和运算；符号代数阶段：即普遍使用抽象符号，这时采用的各种符号同它们的实际内容和思想几乎没有明显的联系。
三、代数学体系结构的形成17世纪初期，韦达和笛卡尔等人在数学中系统地引入了符号，人们才真正把代数理解为对文字计算的理论。
当时代数涉及的面非常广，不属于纯几何的内容都是它研究的对象，如级数、对数、解代数方程、解方程组以及解不定方程等。
伽罗瓦建立的理论称为伽罗瓦理论，给数学中的最古老的用尺规作图的可能性问题提供了一个判别方法。
从而引进了群和域等抽象代数的概念，使代数学的发展进入了抽象数学的阶段。
数学思想方法研究的对象与范围
数学思想方法研究的对象与范围关于数学思想方法研究的对象与范围一、数学思想方法的历史演进对数学思想方法作为历史的考察，并分析其演变、发展的规律是数学思想方法研究的首要内容。
其具体可分为两大类：第一，数学思想方法的系统进化，即从整体上进行研究。
比如，从古至今，数学思想方法发生了多少次重大转折，每一次转折如从算术到代数、从综合几何到几何代数化、从常量数学到变量数学、从必然数学到或然数学、从明晰数学到模糊数学以及从手工证明到机器证明等，都是孕育和产生的，其要点和作用是，均属于这一类。
第二，数学思想方法的个体发育，主要是研究每一个数学思想产生、演变和发展的规律，以及本身的特征，在数学发展中的作用和方法论价值等。
广义一点讲，从思想方法角度来研究概念、运算、公式、定理乃至学科产生发展的历史，也可看成是此类研究的范围。
二、数学的思维方式与数学研究的基本方法数学的主要思维方式是什么?这是数学家们历来关注的一个重要问题。
本世纪初以来，围绕什么是数学的基础问题的讨论，逐步形成了三个不同的学派，即逻辑派，直党派与形式公理派。
如果从思维方式上看数学基础问题的讨论，可以说，在逻辑主义学派看来，数学的主要思维方式是逻辑思维；在直觉主义学派看来，数学的主要思维方式是直觉（或灵感）思维；在形式主义学派看来，数学的主要思维方式是以符号为特征的纯粹的抽象思维。
到底什么是数学的主要思维方式?辩证思维在数学尤其是高等数学中占有怎样的地位?仍是一些尚待解决的问题。
数学中的一些常用方法，诸如公理法、模型法、构造法、解析法、递归法、极限法、逐次逼近法、统计法、对偶法、关系映射反演法、数学归纳法、反证法等，这是大家所熟悉的。
那么，数学中到底有哪些基本方法?每个方法又是怎样产生和发展的，其特征和作用如何?这是一些具有重要方法论价值且至今没有很好解决的研究课题。
三、数学家的思想方法数学家是在数学研究中做出贡献的人，而数学家之所以取得成果做出贡献，又往往与他在思想方法上实行某种变革有关，因此，考察与剖析数学家特别是著名数学家的思想方法，是把握数学思想方法的重要方面，也是探讨数学创造规律，加强数学人才培养不可缺少的研究内容。
数学发展史中的几次重大思想方法的突破图文稿
数学发展史中的几次重大思想方法的突破集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-1. 承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放古希腊有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。
他们认为“数”是万物的本源，是数学严密性和次序性的唯一依据，是在宇宙体系里控制着自然的永恒关系，数是世界的准则和关系，是决定一切事物的，“数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。
因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。
他们所说的数是指整数。
分数的出现，使“数”不那样完整了。
但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。
但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。
万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。
无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条，打破了所谓给定任何两个线段，必定能找到第三个线段使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
这样，原先建筑在可公度量上的比例和相似性的理论基础就出问题了。
这是数学史上的第一次危机。
2．2 微积分的产生是第二次思想解放第二次数学危机源于极限概念的提出。
作为极限概念确立的伟大成果的微积分是不能不讲的。
微积分的问题，实际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四道屏障，这就是他提出的四个有名的悖论。
二分法悖论、阿基里斯悖论、箭的悖论、操场悖论。
牛顿在发明微积分的时候，牛顿合理地设想：Δt越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。
这一新的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。
大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。
但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。
贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。
实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。
数学思想方法的重大突破分析
数学思想方法的重大突破分析数学思想方法的重大突破分析一、机器证明的必要性和可能性定理机器证明的出现不是偶然的，而是有其客观必然性，它既是电子计算机和人工智能发展的产物，也是数学自身发展的需要。
首先，现代数学的发展迫切需要把数学家从繁难的逻辑推演中解放出来。
我们知道，任何数学命题的确立都需要严格的逻辑证明，而数学命题的证明是一种极其复杂而又富有创造性的思维活动，它不仅需要根据已有知识和给定条件进行逻辑推理的能力，而且常常需要相当高的技巧、灵感和洞察力。
有时为寻找一个定理的证明，还需要开拓一种全新的思路，而这种思路的形成竟要数学家们付出几十年、几百年乃至上千年的艰苦努力。
如果把定理的证明交给计算机去完成，那就可以使数学家从冗长繁难的逻辑推演中解放出来，从而可以把精力和聪明才智更多地用于富有开创性的工作，诸如建立新的数学概念，提出新的数学猜想，构造新的数学命题，创造新的数学方法，开辟新的数学领域等等，由此提高数学创造的效率。
其次，机器证明的必要性，还表现在数学中存在着大量传统的单纯人脑支配手工操作的研究方法难以奏效的证明问题。
这些问题往往因为证明步骤过于冗长，工作量十分巨大，使数学家在有生之年无法完成。
电子计算机具有信息储存量大，信息加工及变换的速度快等优越性，这就突破了人脑生理机制的局限性与时空障碍。
也就是说，如果借助电子计算机的优势就有可能使某些复杂繁难的证明问题得以解决。
“四色猜想”的证明就是一个令人信服的范例。
“四色猜想”提出于19世纪中叶，它的内容简单说来就是：对于平面或球面的任何地图，用四种颜色，就可使相邻的国家或地区区分开。
沿着传统的手工式证明的道路，数学家们做了各种尝试，结果都未能奏效。
直到1976年，由于借助于电子计算机才解决了这道百年难题。
为证明它，高速电子计算机花费了120个机器小时，完成了300多亿个逻辑判断。
如果这项工作由一个人用手工去完成，大约需要30万年。
第三，机器证明的可能性，从认识论上看，是由创造性工作和非创造性工作之间的关系决定的。
数学发展史中的几次重大思想方法的突破
数学发展史中的几次重大思想方法的突破1. 承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放古希腊有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。
他们认为“数”是万物的本源，是数学严密性和次序性的唯一依据，是在宇宙体系里控制着自然的永恒关系，数是世界的准则和关系，是决定一切事物的，“数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。
因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。
他们所说的数是指整数。
分数的出现，使“数”不那样完整了。
但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。
但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。
万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。
无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条，打破了所谓给定任何两个线段，必定能找到第三个线段使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
这样，原先建筑在可公度量上的比例和相似性的理论基础就出问题了。
这是数学史上的第一次危机。
2．2 微积分的产生是第二次思想解放第二次数学危机源于极限概念的提出。
作为极限概念确立的伟大成果的微积分是不能不讲的。
微积分的问题，实际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四道屏障，这就是他提出的四个有名的悖论。
二分法悖论、阿基里斯悖论、箭的悖论、操场悖论。
牛顿在发明微积分的时候，牛顿合理地设想：Δt越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。
这一新的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。
大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。
但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。
贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。
实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。
数学发展史中的几次重大思想方法的突破
数学发展史中的几次重大思想方法的突破首先，公理化方法是数学发展史中一次重要的思想方法的突破。
在古希腊数学中，几何学以欧几里德的《几何原本》为代表，第一次使用公理化方法来建立数学理论体系。
公理化方法是基于一系列不需要证明但被普遍接受的基本命题（公理）来建立数学理论。
这种方法赋予了数学以逻辑和严谨性，成为后来数学发展的基石。
其次，演绎推理是另一个重大的思想方法的突破。
亚里士多德是演绎推理的先驱者，他系统地阐述了逻辑学和演绎推理的原理。
演绎推理是通过采用一套准则和规则，从已知的命题出发，以无可争辩的方式推出新的结论。
这一思想方法的突破加深了数学证明的严谨性和逻辑性，并为后来符号逻辑和集合论的发展奠定了基础。
第三，无限元素和无穷极限的概念的引入是数学史中的重大突破。
在古希腊数学中，人们主要关注有限的几何图形和数量，直到十七世纪才发展出对无限的概念。
这个突破是由数学家如托勒密、阿基米德和爱因斯坦的贡献推动的。
无限元素和无穷极限的概念赋予了数学一种新的动力和可能性，使得数学能够处理更为复杂的问题，并在微积分的发展中发挥了重要作用。
最后，抽象代数的发展也是一次重要的思想方法的突破。
抽象代数通过研究代数结构中的一般性质和规律，摆脱了具体的数值和几何直观，深化了对数学结构本质的理解。
这一突破由数学家如埃瓦里斯特·加罗华、诺特·亨德里克·阿贝尔和埃米尔·诺特贝克推动，对现代数学的发展起到了关键的作用，例如群论和环论等数学分支。
这些重大思想方法的突破不仅创造了数学的新领域和方法，也为科学和技术的发展提供了坚实的基础。
它们推动了数学从实用主义的学科向一门更为抽象和理论的学科的转变，使得数学的研究更加深入、广泛和严谨。
无论是公理化方法、演绎推理、无限元素和无穷极限，还是抽象代数的突破，它们都是数学史上的重要里程碑，对数学的发展产生了深远的影响。
数学思想方法的几次重要突破
第二章数学思想方法的几次重要突破一、数学思想方法的几次重要突破内容概述从数学思想方法的角度来认识数学的发展是理解数学的重要方面。
《数学思想方法》这门课程的第二章主要从思想方法的角度分析了从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机数学转变的背景、原因、过程和意义。
从数学发展的角度来看，认真理解数学上的这几次突破对于我们学员从整体上理解数学思想方法都是十分必要的。
因此，本章的主要内容有：● 算术、算术的局限性和代数的产生、意义；● 常量数学局限性，变量数学的产生、发展和意义；● 确定性数学的局限性、随机数学的产生、发展和意义。
下面分别从这三个方面来分析：1. 算术、算术的局限性、代数的产生和意义● 算术算术是我们每一个人开始学习数学时必须学习的、不可回避的内容，也是一门古老的、原始的数学。
而算术式的思维是一个人数学思维发展的基础，离开了算术思维和直观几何思维来理解数学是十分困难的。
那么什么是算术呢？古代算术的主要研究的内容是正整数、零和正分数的性质与四则运算。
算术理论的形成标明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。
算术作为重要的数学工具之一，在人类社会中有着广泛的应用。
通过它，人类能够行之有效地解决在社会实践中遇到的大量问题，如行程问题，工程问题，流水问题，分配问题和盈亏问题等。
● 算术的局限性但是随着社会的发展，人类认识到算术在理论上限制了其自身的发展，在应用上面临了不能满足社会实践的需要。
这主要表现在它限制抽象的未知数参与运算，只允许具体的、已知的数进行运算。
因而导致其在解决问题的方法上存在局限性。
这是因为算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出用已知数据表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。
这种方法的关键之处是列算式。
但是面临具有较为复杂数量关系的实际问题时，列算式是非常困难的，因此这种方法比较笨拙，甚至无法解决问题。
数学思想方法教学主要有多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段,...
数学思想方法教学主要有多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段，三个阶段相互依赖、相互促进不可或缺。
对此，可从下列几个方面加以理解：第一、多次孕育阶段。
数学思想方法教学的多次孕育阶段，是根据学生学习数学思想方法存在潜意识阶段而设计的。
因为潜意识的作用是缓慢的、渐进的，所以要反复孕育，而且对于复杂的、难度较大的思想方法，孕育的次数也相应多些。
如，在教学化归方法归时，我们可以采取：首先在教“平行四边形面积”时孕育化归方法。
要求学生通过把平行四边形化为长方形，再利用长方形的面积公式来推导出平行四边形的面积公式。
如图12-1(1)所示。
在教“三角形面积”时进一步孕育化归方法。
要求学生将三角形化为平行四边形，利用平行四边形的面积公式导出三角形的面积公式。
如图12-1(2)所示。
第二、初步理解阶段。
数学思想方法教学的初步理解阶段，是根据学生学习数学思想方法存在明朗化阶段而设计的。
当学生对某种数学思想方法的感性认识和经验已经比较丰富了，我们就可以从正面地、直接地介绍某种数学思想方法，并要求学生初步掌握该方法解决问题的要领。
如，经过前面多次孕育后，在教学“加法和乘法交换律”时，我们引领学生对一些特殊的例子进行观察、归纳、提出猜想(交换律)和验证猜想(交换律)，使他们亲历了用归纳猜想方法获取新知识的过程，再让学生初步理解归纳猜想方法就是水到渠成。
第三、简单应用阶段。
数学思想方法教学的简单应用阶段，是根据学生学习数学思想方法存在深化理解阶段而设计的。
这个阶段主要是为学生应用已经初步形成的思想方法创造条件，力求使学生在解决问题的实践过程中逐步深化对数学思想方法的理解。
如，当学生初步理解归纳猜想方法后，引导学生猜想减法和除法是否有交换律，要求学生自己进行归纳猜想和验证猜想，从而使学生加深了对归纳猜想方法的理解和认识。
数学思想方法的几次重大转折,模糊数学介绍
第三讲，数学思想方法的几次重大转折，模糊数学介绍一，导引历史表明，数学的发展不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。
数学思想方法的四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。
分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。
二，从算术到代数算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。
算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。
从算术发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的一次突破，也是数学在思想方法上发生的一次重大转折。
1．1，代数解题法的产生算术解题法是人类文化发展的初期阶段就产生了，它标明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。
然而，算术解题法却带有很大的局限性。
这是因为，它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的未知数参加。
结果，产生出新的解题法——代数解题法。
1．2，代数解题法的基本思想在算术解题法中，未知数是不允许作为运算对象的，它没有参加运算的权利。
而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。
在这个统一体中，未知数也变成了运算对象，并和已知数一样，可以接受和执行各种运算指令。
解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。
解方程是代数学中最基本的内容，在数学中占有重要的地位。
它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对后来整个数学的进展产生巨大的影响。
三，从常量数学到变量数学算术，初等代数，初等几何和三角构成了初等数学的主要内容。
初等数学以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象，因此这部分称为常量数学。
运用常量数学可以有效地描述事物和现象相对稳定地状态。
可是，对于描述运动和变化却无能为力，于是便产生了从量上描述事物运动和变化规律的数学——变量数学，近代数学本质上可以说是变量数学。
7种数学思想的演变
7种数学思想的演变数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
下面是有7种数学思想的演变，欢迎参阅。
不会这7种数学思想你凭什么走过高考独木桥第四个思想：化归与转化这个思想主要是想将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。
跟数形结合思想有点点类似，但是这个方法更具有灵活性和多样性，没有统一的模式，需要大家去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。
经常用的几个转化的思路总结如下：(1)立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，(2)多元问题，要转换为少元问题，(3)高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，(4)复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等。
但是转化时一定要注意等价转化，切忌做题给自己挖坑。
【例题】这个题目的四面体只有全等，并没有其他的条件，若直接求解，肯定是难以下手。
那按照立体几何问题的转化思路，我们想转化为平面问题，并且角度问题可能需要放到三角函数中或者三角形中求解，关键是题目如何构造与转化。
接下来是转化思路大家可以体会一下。
第五个思想：特殊与一般思想这个思想是由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论，由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识的思想。
做选择题时用这个思想可以大大缩短解题时间。
做题时经常会构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程等思路求化简问题。
下题首先考虑的是一般性的结果：任意函数f(x)当x=1时取得最小值,然后再根据题目的要求,对特殊的函数值进行比较。
【例题】第六个思想：有限与无限思想立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用，这个思想考察的目前比较少，但是也需要重视一下，创新知识的考查是近几年考查的重点内容。
第七个思想：或然与必然思想这个思想大家听得可能也比较少，但是这个思想主要应用在统计与概率板块。
模糊数学
模糊数学结课论文摘要：模糊数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。
1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。
是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。
它使过去那些与数学毫不相干或关系不大的学科都有可能永定量化和数学化加以描述和处理。
模糊数学自诞生以来取得迅猛的发展，目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。
在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。
关键字：模糊数学内容发展应用实例分析引言：模糊数学作为一种新型学科，在人类的实际生产生活中有着不可磨灭的作用。
生活中存在着一系列抽象的，界限模糊的食物以及概念。
而此类问题用经典数学理论是无法解决的，往往很棘手。
但是在用到这种新型模糊数学理论体系就可以轻轻松松的解决掉他们。
随着计算机和信息技术的高速发展，数学的应用范围急剧扩展，特别是近年来对模糊数学理论的研究，已经渗透到数学以及其他自然科学和社会科学的许多领域。
其应用之广泛已经遍及理工农医各个方面。
正文一、模糊数学的概念的内容及发展1-1定义模糊数学，是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学，是指在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拖扑、模糊测度论等数学领域。
所谓“模糊性”主要指客观事物差异的中间过渡界限的“不分明性”。
在地质学上，如储层的含油气性、油田规模的大小、成油地质条件的优劣等。
这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量内部分级没有明显界限。
模糊观念的理论强调以模糊逻辑来描述现实生活中实物的等级，以弥补古典逻辑（二值逻辑）无法对不明确定义边界事物描述的缺点。
1-2 产生与发展模糊数学是一门新兴学科，是研究和处理模糊性现象的数学理论和方法，它不是让数学变得模糊，而是让数学研究进入到模糊现象这样的领域。
1965年美国控制论学者扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。
该学科的发展主流在它的应用方面，由于模糊性的概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊数学的方法来描述。
2数学思想方法的几次突破
2数学思想方法的几次突破
数学思想方法在历史上有多次突破，其中最重要的有三次突破：第一
次突破是古希腊人希赫罗的费马小定理；第二次突破是17世纪威廉·布
鲁诺马尔可夫的法则；第三次突破是20世纪费马的原子模型。
以下将分
别阐述这三次数学思想方法的突破。
第一次突破是古希腊数学家希赫罗的费马小定理。
费马小定理是17
世纪希腊数学家希赫罗倡导的一个有趣的定理，它证明了一个简单的数学
命题：“一个整数的素因子之和等于它本身，则它是一个完全数”。
希赫
罗的费马小定理不仅提供了一个有趣的数学思想，而且对于数学史上又一
次产生了深远的影响。
在费马小定理的引导下，数学家开始在阶乘、素数、分数等范围内系统地探索数学问题，以及进行多角度的分析和比较，从而
发展出数学思想方法的突破。
第二次突破是17世纪威廉·布鲁诺马尔可夫的法则。
布鲁诺马尔可
夫的法则指的是一种归纳法，它指出：如果一个命题对所有的情形都是正
确的，则它总是正确的。
这一突破时期布鲁诺的定理得到了广泛的应用，
已经成为许多数学领域中的基本法则，从而极大地拓宽了数学的发展方向，并为数学思想方法提供了一定的依据。
数学的演变与数学思想的发展
数学的演变与数学思想的发展数学是一门古老而又深奥的学科，它伴随人类社会的进步而不断演变和发展。
数学思想的发展是数学演变的核心，本文将探讨数学的演变过程以及数学思想的发展。
1. 古代数学的起源古代数学的起源可以追溯到公元前3000年的古埃及和古巴比伦。
这些文明的人们开始应用数学知识解决土地测量、建筑施工等实际问题。
古代数学以几何学和算术学为主要表现形式，例如古埃及人发展了用于计算面积和体积的几何方法，而古巴比伦人则开创了利用简单的计算法则解决算术问题的方法。
2. 古希腊数学的飞跃古希腊是数学思想迈向飞跃的时期。
在古希腊，毕达哥拉斯学派成为引领数学发展的力量。
毕达哥拉斯学派强调数与形之间的关系，他们将数学从实际问题的解决中解放出来，开始关注纯粹的数学研究。
毕达哥拉斯定理便是他们对勾股定理的贡献。
而欧几里得的《几何原本》则成为古希腊数学的里程碑，为后来的数学发展奠定了坚实的基础。
3. 中世纪的挣扎与突破中世纪是数学发展的一个相对停滞的时期，欧洲的数学受到教会的限制。
然而，阿拉伯数学家的贡献使得数学思想得以传播。
他们翻译和扩展了古希腊和古罗马的数学著作，引入了印度数字系统以及代数学的基本概念。
阿拉伯数学家的成就为欧洲的文艺复兴打下了基础。
4. 近代数学的爆发与重塑近代数学的发展标志着数学思想的一个重要转折点。
17世纪的数学家伽利略和笛卡尔将数学与自然科学相结合，将代数学引入几何学，开创了解析几何学的时代。
同时，微积分的发展使得数学成为解决物理和工程问题的有力工具。
牛顿和莱布尼茨的微积分成果使得数学发展进入了一个新的阶段。
5. 现代数学的多元化进入20世纪，数学的发展更加多元化。
数学的各个分支如数论、代数、拓扑学、概率论等都有了巨大的突破。
发展迅猛的计算机科学进一步推动了数学的发展，使得数学成为解决实际问题的重要工具。
数学思想也逐渐从传统的纯粹数学转向应用型和交叉学科。
数学思想的发展使得人们对抽象和逻辑推理的理解更加深入。
数学思想方法的几次重大转折
数学思想方法的几次重大转折历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。
数学思想方法在历史上经历了四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。
回顾、总结和分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。
1.从算术到代数算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。
算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。
从算数发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的突破，也是数学在思想方法上的一次重大转折。
在算术解题法中，未知数是不允许作为运算的对象的，它们没有参加运算的权利。
而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。
在这个统一体中，未知数和已知数有着同等的权利，即未知数在这里也变成了运算的对象，它们不再是消极、被动地静等在等式的一边，而是和已知数一样，可以接收各种运算指令，并可以依照某种法则从等式的一边移到另一边。
解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。
解方程是古典(经典)代数最基本的内容。
方程在数学中占有重要的地位，它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对整个数学的进程产生巨大的影响。
特别是数学中的许多重大发现都与它密切相关，例如，∙对二次方程的求解，导致虚数的发现；∙对五次和五次以上方程的求解，导致群论的诞生；∙对一次方程组的研究，导致线性代数的建立；∙应用方程解决几何问题，导致解析几何的形成；∙等等。
显然，代数解题法(相对于算术解题法)更具有新奇性和简单性(算术解题法需要更强的技巧)2.从常量数学到变量数学算术、初等代数、初等几何和三角，构成了初等数学的主要内容。
它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象，因此这部分内容，也称为常量数学。
数学思想方法的重大突破
数学思想方法的重大突破数学思想方法的最大突破一、数学思想方法的重大突破之从算术到代数【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。
历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科，两者有着密切的联系。
算术是代数的基础，代数由算术演进而来。
从算术演进到代数，是数学在思想方法上发生的一次重大突破。
一、代数学产生的历史必然性代数学作为数学的一个研究领域，其最初而又最基础的分支是初等代数。
初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。
从历史上看，初等代数是算术发展的继续和推广，算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要，为初等代数的产生提供了前提和基础。
我们知道，算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算。
算术的产生，表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。
算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会各部门都有广泛而重要的应用，离开算术这一数学工具，科学技术的进步几乎难以相象。
在算术的发展过程中，由于算术理论和实践发展的要求，提出了许多新问题，其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。
算术解题法的局限性，主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的、未知的数参加运算。
也就是说，利用算术解应用题时，首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果。
许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助这种方法求解的。
算术解题法的关键是正确地列出算术，即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来，建立能够反映实际问题本质特征的数学模型。
对于那些只具有简单数量关系的实际问题，列出相应的算式并不难，但对于那些具有复杂数量关系的实际问题，在列出相应的算式，往往就不是一件容易的事了，有时需要很高的技巧才行。
数学思想方法的几次突破
数学思想方法的几次突破数学作为一门精密且严谨的科学，其发展离不开不断地突破与创新。
在历史长河中，数学思想方法经历了多次突破，为数学的发展带来了新的视角和方法。
本文将从几个方面探讨数学思想方法的几次突破。
一、古希腊几何学的出现与形式化证明古希腊几何学是数学发展的重要阶段，其最具代表性的成就是欧几里得几何学。
在欧几里得的《几何原本》中，他提出了严谨的公理体系，通过一条条的演绎推理，进行严格的证明。
这种形式化的证明方法，奠定了数学严谨性的基础，对后来的数学思想方法产生了深远的影响。
二、符号代数与解析几何的结合符号代数的出现，为数学研究提供了一种新的工具和方法。
16世纪，法国数学家维亚第尔首次引入字母来代表数，从而形成了代数学。
17世纪荷兰数学家笛卡尔将符号代数与几何学相结合，创立了解析几何学。
通过坐标系和代数符号的概念，可以用数学语言来描述几何问题，使几何学与代数学相互渗透，为新的数学思想方法的出现提供了基础。
三、微积分的发展与数学建模微积分的发展是数学史上的一次重大突破。
17世纪，牛顿和莱布尼茨独立地发明了微积分。
微积分的基本思想是将连续变化的现象分割成无穷小的部分，通过极限的概念来研究其性质。
微积分不仅为数学提供了新的分析工具，还对物理学的发展产生了重要影响。
微积分的概念也为数学建模提供了基础，使数学与实际问题相结合，为解决实际问题提供了新的思路。
四、抽象代数与集合论的兴起19世纪古典代数的发展导致抽象代数的兴起。
抽象代数以研究代数结构为主要内容，关注于抽象的代数系统、运算规律和映射。
抽象代数的发展使数学思想方法更加抽象和概括，突破了传统代数的束缚，拓宽了数学的研究领域。
同时，集合论的提出也丰富了数学的思想方法。
集合论将数学问题抽象为集合的概念，并提供了严格的推理方法，为数学研究提供了新的工具和方法。
五、数值计算与计算机的应用20世纪计算机的发明与数值计算的快速发展，为数学思想方法带来了新的突破。
数学思想
1.推动数学发展的原因：实践需要，理论需要2.古代数学大体分为：以《几何原本》为代表，崇尚逻辑推理；以《九章算术》为代表，长于计算与应用3.四次转折：从算数到代数；从常量数学到变量数学；从确定数学到随机数学；从明晰数学到模糊数学4.变量数学产生的基础是解析几何，标志是微积分5.变量数学的产生归功于笛卡儿，费尔马6.统计方法是随机数学产生的基本研究方法；概率论是随机数学产生的主要标志7.明晰数学的基础是普通集合论；模糊数学产生的基础是模糊集合论，计算机科学是模糊数学产生的摇篮8.数学分类的关键是：正确地选择分类标准9.归纳法包括：不完全归纳法：枚举法，因果归纳；完全归纳法：穷举法，分类讨论10.数学建模中有：交规模型，方程模型，鸽笼原理11.化归包含：化归对象，化归目标，化归途径简答:1.分类遵循的原则：不重复，无遗漏，标准同一，按层次逐步划分2.数行形结合法：在研究数学时，由数思形，见形思数，数形结合考虑问题的一种思想方法3.化归方法的基本原则：简单化原则，熟悉化原则，和谐化原则4.类比法：由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法，也称类比推理。
类比法是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性，是否正确需要经过严格的证明或者实践检验。
5.MM方法：利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法6.分类具有三要素：母项，即被划分的对象；子项，即划分后所得的类概念；根据。
即划分标准7.化归方法：指数学家把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法8.类比类型：表层类比，深层类比，沟通类比。
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数学思想方法的几次重大转折历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。
数学思想方法在历史上经历了四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。
回顾、总结和分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。
1.从算术到代数算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。
算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。
从算数发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的突破，也是数学在思想方法上的一次重大转折。
在算术解题法中，未知数是不允许作为运算的对象的，它们没有参加运算的权利。
而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。
在这个统一体中，未知数和已知数有着同等的权利，即未知数在这里也变成了运算的对象，它们不再是消极、被动地静等在等式的一边，而是和已知数一样，可以接收各种运算指令，并可以依照某种法则从等式的一边移到另一边。
解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。
解方程是古典(经典)代数最基本的内容。
方程在数学中占有重要的地位，它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对整个数学的进程产生巨大的影响。
特别是数学中的许多重大发现都与它密切相关，例如，•对二次方程的求解，导致虚数的发现；•对五次和五次以上方程的求解，导致群论的诞生；•对一次方程组的研究，导致线性代数的建立；•应用方程解决几何问题，导致解析几何的形成；•等等。
显然，代数解题法(相对于算术解题法)更具有新奇性和简单性(算术解题法需要更强的技巧)2.从常量数学到变量数学算术、初等代数、初等几何和三角，构成了初等数学的主要内容。
它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象，因此这部分内容，也称为常量数学。
运用常量数学可以有效地描述事物和现象相对稳定的状态。
可是，对于描述运动和变化，却是无能为力的，于是便产生了从量上描述事物的运动和变化规律的数学部分-变量数学。
从常量数学到变量数学，是数学在思想方法上的又一次重大转折。
自然科学中研究变量的几个典型问题。
数学的发展始终受着自然科学的影响。
特别是，自然科学通过向数学提出各种重大的问题，在一定程度上推动着数学的发展。
变量数学就是在回答十六、十七世纪自然科学提出的大量数学问题过程中，酝酿和创立起来的。
古希腊的阿基米德(Archimedes，公元前287-212)等人在解答数学内部的某些问题时，已经十分接近了微分和积分的计算，这些计算实际上给出了微积分的原始雏型。
但是，微积分理论却没能在阿基米德的时代确立，一直到十七世纪才得以完成。
其原因之一，就是十七世纪以前生产和自然科学所提出的问题，常量数学大都可以解决，对变量数学的需求缺乏迫切性。
然而，到了十七世纪，随着欧洲封建社会开始解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过渡，自然科学从神学的桎梏下解放出来，开始大踏步地前进。
这时，生产和自然科学部门，向数学提出一系列必须从运动变化和发展观点来研究事物的新问题。
这些新问题，大体可以分为以下五种类型：第一，描述非匀速运动物体的轨迹。
开普勒在总结大量观测资料的基础上，发现行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆；伽利略(G．Galilei，1564一1642)明确提出，各种抛射物体诸如炮弹和石头的运动轨迹是抛物线。
他们的工作引起了人们对圆锥曲线重新研究。
圆锥曲线本来早在古希腊时代就被阿波罗尼(Apollonius，约公元前262-190)等人认真研究过，不过在十六世纪之前人们只是出自纯数学的兴趣，而且是用静态的观点来研究图形的性质，即把它们看作是由平面从不同角度截锥体而来的。
行星绕日运动和抛体运动则要求人们用运动和变化的观点来研究圆锥曲线，即把曲线看成是经物体运动而生成且随时间而变化着的轨迹。
第二，求变速运动物体的速度或路程。
已知变速运动的物体在某段时间内经过的路程，求物体在任意时刻的速度和加速度：反过来，已知物体运动的速度或加速度，求某段时间内经过的路程。
求物体运动的速度或路程是一个古老问题，但以前人们处理的大都是匀速运动的情况，对于变速运动，只能采用求平均速度的方法给出问题的近似解。
自然科学的发展则要求精确地求出变速运动的物体在某一时刻的瞬时速度，或在某一段时间内所经过的路程。
这就使传统的数学方法完全不适用了。
第三，求曲线在任一点的切线。
这个问题主要来源于光学和力学的需要。
在光学中，要研究光线在不同介质的通道，这就涉及到光线在曲面上的反射角或进入另一个介质的折射角，而这些角是光线同曲线的法线所夹的角，法线又是垂直于切线的，所以问题就归结于求出曲线的切线；在力学中，运动物体在它轨迹上任一点的运动方向，实质上就是轨迹上这一点的视线方向。
第四，求变量的极值，即求变量在某种条件下所能达到的最大值或最小值。
力学和天文学涉及到的这类问题较多。
例如，炮弹运行的水平距离是一个随发射角的变化而变化的变量，求发射角为多大时这个水平离最大。
再如，行星运动与太阳距离是个变量，求这个变量所能达到的最大值和最小值等等。
第五，计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力等，求积问题也是一个古老的问题。
古希腊学者为解决这类问题曾创立穷竭法，但这个方法缺乏一般性，只能解决某些特殊问题。
求物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力，就其思想方法而言，也属于这一类问题。
不难看出上述五类问题有一个共同的特征；就是要求把“变量”作为其研究象。
这些问题成为十六、十七世纪数学研究的中心课题，正是对这个中心课题的深入研究，导致了变量数学的产生。
变量数学的产生及其意义变量数学产生于十七世纪。
它大体上经历了两个具有决定性的重大步骤。
第一个步骤是解析几何的产生。
1637年，法国数学家笛卡儿发表《方法论》一书，书后有三篇附录，其中一篇叫做《几何学》。
在这篇附录中，他首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。
这篇附录的问世，是解析几何产生的重要标志。
和笛卡儿同时代的法国业余数学家费尔马，对解析几何的创立也作出了突出功贡献，在数学史上和笛卡儿一起分享着解析几何创立者的荣誉。
但他关于这方面的文章直到1679年，即他去世两年之后，才发表出来。
变量数学产生的第二个决定性步骤是微积分的创立。
十七世纪许多著名数学家、天文学家和物理学家都参与了这一发明的研究工作。
其中贡献最大的要属牛顿(I.Newton，1642一1727)和莱布尼茨(G，W．Leibniz，1646-1716)两个人。
牛顿主要是从运动学来研究和建立微积分的。
他的微积分思想最早出现在1665年5月20日的一页文件中。
这一天可做为微积分诞生的日子。
他写了《曲线求积论》(1704年出版）和《流数术方法和无穷级数》(1736年出版)两部专论．微积分的著作。
这两部著作集中体现了他在微积分方面的研究成果。
他称连续变量为“流动量”，用符号v、x、y、z等表示。
把它们的导数称为“流数”(或“流动率”’“速度”，“迅度”)，并用加小点的字母如表示。
他还使用了术语“刹那”(或“瞬”)，相当于表示变量的微分dx、dy等。
莱布尼茨是一个多才多艺的学者，一生中突出的贡献之一是独立地完成微积分学的创立工作。
他创立微积分主要是从几何角度出发。
他的微积分思想最初体现在1675年的手稿之中。
1864年，他在《学艺》杂志上发表的论文《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，是历史上最早公开发表的关于微积分学的文章。
1686年，他在该杂志上又发表了历史上第一篇关于积分学的文章。
他还是历史上最杰出的符号创造家之一。
他所发明的微积分符号，远远优于牛顿的符号，对微积分的发展有重大的影响。
现今通用的符号dx、dy、等，就是由莱布尼茨精心创造的。
变量数学产生的两个主要步骤都是在十七世纪完成的，因此十七世纪也就成了常量数学向变量数学转变的时期。
变量数学的产生，有着极其重要的意义，其具体表现可概括为以下三个方面。
首先，变量数学的产生，使数学自身在思想方法上发生了重大的变革，由此带来整个数学面貌的根本性改观。
通过这次变革，常量数学的许多分支学科，诸如代数、几何、三角和数论等，由于变量数学的渗透而在内容上得到了极大的丰富，在思想方法上发生了深刻的变化。
例如可把解方程理解为求函数的零点，借助分析的方法给出了代数基本定理的严格证明等等。
通过这次变革，新的数学分支学科雨后春笋般地涌现出来，诸如解析数论、微分几何、常微分方程论、偏微分方程论、积分方程论、级数论、差分学、实变函数论和复变函数论等。
总之，从变量数学产生后，变量数学的思想方法很快就在整个数学中占据了主导地位，长时期内规定和影响着数学发展的方向。
其次，变量数学的产生，使自然科学描述现实物质世界的运动和变化过程成为可能。
在现实世界中，“静”和“常”总是暂时的、相对的，“动”和“变”则是永恒的、绝对的。
这正如恩格斯所描述的：“整个自然界，从最小的东西到最大的东西，从沙粒到太阳，从原生生物到人，都处于永恒的产生和消灭中，处于不断的流动中，处于无休止的运动和变化中。
”自然科学的对象是运动变化着的物质世界，变量数学的产生，为自然科学定量地描述和研究物质世界的运动．变化规律提供了强有力的工具。
恩格斯十分重视微积分在自然科学中的作用，他指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。
”自变量数学产生以后，数学在自然科学各部门的应用范围得到了空前的扩展。
第三，变量数学的产生具有重大的哲学意义。
变量数学的基本概念变量、函数、极限、导数和微分，以及微分法和积分法，从本质上看，不外是辩证法在数学上的运用。
恩格斯曾对此明确指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。
有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学”．可以说，变量数学的产生，是辩证法在数学中取得的一次根本性胜利。
正象恩格斯所指出的：“在一切理论成就中，未必且有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。
随着变量数学的思想与方法在数学中的全面渗透，数学日益成为“辩证的辅助工具和表现方式。
”这不仅为后来数学的健康发展提供了正确的思维方法，而且又为辩证法的普适性从数学上提供了生动的例证。
3.从必然数学到或然数学从必然数学到或然数学，是数学思想方法的又一次重大转折。
所谓必然数学，是指描述和研究现实世界的必然现象及其规律的那部分数学，它包括通常的算术、三角、几何、代数、微积分、微分方程论、积分方程论和函数论等分支学科。