空间几何体的三视图与直观图知识点题型归纳总结

空间几何体的三视图与直观图知识点题型归纳

总结

一.平行投影与中心投影

把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影

在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影

平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点.

二、空间几何体的三视图

1.三视图的概念

将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称三视图. 它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度.

2.作、看三视图的三原则

(1)位置原则:

（2）度量原则

长对正、高平齐、宽相等即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽（3）虚实原则轮廓线、现则实、隐则虚

三、空间几何体的直观图

空间几何体的直观图一般是在平行投影下画的空间图形，要画空间几何体的直观图，首先要学会水平平面图形直观图的画法。

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法。

斜二测画法的主要步骤如下:

(1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,

Ox Oy ,建立直角坐标系.

(2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于x轴的线段, 在直观图中画成平行于'','',

O x O y 使'''45

∠= (或135), 它们确定的平面表示水平平面.

x O y

(3)画出对应图形. 在已知图形平行于x轴的线段, 在直观图中画成平行于'x轴的线段, 且长度保持不变; 在已知图形平行于y 轴的线段, 在直观图中画成平行于'y轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为“横不变, 纵减半”.

(4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去'x轴、'y轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚线.

注意: 4.

四、常见几何体三视图直观图

题型分类

题型一、考查直观图与斜二测画法

1.图8-10所示,'''

O A B是OAB水平放置的直观图, 则OAB的面

积为( )

A.6

B.

D. 12

解：'''1''''sin 452

O A B S O A O B = ①

1

sin 902

OAB

S

OA OB =

② ①÷②

得

'''''''sin 45112sin 902114

O A B OAB

O A O B S S OA OB ==⨯⨯=

, 所以

'''

24

O A B OAB

S

S

=

.

而'''134sin 45322

O A B S =⨯⨯= ,所以4

OAB

S = , 即12OAB

S

= .

故选D.

2.已知正ABC 的边长为

a , 以它的一边为x 轴, 对应的高为y 轴

, 画出它的水平放置的直观图'''A B C , 则'

''A B C 的面积为( ).

2

222

3. 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为( )

B.2

C.

题型二.直视图与三视图

（ 已知直观图描绘三视图的原则是:先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.）

1.正三棱柱111ABC A B C 如图8-12所示, 以面11BCC B 为正前方画出的三视图正确的是( ).

分析 先看俯视图, 垂点法, 把1,C C 投影到底面.

解析 由垂点法, 把1,C C 分别投影到底面, 如图8-13所示, 所以俯视图中间必有线段MN .故选A.

2. 如图8-14所示, ABC 为正三角形, '''AA BB CC ⊥∥∥ 平面ABC 且33'''2

AA BB CC AB === , 则多面体'''ABC A B C - 的正视图(也称主视图)是( ).

3. 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥, 得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为( ).

4.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于( )

C.

12 D. 1

2

题型三、直观图中简单几何体的基本量的计算

（由三视图想象出直观图必须与实物图对应, 先看俯视图, 根据三视图的形状,定几何体的形状, 由口诀 “正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”定几何体的相关数据.）

1. 若某空间几何体的三视图如图8-16所示, 则该几何体的体积是( )

A. 13

B. 23

C. 1

D. 2

分析 三视图为2个矩形和1个三角形, 知该几何体是三棱柱. 解析 先看俯视图, 定底面, 再由正视图为矩形, 侧视图为三角形知该几何体为直三棱柱, 然后由口诀知数据, 如图8-17所示, 所以以

侧面为底得体积1112

V =⨯= . 故选C.

2.如图8-18所示, 是一个几何体的三视图, 若其体积为则

a = .

3. 如图8-20所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为1, 高为2的矩形, 俯视图是一个圆, 那么该几何体的表面积为( ).

A.2π

B.

52

π

C. 4π

D. 5π 分析 由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体为圆柱. 解析 由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体是圆柱, 如图