一次函数知识点、经典例题、练习~63F54

一次函数及其性质

●知识点一一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当

时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．

⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当，时，仍是一次函数．

⑶当，时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

●知识点二一次函数的图象及其画法

⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．

⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．

①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；

②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直

线与两坐标轴的交点．

⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．

●知识点三一次函数的性质

⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；

⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．

●知识点四一次函数的图象、性质与、的符号

⑴

一次

函数

，

符号

图象

性质随的增大而增大随的增大而减小

⑵一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．

当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．

知识点五用待定系数法求一次函数的解析式

⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．

⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：

①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；

②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；

③解方程（组），得到待定系数的值；

④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．

类型一：正比例函数与一次函数定义

1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？

思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．

举一反三：

【变式1】如果函数是正比例函数，那么（）.

A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0D．m=1

【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当x=4时，求y的值；

（3）当y=4时，求x的值．

类型二：待定系数法求函数解析式

2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．

思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．

举一反三：

【变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．

分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可．

【变式2】已知直线y=2x+1．

（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；

（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．

【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．

分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．

类型三：函数图象的应用

3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程

中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)汽车共行驶了___________ km；

(2)汽车在行驶途中停留了___________ h；

(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h；

(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.

举一反三：

【变式1】图中，射线l

甲、l

乙

分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走

的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。

【变式2】（2011四川内江）小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )

A.14分钟

B.17分钟

C.18分钟

D.20分钟

【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：

根据图象解答下列问题：

（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？

（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.

①求排水时y与x之间的关系式；

②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.

分析：依题意解读图象可知：从0—4分钟在进水，4—15分钟在清洗，此时，洗衣机内有水40升，15分钟后开始放水.

类型四：一次函数的性质

4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A（一6，0），交y轴于点B，且△AOB的面积为12，y随x的增大而增大，求k，b的值．思路点拨：设函数的图象与y轴交于点B（0，b），则OB=,由△AOB 的面积，可求出b，又由点A在直线上，可求出k并由函数的性质确定k的取值．

举一反三：

【变式1】已知关于x的一次函数．

（1）m为何值时，函数的图象经过原点?

（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，－2）?

（3）m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行?

（4）m为何值时，y随x的增大而减小？

【变式4】函数在直角坐标系中的图象可能是（）．