41欧拉方法和拉格朗日方法
拉格朗日方法和欧拉方法转换公式
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欧拉法融合拉格朗日法高效模拟灌溉二维地表水运动规律
个畦田内的地表水流推进/消退全过程。为验证模型的模拟性能，选取一种高效的欧拉解法（非迭代型全隐式标量耗散有
限体积法）求解二维浅水方程组做为对比模型，基于 3 个典型畦灌试验的实测数据，从模拟精度、质量守恒性和计算效
率 3 个方面，对比分析了 2 种数值解法的性能。结果表明，2 种解法在模拟精度方面相差无几，且欧拉-拉格朗日混合解
波动并有效地保持质量守恒性；由于控制方程中不存在水运动的对流梯度项（或位置加速度项），仅通过拉格朗日迹线追
踪的形式获得未知与已知时间步之间的变量关系，故与广泛应用的欧拉解法相比，离散格式表达式极为简洁易用；在地
表水运动的干湿边界处，地表水位梯度项被做了修正，以严格地保证各物理量之间的数值平衡，进而能高精度的模拟整
的取值范围，但仍属于有条件稳定。为此，（迭代或非 迭代型）全隐式标量耗散型有限体积法应运而生[4,17-19]， 具有无条件稳定的显著特征，使得时间步长可依据具体 的实例选取，应用更具灵活性。这些已有解法都属于欧 拉解法范畴。地表浅水方程组中对流梯度项（或位置加 速度项）的存在导致了极为复杂的非线性特征[20-21]，无 论如何构造和发展数值解法，欧拉解法都无法绕开这个 非线性极强的对流梯度项[22-25]，这使得任何欧拉解法的 空间离散格式都比较复杂，而不易被使用者掌握。
（中国水利水电科学研究院流域水循环模拟与调控国家重点实验室，北京 100038）
摘 要：大规模现代化农业灌溉管理下，为实现快速高效地获知灌溉水运动及其分布的目的，该文基于二维浅水方程组
的欧拉-拉格朗日混合型表达形式，提出了一种高效简洁的欧拉-拉格朗日混合解法。该解法的基本物理变量被严格地定
义在欧拉型非结构化三角形有限体积单元格上，且变量在单元格之间呈现出阶梯分布状态，以精准地捕捉各类地表浅水
欧拉－拉格朗日方法and欧拉－欧拉方法
欧拉－拉格朗⽇⽅法and欧拉－欧拉⽅法
欧拉－拉格朗⽇⽅法
在Fluent中的拉格朗⽇离散相模型遵循欧拉－拉格朗⽇⽅法。
流体相被处理为连续相，直接求解时均纳维-斯托克斯⽅程，⽽离散相是通过计算流场中⼤量的粒⼦，⽓泡或是液滴的运动得到的。
离散相和流体相之间可以有动量、质量和能量的交换。
该模型的⼀个基本假设是，作为离散的第⼆相的体积⽐率应很低，即便如此，较⼤的质量加载率仍能满⾜。
粒⼦或液滴运⾏轨迹的计算是独⽴的，它们被安排在流相计算的指定的间隙完成。
这样的处理能较好的符合喷雾⼲燥，煤和液体燃料燃烧，和⼀些粒⼦负载流动，但是不适⽤于流-流混合物，流化床和其他第⼆相体积率不容忽略的情形。
欧拉－欧拉⽅法
在欧拉－欧拉⽅法中，不同的相被处理成互相贯穿的连续介质。
由于⼀种相所占的体积⽆法再被其他相占有，故此引⼊相体积率（phasic volume fraction）的概念。
体积率是时间和空间的连续函数，各相的体积率之和等于1。
从各相的守恒⽅程可以推导出⼀组⽅程，这些⽅程对于所有的相都具有类似的形式。
从实验得到的数据可以建⽴⼀些特定的关系，从⽽能使上述⽅程封闭，另外，对于⼩颗粒流（granular flows）,则可以通过应⽤分⼦运动论的理论使⽅程封闭。
在FLUENT中, 共有三种欧拉-欧拉多相流模型，分别为：流体体积模型（VOF），混合物模型，以及欧拉模型。
流体力学实验装置的流体流动颗粒动力学分析方法
流体力学实验装置的流体流动颗粒动力学分析方法流体力学实验是研究流体运动规律和性质的一个重要研究领域。
而流体流动颗粒动力学分析方法，作为对实验结果进行深入研究和分析的关键工具之一，具有重要的理论和应用价值。
本文将重点讨论流体力学实验装置中流体流动颗粒动力学分析方法的应用及意义。
一、拉格朗日方法拉格朗日方法是流体力学中一种重要的分析方法，它以追踪流体中的每一个颗粒为基本出发点，通过对颗粒运动状态的描述来研究流体流动的物理过程。
在实验装置中，通过粒子显微成像技术或追踪颗粒示踪剂等手段，可以获取颗粒的运动轨迹和速度信息，从而实现对流体流动的详细描述和分析。
拉格朗日方法不仅可以定量地描述颗粒的运动状态，还可以对颗粒之间的相互作用和碰撞进行动力学分析，揭示流体流动过程中的微观特征和行为规律。
通过对颗粒在不同流动条件下的运动特性进行对比和研究，可以有效地揭示流体流动的机理和规律，为流体力学理论的发展和实验数据的解释提供重要参考。
二、欧拉方法欧拉方法是流体力学中另一种常用的分析方法，它是以流体质点的物理性质和运动规律为研究对象，通过对流体场的宏观描述和动力学方程的推导来分析流体流动过程。
在实验装置中，通过流场测量技术和数值模拟方法，可以获得流体的速度场、压力场等基本信息，从而实现对流体流动的整体描述和分析。
欧拉方法适用于研究流体流动的宏观性质和整体运动规律，能够揭示流体流动的宏观特征和运动规律。
通过对流场数据的采集和处理，可以获得流体流动的动态特性和空间分布，为实验结果的解释和流体力学模型的建立提供重要支持。
三、综合分析在实际研究中，拉格朗日方法和欧拉方法往往是结合使用的，通过综合分析的方式来揭示流体力学实验装置中流体流动颗粒动力学的特征和规律。
拉格朗日方法主要用于研究流体流动的微观动力学过程，欧拉方法主要用于研究流体流动的宏观特性和整体规律，二者相辅相成，共同构建了对流体流动的全面理解和描述。
综合分析不仅可以深入揭示流体流动颗粒动力学的微观和宏观特征，还可以对流体流动的各种现象和规律进行综合解释和理解。
欧拉-拉格朗日方法
序号1 概述欧拉-拉格朗日方法是一种数学优化方法，用来在多元函数求极值问题中求解最优解。
欧拉-拉格朗日方法是利用数学分析方法定义的，其基本思想是将一个优化问题转化为求极值问题，可以寻找到函数的最大值或最小值。
这种方法能够在给定的范围内得到精确解，通常用来求解最小值函数的极值问题。
2 历史背景欧拉-拉格朗日方法的名称来自古希腊数学家杰拉尔德·欧拉和法国数学家埃勒·拉格朗日，他们在19世纪末初期首先提出了这种方法。
欧拉-拉格朗日方法还受到了美国数学家阿尔伯特和德国数学家威廉·威拉姆的发展，他们增强了该方法的有效性和可行性。
3 多元函数和函数的极值求解多元函数是将一个或多个未知变量结合一同参与函数讨论的函数，可以用其它地内积求解。
极值是一种特殊的解，它是描述一个点位置和函数值之间关系的有效方法，它可以把这种关系表示为函数的极小值和极大值。
欧拉-拉格朗日方法能够用来求解多元函数的极小值问题，其运行思路是依据所给的变量和函数，先建立一个拉格朗日函数，然后用其求解给定的函数的极小值。
4 求解过程欧拉-拉格朗日方法的求解过程分两个步骤：(1)确定问题的拉格朗日函数：将极值问题转换为拉格朗日函数的极值问题，即用原函数的多元变量代替原函数和拉格朗日函数及其多元变量相等;(2)求解拉格朗日函数的极值：对拉格朗日函数求导，使导数等于0，即可得到拉格朗日函数的极值点，从而解出原函数的极值点和极值值。
5 优缺点欧拉-拉格朗日方法好处在于它能够求解多元函数问题，而且精度高，能够获得精确的结果；另外它还支持高维变量计算，能够处理复杂的问题。
缺点在于，该方法的计算复杂度也很高，耗费了大量的计算资源；此外还存在一定的过拟合能力，可以使函数收敛到局部极小值。
拉格朗日法和牛顿欧拉法特点
拉格朗日法和牛顿欧拉法特点
拉格朗日法和牛顿-欧拉法是两种常用的力学建模和分析方法。
它们都用于解决运动方程，并有各自的独特特点。
拉格朗日法是一种以能量为中心的分析方法。
它通过定义系统的拉格朗日函数来描述系统的动力学行为。
拉格朗日函数是系统动能和势能的差，这样只需考虑系统的总能量即可。
拉格朗日法中使用的变量是广义坐标，不需要引入惯性力。
拉格朗日法的特点是它能够描述复杂的运动系统，将系统自由度降低到最小，减少了问题的复杂性。
使用广义坐标描述运动使得计算更加简洁和直观。
拉格朗日法也具有较好的坐标变换性质，适用于非惯性系。
牛顿-欧拉法是一种以力和加速度为中心的分析方法。
它基于牛顿力学的基本原理，通过分析物体受到的外力和惯性力来推导运动方程。
牛顿-欧拉法中使用的变量是位置、速度和加速度等基本物理量。
牛顿-欧拉法的特点是它更适用于描述大尺度和低速度的运动系统。
由于牛顿-欧拉法依赖于速度和加速度，用于描述刚体和机械系统更为方便。
牛顿-欧拉法也更容易与实际问题的观测结果相结合，因为它更直接地涉及到已知的力和加速度。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
采用欧拉法时，某时刻空间点速度还可表示为：
u u(x, y, z,t)
（4-6）
由于空间坐标x，y，z是时间t的函数，则加速度可表示为：
a du u u dx u dy u dz dt t x dt y dt z dt
描述流体质点运动的两种方法
1.1 拉格朗日法（Lagrange Method）
当研究该流体质点的流速u及加速度a时，可直接将式（4-1）对时间求一阶 和二阶偏导数。在求导过程中，a，b，c均视为常数。
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a,b,c,t)
t
uz
z (a, b, c, t ) t
欧拉法主要包括两个内容：① 确定在空间某一固定点上流体的运动参数随 时间变化的规律；② 确定在某一瞬间各空间点上流体的运动参数的分布规律。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
对于任一个流体质点来说，其位置变量x、y、z都是时间t的函数，即
x x(t) y y(t) z z(t)
例如，有一水箱的放水管在放水，其中有两个水流质 点A与B。假定经过微小时段dt后，它们分别移至A'和B'， 如图所示。由于作用水头H在放水过程中逐渐降低，则
H
管内各固定的空间点上的流动都将随时间而变化，从而 形成时变加速度。但是，由于A与A'两点所处管段直径不
变，因此，这两点在同一时刻流速相同，理论上不存在 迁移加速度；而B与B'两点位于渐变段，管径逐渐变小， 流速逐渐加大，因此，B'点流速大于B点流速，故这两点 之间不仅存在时变加速度，也存在迁移加速度。
拉格朗日运动学法和欧拉法
拉格朗日运动学法和欧拉法是力学中描述物体运动的两种不同方法，它们在处理问题时各有特点和优势。
拉格朗日运动学法，又称为拉格朗日方程，是一种基于能量的方法来描述物体的运动。
它主要关注系统的总能量，包括动能和势能，通过最小化作用量原理或最大化哈密顿作用量来得到物体的运动方程。
这种方法在处理约束问题时尤为方便，因为它可以自动考虑约束条件，而无需显式地引入约束方程。
此外，拉格朗日运动学法还适用于多体系统，因为它可以方便地处理多个物体之间的相互作用。
然而，拉格朗日法在处理非完整约束时可能会遇到困难，因为它依赖于作用量原理，这在某些情况下可能不适用。
欧拉法，又称为牛顿-欧拉法，是一种基于力的方法来描述物体的运动。
它直接从牛顿第二定律出发，通过列出物体的受力方程和约束方程来求解物体的运动。
这种方法在处理简单问题时直观且易于理解，因为它直接反映了物体受力与运动之间的关系。
然而，在处理复杂的多体系统时，欧拉法可能会变得繁琐，因为需要为每个物体分别列出受力方程和约束方程。
此外，欧拉法在处理约束问题时可能需要引入额外的处理步骤，如引入拉格朗日乘子或惩罚函数等。
总的来说，拉格朗日运动学法和欧拉法各有优缺点，适用于不同的问题和场景。
在选择使用哪种方法时，需要根据具体问题的特点和需求进行权衡。
对于简单的力学问题，欧拉法可能更加直观和易于理解；而对于复杂的多体系统或涉及约束的问题，拉格朗日运动学法可能更加适用。
在实际应用中，可以根据需要灵活选择这两种方法。
拉格朗日_欧拉方法模拟高分子复杂流体平面收缩流动
*1999 04 19收稿,1999 10 08修稿;国家自然科学基金重点项目(基金号29634030)、国家重点基础研究专项经费资助(G1999064800)拉格朗日 欧拉方法模拟高分子复杂流体平面收缩流动*李险峰(中国科学院化学研究所高分子物理与化学国家重点实验室 北京 100080)袁学锋(Department of M echanical Engineering,King s College London,University of London,UK)步怀天 赵得禄(中国科学院化学研究所高分子物理与化学国家重点实验室 北京 10080)摘 要 为验证拉格朗日 欧拉方法的准确性,对高分子溶液的4 1平面收缩流动问题进行了数值模拟,采用单松弛时间的Phan T hien T anner 本构方程,得到PI B/C14溶液在De =3 0的收缩流动的计算结果,同Quinzani 等所做的收缩流动实验中的稳态流场物理量的测量结果进行了比较,在定量上取得较好的一致性.证明拉格朗日 欧拉方法能够在定性上乃至在定量上准确地预报高分子复杂流体的流动行为,在描述真实的物理过程时是合理、准确的.关键词 拉格朗日 欧拉方法,平面收缩流动所谓复杂流体是指含有超分子体(如高分子、胶体颗粒、胶束和分子膜等)的多组分液体物质,其行为取决于所含超分子体的结构及聚集形态.高分子流体是复杂流体科学的主要研究对象之一.近年来,现代试验技术和高性能计算机的广泛应用极大地加深了人们对高分子科学的认识;而一批物理学家和数学家涉足这一领域,更为高分子科学从描述性的定性学科发展成为具有相当数理基础的定量学科奠定了基础,使得对聚合物材料的研究逐步成为以高分子化学、现代统计物理学、材料工程与科学和数值模拟计算等多学科为基础的一门边缘学科.而从分子水平上认识和预报高分子流体在复杂边界条件下的流场正是这一新兴学科中富于挑战性的课题.要解决这个问题就要首先解决两大障碍:其一是物理问题;即对于指定的高分子流体,如何从分子运动的机理出发来构造它的应力 应变本构关系;其二是数学问题,即对于给定的本构方程和流场边界条件如何求出非线性偏微分流体力学控制方程组的物理解.成功地解决这两大问题就相当于在微观分子结构、宏观流变性质、流场以及以后成型的高分子材料之间建立起了桥梁.这对于在分子水平上设计高分子材料,优化工艺参数和模具结构,甚至实现高分子合成、材料加工和产品质量的全面控制具有战略意义.在对高分子流体的行为进行理论模拟研究中,我们使用的是拉格朗日 欧拉方法[1,2].从目前该方法对一些具有代表性的物理问题的定性研究中可见,它既可以模拟稳态的流动[1,3,4],也可以模拟动态的流动过程[2,3,5];既可以模拟高分子熔体或溶液这一类可由各种形式的本构方程描述的流体的流动,也可以模拟固体悬浮液[6]、泡沫[7]或乳液[2]等一些不能用具体的本构方程描述的流体的流动.其解决问题的合理性以及其应用涉及范围的广泛性,表明这是一种非常灵活和普适的方法,具有非常大的潜在应用价值.本文将针对研究高粘弹性流体流动的标准问题之一[8]即4 1的平面收缩流动,通过将模拟结果同相关的实验结果进行对比,进一步证明该方法在物理上的可靠性.1 对高分子复杂流体流动问题的数学描述高分子流体是典型的粘弹性材料,其流动行为介于纯弹性体和高粘性体之间;每一流动单元在流场中所受的应力是整个应变历史的衰减记忆函数;其运动方程是非线性、非局部的;在大多数条件下,其惯性效应很小,雷诺数可以忽略,基本第4期2000年8月高 分 子 学 报ACTA POLYMERICA SINICANo.4A ug.,2000432上表现为蠕动流.根据以上特点,控制高分子流体流动的流体力学方程可表达如下.对于不可压缩绝热的粘弹流体,为满足不可压缩条件和动量守恒,其控制方程为:!v =0(1) Dv Dt= ! (t)- p (2)这里,v 为速度矢量, 为流体的密度,p 为各向同性的压力,D /Dt 为随体导数, (t )为Cauchy 应力张量,可以分解为:(t)=!N +!v (t )(3)其中的!N 和!v 分别为纯粘性牛顿应力和附加粘弹应力,前者可表示为:!N =2∀N D(4)∀N 为牛顿粘度,D 为应变率张量,它是速度梯度( v )及其转置矩阵( v T )的线性组合:D =12( v + v T)(5) (3)式中附加粘弹应力张量!v 可根据具体的本构方程来计算.在本文的计算中我们要用到的是单松弛时间的微分型Phan T hien Tanner 方程.该类型本构方程较为常用的形式为:A (!v ,#)!!v +#∃!v∃t=2∀v D(6)式中,!v 和D 的含义同上.A (!v ,#)是与具体流动模型相关的张量矩阵,#为松弛时间,∀v 为粘度系数(∀v =G #,G 为弹性模量).∃!v /∃t 为!v 的时间导数,是!v 变化率的线性组合:∃!v ∃t=a !(1)v +(1-a)!v (1) (0∀a ∀1)(7)其中,a 为无量纲参数,!v(1)和!(1)v 分别为附加粘弹应力的上、下协变导数:!v (1)=D !vDt -!v ! v - v T !!v (8)!(1)v=D !v Dt +!v ! v T+ v !!v(9)式(6)中的模型张量有以下两种定义形式:PTT a : A (!v ,#)=exp %#∀v tr (!v )I (10)PTT b : A (!v ,#)=1+%#∀vtr (!v )I (11)其中,tr (!v )是!v 的迹,I 为单位张量,%为材料常数,0<%<2.给定边界条件,用流体力学控制方程和本构方程能够组成封闭的方程组来描述某一具体的流动行为.但在通常条件下,这是一组椭圆 双曲混合型的非线性偏微分方程,目前还无法在数学上精确求解,只能通过数值模拟的手段得到其合理的近似解.拉格朗日 欧拉方法在求解时,速度和压力场是在欧拉步骤中通过对流动单元进行逐点迭代求得(每个单元都要严格满足不可压缩条件(1)式和动量守恒条件(2)式);应力场是在拉格朗日步骤中根据所记录的流动单元的应变历史和本构关系((6)式)而求得.该方法中的网格生成原理和差分格式在文献[1,2]中有详尽描述.2 结果与讨论在对聚异丁烯/十四烷溶液(PIB/C14)的4 1平面收缩流动的模拟中,对流场中的固壁采用无滑移边界条件;在上游入口处和下游出口处均采用周期边界条件,并忽略流体的惯性.PIB/C14的4 1平面收缩流动的实验测量结果是由Quinzani 等给出的[9].他们利用激光多普勒测速仪(LDV)和流动双折射技术(FIB)得到了在Deborah(De )数从04到4 15范围内流场中各个位置的速度和应力的分布(图1所示).Fig.1 Flow geometry:meas ure posi tions of veloci ty and stress di stribution (---);measure positions of stress distribution(##)其中,De 的定义如下:De =#<U >h(12)这里,<U >为平均流速,h 为下游管道的宽度.以下给出在计算中将用到的一些材料参数.原则上,要精确模拟Quinzani 等的实验结果,需要根据他们对PIB/C14体系的流变测量结果,采取多松弛时间模式的本构方程进行计算,这4334期李险峰等:拉格朗日 欧拉方法模拟高分子复杂流体平面收缩流动需要大量的计算时间.Azaiez等曾用有限元方法结合单松弛时间的Giesekus、FENE P和PT T b型本构方程对此实验进行了模拟[10],其结果至少在定性上与实验结果相一致,并且某些结果在定量上与实验相当吻合.这里,为减小计算量并不失模拟的合理性,我们也采用单松弛时间PPT a型本构方程.取流体的零切粘度∀0=∀N+∀v= 1 424Pa!S,且∀N/∀0=0 05;松弛时间#= 0 025s;材料常数%=0 3,a=0.图2是根据以上条件得到的流体的剪切粘度∀s和第一法向应力系数&1随剪切速率的变化情况.在全部剪切速率变化范围内,∀s和&1的变化与文献[9]和[10]相一致,说明这里选择的模型参数是合理的. 拉格朗日 欧拉方法是一种动态方法,在迭代进行到一定步聚后,流场中各物理量将趋于平衡值.图3给出了De随迭代进程的变化情况(t为Fig.2 Shear viscosity(∀s)and first normal stress coefficient (&1)versus shear rate(∋)物理时间,时间步长为0 01),其稳态平均值约为3 0.图4为稳态流动下t/#=12时刻在流场内的奇异点附近第一法向应力差的分布情况.图5为此时刻流动单元在流场中的分布.Fig.3 Deborah number(De)versus t/#Fig.4 First normal stress difference distribution nearsingular point in steady flowfieldFig.5 41pl anar abrupt contraction flow geometry(De=3 0,t/#=12,3570Voronoi elements)图6给出在流场内的不同位置,计算得到的水平速度分量(u)在上游沿x、y方向的分布(图6a,6b)以及在下游沿y方向的分布(图6c).总之,速度分布的模拟结果与实验较为符合.图6c与实验结果正好相反,下游u的分布在x=4 0处的值要低于x=0 0和1 0处的,Azaiez等的模拟也是如此[10].这表明在模拟得到的流场中,u在收缩入口处很小的一个范围内有434高 分 子 学 报2000年Fig.6 Veloci ty vector distribution at De =3Fig.7 Shear stress (-!x y )di stribution at De =3.04354期李险峰等:拉格朗日 欧拉方法模拟高分子复杂流体平面收缩流动Fig.8 Firs t normal stress difference (N 1=!x x -!yy )distribution at De =3.0明显增加,高于下游的平均流速.图7给出在流场内的不同位置,剪切应力(!x y )在上游沿x 、y 方向的分布(图7a 、7b)以及在下游沿x 、y 方向的分布(图7c 、7d).第一法向应力差(N 1)在相应位置的分布由图8(a)~(d)给出.对应力的模拟结果同实验测量值相比,第一法向应力差的分布与实验较为接近,但剪切应力的值略低于实验结果.3 结论我们的模拟结果与Quinzani 的是收缩流动实验结果在定量上取得良好的一致性,表明拉格朗日 欧拉方法能够在定性上乃至在定量上准确地预报高分子复杂流体的流动行为,在描述真实的物理过程时是准确的.REFERENC ES1 Yuan X F,Ball R C,Ed w ards S F.J Non New tonian Fluid M ech,1993,46:331~3502 Yuan X F,Doi M.Physicochemical and Engineering Aspects,1998,144:3053 Li Xianfeng(李险峰),Yuan Xuefeng(袁学锋),Zhao Delu(赵得禄).Acta Polymerica Sinica(高分子学报),2000,(3):280~2864 Li Xianfeng(李险峰),Yuan Xuefeng(袁学锋),Zhao Delu(赵得禄).Acta Polymerica Sinica(高分子学报),in press5 Yuan X F,Ball R C,Ed w ards S F.J Non New tonian Fluid M ech,1994,54:423~4356 Yuan X F,Ball R C.J Chem Phys,1994,101:9016~90217 Yuan X F,Edw ards S F.J Non New tonian Fluid Mech,1995,60:335~3488 Brow n R A,McKinley G H.J Non Newtonian Flui d Mech,1994,52:407~4139 Quinzani L M,Armstrong R C,Brow n R A.J Non New tonian Fluid M ech,1994,52:1~3610 Azaiez J,Gu nette R,A t Kad i A.J Non Newtonian Fuid Mech,1996,62:253~277436高 分 子 学 报2000年THE LAGRANGIAN EULERIAN METHOD:SOLUTIONS FORPLANAR CONTRAC TION FLOWLI Xianfeng(State K e y L aboratory of Polymer Ph ysics and Chemistry,Center f or Molecular S cience,Institu te of Chemistry ,Ch inese A ca demy o f Sciences,Beij in g 100080)YUAN Xuefeng(De p a r tment of Mechanical Engin eering,K ing s College L ondon,Univer sity of L ondon,UK )BU H uaitian,ZHAO Delu(State K e y L aboratory of Polymer Ph ysics and Chemistry,Center f or Molecular S cience,Institu te of Chemistry ,Ch inese A ca demy o f Sciences,Beij in g 100080)Abstract T he accuracy and robustness of Lagrangian Eulerian method on benchmark problem of v iscoelastic flow through complex geometries w as tested.The test is performed by directly comparing the numerical predictions of flow throug h a 4 1planar contraction w ith the ex perimental observations in order to ensure whether the method is physically correct.The one mode Phan Thien and Tanner (PTT )constitutive model is used in the present calcuation.Profiles of both velocity and stresses are obtained at different sections of the steady flow ,and com pared w ith laser Doppler velocimetry and flow induced birefringence data g iven by Quinzani et al.for a polyisobutylene/tetradecane(PIB/C14)contraction flow at a Deborah number De =3 0.Overall,the simulation has reproduced the expermiental results w ith good accuracy ,the agreement betw een the numerical predictions and the experimental reports is fairly well.Key words Lagrangian Eulerian method,Planar contraction flow4374期李险峰等:拉格朗日 欧拉方法模拟高分子复杂流体平面收缩流动。
欧拉方法和拉格朗日方法
欧拉方法和拉格朗日方法欧拉方法是一种简单的近似方法，用于求解常微分方程的初值问题。
它基于一个重要的数值近似原理，即在一个小区间上，如果函数的导数变化不太大，那么可以将函数的变化等同于导数的变化。
具体来说，欧拉方法将原始的微分方程转化为离散的差分方程，并根据初始条件逐步逼近问题的解。
对于一个一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，欧拉方法将自变量x和因变量y分成若干个小区间，每个小区间的长度为h。
利用微分方程的性质，我们可以将函数在每个小区间上进行线性近似。
具体来说，我们从初始点(x0, y0)出发，根据微分方程的定义，计算出斜率k1=f(x0, y0)，然后根据该斜率近似得到在下个小区间上的函数值y1=y0 + k1 * h。
以此类推，我们可以得到在每个小区间上的近似函数值。
欧拉方法的一个明显局限是误差较大，特别是在相对大的步长h下。
这是因为欧拉方法只考虑了导数在小区间上的线性变化，忽略了更高阶的项，导致近似解与真实解的误差随着步长的增加而累积。
拉格朗日方法是一种改进的近似方法，用于求解微分方程的数值解。
它基于拉格朗日插值多项式的思想，通过将微分方程中的函数y(x)近似为一个多项式函数来逼近实际解。
具体而言，拉格朗日方法通过利用初始点(x0,y0)的函数值和导数值，在每个小区间上构造一个插值多项式L(x)，该多项式是一个关于x的n次多项式，其中n是方程的阶数。
在拉格朗日方法中，我们首先确定每个小区间的节点，例如选取三个节点x0,x1,x2，并计算出这些节点上的函数值y0,y1,y2、然后我们利用这些节点构造一个三次拉格朗日插值多项式L(x)，具体形式为：L(x)=L0(x)*y0+L1(x)*y1+L2(x)*y2，其中L0(x),L1(x),L2(x)是三个插值基函数。
通过这个多项式L(x)，我们可以逐步计算出每个小区间上的函数值，并不断迭代得到近似解。
与欧拉方法相比，拉格朗日方法考虑了更高阶的项，在相对大的步长下，其近似解与真实解的误差更小。
41欧拉方法和拉格朗日方法
41欧拉方法和拉格朗日方法欧拉方法和拉格朗日方法是微积分中常用的数值计算方法。
它们都是用于近似计算函数在一定范围内的积分值的方法。
下面分别介绍这两种方法的原理和应用。
1.欧拉方法：欧拉方法是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）提出的一种数值解微分方程的方法。
它基于泰勒级数展开，通过对函数在特定点的近似计算来逼近函数的积分值。
欧拉方法的基本思想是将一个区间等分成若干小区间，然后在每个小区间上用线性函数来逼近原函数。
这样，在每个小区间上，我们可以根据欧拉公式得到该区间上的积分值。
最后将所有小区间上的积分值相加，即可得到整个区间上的积分值。
欧拉方法的步骤如下：1）将积分区间[a,b]等分成n个小区间，其中每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2）设定一个起始点x0=a，并计算对应的函数值y0=f(x0)。
3）对于每个小区间，根据欧拉公式，通过线性逼近来计算该区间上的积分值，即y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i))。
4）重复第3步，直到x(n)=b，即计算完成。
欧拉方法的优点是简单易于实现，但由于其是线性逼近，所以逼近精度较低，当小区间数过多时，容易产生误差累积。
2.拉格朗日方法：拉格朗日方法是以法国数学家拉格朗日命名的一种数值积分方法。
它基于基本积分公式来进行近似计算，通过构建拉格朗日多项式来逼近原函数。
拉格朗日方法的基本思想是在每个小区间上构建一个拉格朗日多项式，然后通过对多项式进行积分来逼近原函数的积分值。
因为拉格朗日多项式是对原函数的拟合函数，所以它的积分值可以作为原函数积分值的近似。
拉格朗日方法的步骤如下：1）将积分区间[a,b]等分成n个小区间，其中每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2）对于每个小区间，构建一个插值多项式，即通过给定的n+1个点的函数值来确定一个n次多项式。
3）对每个小区间的插值多项式进行积分，即可得到该小区间上的积分值。
4）将所有小区间的积分值相加，即可得到整个区间上的积分值。
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
欧拉方法和拉格朗日方法的联系
欧拉方法和拉格朗日方法的联系
欧拉方法和拉格朗日方法都是数学分析中常用的数值求解方法。
它们可以用来近似求解某些函数的值，特别是在解决微分方程等实际问题时非常有用。
欧拉方法是一种简单的数值求解方法，它基于欧拉公式，按照一定步长对函数进行逐步逼近。
欧拉方法的优点是易于实现和计算，但是由于其一阶精度的限制，对于复杂的函数或高阶微分方程，其精度可能会比较低。
与欧拉方法不同，拉格朗日方法是一种更高阶的数值求解方法。
它基于拉格朗日插值多项式，通过构造多项式逼近函数，从而获得更精确的解。
与欧拉方法相比，拉格朗日方法的精度更高，但是其计算量也更大。
尽管欧拉方法和拉格朗日方法有不同的特点和应用场景，但是它们之间也有联系。
事实上，欧拉方法可以看作是拉格朗日方法的一种特例，当插值多项式的次数为1时，就变成了欧拉方法。
因此，欧拉方法可以看作是拉格朗日方法的一种简化形式。
总之，欧拉方法和拉格朗日方法都是数值分析中重要的数值求解方法，它们互有优缺点，应根据具体问题进行选择。
同时，它们之间也有联系，了解它们的关系有助于更好地理解和应用这些方法。
- 1 -。
拉格朗日方法和欧拉方法
拉格朗日方法和欧拉方法
拉格朗日方法和欧拉方法均为数学中求解函数极值的方法，但两者有所不同。
具体来说：
1. 拉格朗日方法是一种使用拉格朗日乘数进行约束优化的方法。
它通常用于解决无条件约束的优化问题，即只有等式约束的情况。
拉格朗日方法将约束条件引入目标函数中，转换为一个无约束的优化问题。
然后通过求导等方法求出极值点。
这种方法常用于经济学中的最优化问题，如求解最大化利润或最小化成本等问题。
2. 欧拉方法则是一种数值计算中常用的求解微分方程的方法。
通常用于解决一些常微分方程，如一阶和二阶微分方程。
欧拉方法通过一些初值和步长，逐步计算出微分方程的解。
因此欧拉方法需要在每一步都计算出函数的导数，进而计算出下一步的函数值。
欧拉方法常用来模拟各种物理现象，比如计算力学中的运动轨迹和振动等现象。
总之，拉格朗日方法主要解决约束优化问题，欧拉方法主要用于数值计算中求解微分方程。
两者的应用领域有所不同。
拉格朗日和欧拉对于流体力学的描述的区别1
拉格朗⽇和欧拉对于流体⼒学的描述的区别1
拉格朗⽇的⽅法主体是某个粒⼦，他的测量⼀直是在这⼀个粒⼦上⾯。
（质点）
欧拉的观点是空间⼀个固定的位置，测量的是这个位置流进流出。
（场）
拉格朗⽇的⽅法计算不会有空间上的局限，⽽欧拉的⽅法看来是要建⽴⼀个有限的空间。
（各有各的局限性）
在流体的计算中，两种⽅法各有各优缺点：
拉格朗⽇的粒⼦在做advect的时候，表现得很好但是处理pressure和不可压约束的时候会出现困难。
⽽欧拉的⽅法正好弥补了这个缺⼝。
所以⽤拉格朗⽇的⽅法出advect粒⼦，⽤欧拉的⽅法去处理pressure和不可压约束，就可以模拟出很好的⽔的效果。
拉格朗日运动学法和欧拉法
拉格朗日运动学法和欧拉法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日运动学法和欧拉法是在物理学中常用的两种解决运动学问题的方法。
它们分别以法国数学家拉格朗日和瑞士数学家欧拉的名字命名，是经典力学中的两种重要技术方法。
首先来介绍一下拉格朗日运动学法。
拉格朗日运动学法是以拉格朗日力学为基础的一种运动学方法，它是一种基于能量的方法，用于描述系统的运动。
在拉格朗日力学中，系统的运动由广义坐标q和广义速度\dot{q}描述，其中q是系统的广义坐标，\dot{q}是广义坐标对时间的导数。
在使用拉格朗日运动学法求解物体的运动时，我们需要先写出系统的拉格朗日函数，通常用L表示。
拉格朗日函数是系统的动能T和势能V的差值，即L=T-V。
然后，我们可以得到系统的拉格朗日方程，即拉格朗日方程为\frac{d}{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}})-\frac{\partial L}{\partial q}=0，其中\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}表示拉格朗日函数对广义速度的偏导数。
通过求解拉格朗日方程，我们可以得到系统中每个物体的运动方程，并得到物体的轨迹。
拉格朗日运动学法不仅能够描述质点的运动，还可以描述刚体的运动，对于复杂系统的分析具有重要意义。
而欧拉法是一种基于牛顿第二定律的运动学方法。
在欧拉法中，我们将系统的运动描述为物体的加速度与外力之间的关系。
根据牛顿第二定律F=ma，我们可以得到物体的加速度a与外力F之间的关系。
在使用欧拉法解决物体的运动问题时，我们需要确定系统中每个物体的受力情况，并建立物体的受力平衡方程。
然后，我们可以根据牛顿第二定律得到物体的加速度a，并利用积分求解得到物体的速度和位移。
与拉格朗日运动学法相比，欧拉法更加直观和易于理解，适用于描述一些力学问题。
对于复杂系统的分析，欧拉法可能并不适用，因为系统中的受力很难确定。
流体运动描述方法(欧拉法和拉格朗日法)
流体运动描述方法(欧拉法和拉格朗日法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。
欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。
在一个风和日丽的午后，YC坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。
如果YC 的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。
那么YC是在用欧拉方法研究流体。
这时，YC忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，虽然根据陈安对初恋情人的定义，YC根本没有初恋情人。
现在假设她有，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。
于是YC记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。
假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。
每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。
为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。
于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。
YC此时所用的研究方法就是拉格朗日法。
Understood而在一些复杂的两相流动问题里，比如粒子在流场中运动的问题，我们关注的是粒子的运动轨迹，因此，我们可以用拉格朗日方法追踪粒子在流场中的运动，同时，用欧拉方法来计算流场的各物理量。
在许多工程领域，都有纤维在流场中运动的问题。
如果将纤维在流场中的运动视为两相流动，必须为纤维作一些改变，因为它不同于一般的刚性粒子。
它细长，细长到你无法用一个粒子来代表一根纤维；它柔，柔得自己的每一部分可以相对于其他部分发生变形。
我在《柔性纤维的妖娆运动》里，为slender and flexible纤维建立了模型，把纤维离散成一个个粒子，并在粒子之间建立了弹性或粘弹性的连接。
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推
地（相当于空间点）设立星罗棋布的气象
进 系
站。根据统一时间各气象站把同一时间观
测到的气象要素迅速报到规定的通讯中心，
----
流
然后发至世界各地，绘制成同一时刻的气
体
象图，据此做出天气预报。
力
学
4.1.2欧拉法
宇 航
❖ 某时刻位于一个空间点上的流体质点的密
推
度、压力、温度就是流场对应点、对应时
进 系
Vz
4.1.2随体导数
宇 航
r
其中: Dir Dt
( t
Vr
r
V
r
Vz
z
r )ir
V r
r i
推 进 系
r Di Dt
( t
Vr
r V
r
Vz
r z )i
V r
r ir
----
流
所以: ar
DVr Dt
Dt t0
t
L M’
M
4.1.2随体导数
宇 航 推 进
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt
对速度的简单导数
L
----
系
速度的变化有两方面的原因:
M’
一方面的原因, 质点由M点运动至M '点时,
流 体
时间过去了t,由于场的时间非定常性引
M
力
起速度的变化
学
另一方面, 质点由M点运动至M '点时, 位置 r
Vy
Vz y
Vz
Vz z
4.1.2随体导数
宇
在柱坐标情况下,由于切向单位矢量和法向单位矢量的
航 推
方向是变化的,全导数的展开式比直角坐系下要复杂
r
进 系
单位矢量表示为转角的函数:
r ir
r ir
(
)，ir
r
i ( )
i r ir
r
----
流 体 力 学
存在导数关系:
流 体 力
ay
V&y
2 y(a,b, c,t) t 2
学
az
V&z
2z(a,b, c,t) t 2
4.1.1拉格朗日方法
宇 航
❖ 拉格朗日方法虽然很自然,也很直观,但实
推
现起来却非常困难:无法对成千上万的流
进 系
体质点进行跟踪.
----
❖ 实际所关心的往往是空间固定区域内的物
----
r
r
r
r
L M’
流 体
M lim V (M ',t t) V (M ',t) lim V (M ',t) V (M ,t)
t 0
t
t 0
t
力
场的非定常性
场的不均匀性
学
r
r
r
r
lim V (M ',t t) V (M ',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
4.1.1拉格朗日方法
宇 航
❖ 在直角坐标中展开
推 进
rr rr (a,b,c,t)
----
系
x x(a,b, c,t)
流 体
y
y(a,b, c,t)
z z(a,b, c,t)
力
学
4.1.1拉格朗日方法
宇 航
流体质点的速度
r V
rr (a,b, c,t)
推
',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
t t0
MM '0
MM '
推
进 系
第二项当M M '时
r
r
r
----
lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t) V V (M , t)
流
t t 0
MM 0
MM '
s
体
力
M
力
学
4.1.2随体导数
宇
航
设此质点在场内运动,其
推 进
运动轨迹为L,在t时刻位于M点,
系
速度为V M ,t ,过了t后,该质
----
点运动到M '点, 速度为
流 体
V M ',t t ,根据定义,加速
力
度的表达式为
学
r
r
r
DV lim V (M ',t t) V (M ,t)
航
Dt t
推 进
随体加速度=当地加速度+迁移加速度
系
在直角坐标系中展开为:
----
流
DVx Dt
Vx t
Vx
Vx x
Vy
Vx y
Vz
Vx z
体
力 学
DVy Dt
Vy t
Vx
Vy x
Vy
Vy y
Vz
Vy z
DVz Dt
Vz t
Vx
Vz x
r ir
'(
)
r ir
ir，ir
'(
)
r i r
r ir
r
加速度 : ar
DV Dt
DVr Dt
r ir
D Dt
(Vr r
Dir Dt
rr ir V i
Vr
DV Dt
Vz r i
r iz )
r Di
Dt
V
DVz Dt
r iz
r Diz Dt
刻的密度场、压强场、温度场上的对应值。
----
❖ 在流场中，一点上流体质点的性质与该点
流
的流场性质是相同的。
体
力
学
4.1.2随体导数
宇
航
通过流场中的加速度的定义说明什么是随体导数.
推 进 系
定义流速场V V rr,t中的加速度:
L
M’
----
流 体
如图M点的加速度就是此时过M点
的流体质点的加速度.
)ar
?
dar
ar
r V
( ar )
dt t
dt t
d
r V
()
?
d
r (V
)
dt t
dt t
例题
宇
已知密度场 A
x2 y2 z2
r t, 速度场为V
r xti
r ytj
r ztk
航 推
求流体质点的密度变化率, 其中A为常数.
t
进
系
Vx
x(a,b, c,t) t
----
流 体
Vy
y(a,b, c,t) t
力
学
z(a,b, c,t)
Vz
t
4.1.1拉格朗日方法
宇
航 推 进
流体质点的加速度
ar
Vr&
2rr
(a,b, c,t) t 2
系
ax
V&x
2x(a,b, c,t) t 2
----
进
点
----
系
➢ t=t0时流体质点的坐标是 ( a,b,c)
流 体
➢ a,b,c可以是直角坐标的(x0,y0,z0),也可以是曲 线坐标（q1,q2,q3）
力
➢ 不同的a,b,c代表不同的质点
学
❖ 二、流体质点的运动规律数学上可表为下
式： rr rr (a,b,c,t)
(a,b, c,t)称为拉格朗日变数
4.1.2欧拉法
宇 航
❖ 欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量
推
速度 vr vr (rr ,t)
进
系
在直角坐标系中: Vx Vx (x, y, z,t)
----
流
Vy Vy (x, y, z,t)
体
Vz Vz (x, y, z,t)
力 学
压强 p p(x, y, z,t)
密度 (x, y, z,t)
t 0
t
t t0
MM '0
MM '
4.1.2随体导数
r
r
r
r
r
宇 航
DV Dt
lim V (M t 0
',t t) V (M t
',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
t t0
MM '0
MM '
推
进
系
第一项当t 0时M M '
进ห้องสมุดไป่ตู้
求质点的密度变化率.
系
----
D
r V
流
Dt t
体 力 学
A
x2 y2 z2 t
t
rr r xti ytj ztk
A
x2 y2 z2
t
A
x2 y2 z2
流
体与流体的作用.
体 力
❖ 实验测量的也往往是空间固定点的参数.