双曲线的性质 公开课一等奖课件
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高中数学选修1-1双曲线名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
练习
写出适合下列条件旳双曲线旳原则方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5) 3.a=4,过点(1, 4 10 )
双曲线图象
拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差旳绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2旳距离旳差旳绝对值 等于常数（不大于︱F1F2︱)旳点旳轨迹叫做双曲
y
B2
A1
o A2
x
B1
4、渐近线
PM=
b a
x
(1)两条直线y
b a
x b
2 a2 = x叫做
b a
•
x
a2 x2 a2
y
P
a
B2
M
双曲线
x2 a2
y2 b2
1的渐近线
(2)实轴和虚轴等长旳双曲
A1
A2
o aN x
线叫做等轴双曲线.
B1
x2 y2 a2
ybx a
ybx a
5、离心率
已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆
炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点旳轨迹方程.
高中数学-双曲线范例例题名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
1
4
所以方程式旳图形是一种贯轴平行于 x 轴旳双曲线
中心为（－1 , 2），贯轴长 2a＝2，共轭轴长 2b＝4，
c＝ a2＋b2 ＝ 5
例题 13 由双曲线旳一般型态求诸要素
已知双曲线 Γ 旳方程式为 4x2－y2＋8x＋4y－4＝0，试求其贯轴长、共 轭轴长、中心、焦点、顶点及渐近线方程式。 解■ 两顶点为（0 , 2）与（－2 , 2）
9 16
34
34
即 4x－3y＝0 与 4x＋3y＝0
上一题 下一题
例题 7 双曲线与渐近线
试证：双曲线 Γ：
x2 a2
－ y2 b2
＝1上任一点
P
到两直线
L1：bx－ay＝0
与
L2：bx＋ay＝0 旳距离乘积为定值
a2b2 a2＋b
2
。
■證
设 P（x0 , y0）为双曲线 Γ：
x a
2 2
－
y2 b2
而 b2＝c2－a2＝22－12＝3 得双曲线方程式为 x2 － y2 ＝1
13
例题 3 双曲线旳原则式（中心在原点）
(2) 已知一双曲线旳两焦点为（0 , 2）与（0 , －2），贯轴长为 2，试求
此双曲线旳原则式。
解■ (2) 如右图所示
因为焦点为（0 , 2），（0 , －2）
所以中心为原点，贯轴在 y 轴上
例题 13 由双曲线旳一般型态求诸要素
已知双曲线 Γ 旳方程式为 4x2－y2＋8x＋4y－4＝0，试求其贯轴长、共
轭轴长、中心、焦点、顶点及渐近线方程式。
解■ 将方程式 4x2－y2＋8x＋4y－4＝0，依 x，y 配方
得 4（x2＋2x＋1）－（y2－4y＋4）＝4
高三一轮复习双曲线名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
研究双曲线几何性质时的两个注意点： (1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点; (2)由于 e＝ac是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b，c 的 一个关系式，利用 b2＝c2－a2 消去 b，然后变形即可求 e，并注 意 e>1.
栏目 导引
第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
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第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
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第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
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第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
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第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
双曲线的几何性质39市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(2) x2/49-y2/25=-1
解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)
请思索：如若求半焦距长和离心率呢？
小结：关键在于求实半轴a旳长和虚半轴b旳长， 然后裔入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距c旳长 及离心率.
0
A2 x
怎样得到旳？
图形
B1
|x |≤a 、|y |≤ b
x2/ a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1
x
范围
中心对称，轴对称
-x代x、-y代y
对称性 顶点
A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)
分别令x=0，y=0
a、b 、c旳 含义
a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2
十一、课后请你思索题
1、离心率e旳变化对双曲线图形有何影响？
怎样解释？
y
F1
0
b a
C
F2
2、 如图，双曲线和椭圆旳离心率分别为e1、 e2、e3、e4, 试比较e1、e2、e3、e4 旳大小.
y
e1
e2
0
e4 e3 x
七、让我们继续研究
请观察双曲线旳图象和矩形对角线,有何特征？
双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)旳各支向外延伸 时，与矩形旳两条对角线所在旳直线逐渐接近.
y
B2
F1 A1 0
请思索：结论正确吗?
B1
A2 F2
x
八、我们一起来证明
（一）、我们共同来设计一种方案：
1、由双曲线旳对称性我们只需研究第一象限旳情形；
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∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
a2
(2
3 b2
)2
解之得
a2
9 4
,∴
1
b2 4
双曲线方程为 x2 9 4
y2 4
1
法二：巧设方程,利用待定系数法. ⑴设双曲线方程为 x2 y2 ( 0) ,
(3)2 (2
第7页
二、导出双曲线 y2 a2
x2 b2
1(a
0,b 0)
的简单几何性质
y
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
第8页
小结
性 质 图象
顶点是A1(a, 0)、A2 (a, 0) 只有两个！
（2）线段A1 A2 ：双曲线实轴，长为2a,
a：实半轴长；
线段B1B2 ：双曲线虚轴，长为2b,
b：虚半轴长
y
b B2
（3）实轴与虚轴等长双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
第4页
4、渐近线
双曲线性质
第1页
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
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➢等轴双曲线离心率为: e 2
➢等轴双曲线两渐近线渐近线为y=±x,
➢等轴双曲线两渐近线渐近线互相垂直.
【1】(高考)双曲线 那么该双曲线离心率是(
x2 a2
两by22 条 1渐近线互相垂直,
)
C
A.2
B. 3 C. 2
D. 3 e 1 ( b )2
2
a
第8页
例题解说
例1.求以椭圆
x2 8
y2 5
【1】求与椭圆
x2 49
y2 24
1有公共焦点，且离心率为
e
5 的双曲线方程. 4
解：由c2 49 24 25,得c 5.焦点为( 5，0),
设共焦点的双曲线为 x2 a2
y2 52 a2
1,
由
5 a
5 4
,
得 a 4,
b2 25 16 9.
双曲线方程为 x2 y2 1. 16 9
x2 y2 1 16 16
第3页
1.顶点
(1)双曲线与对称轴交点, 叫做双曲线顶点.
顶点 A1(a, 0)、A2 (a, 0)
(2) 实轴: 线段A1A2叫做双曲线实轴.
y
实轴长: 2a叫实轴长.
半实轴长: a 叫做半实轴长.
B2
(3)虚轴: 线段 B1B2叫做双曲线虚轴. 虚轴长: 2b叫虚轴长. 半虚轴长:b叫做双曲线半虚轴长.
第5页
4.渐近线
x2 a2
y2 b2
1
慢慢靠近
y
B1
A1
o
A2
x
y
b a
x
B2
y
b a
x
第6页
5.离心率
y
(1)定义:
➢等轴双曲线两渐近线渐近线为y=±x,
➢等轴双曲线两渐近线渐近线互相垂直.
【1】(高考)双曲线 那么该双曲线离心率是(
x2 a2
两by22 条 1渐近线互相垂直,
)
C
A.2
B. 3 C. 2
D. 3 e 1 ( b )2
2
a
第8页
例题解说
例1.求以椭圆
x2 8
y2 5
【1】求与椭圆
x2 49
y2 24
1有公共焦点，且离心率为
e
5 的双曲线方程. 4
解：由c2 49 24 25,得c 5.焦点为( 5，0),
设共焦点的双曲线为 x2 a2
y2 52 a2
1,
由
5 a
5 4
,
得 a 4,
b2 25 16 9.
双曲线方程为 x2 y2 1. 16 9
x2 y2 1 16 16
第3页
1.顶点
(1)双曲线与对称轴交点, 叫做双曲线顶点.
顶点 A1(a, 0)、A2 (a, 0)
(2) 实轴: 线段A1A2叫做双曲线实轴.
y
实轴长: 2a叫实轴长.
半实轴长: a 叫做半实轴长.
B2
(3)虚轴: 线段 B1B2叫做双曲线虚轴. 虚轴长: 2b叫虚轴长. 半虚轴长:b叫做双曲线半虚轴长.
第5页
4.渐近线
x2 a2
y2 b2
1
慢慢靠近
y
B1
A1
o
A2
x
y
b a
x
B2
y
b a
x
第6页
5.离心率
y
(1)定义:
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x2 y2 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 1 有公共焦点，且过点 16 4
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； ⑴与双曲线 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 1 的渐近线为 y x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 , 3 9 16 4 故点 (3,2 3) 在射线 y x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 2 1 (a>0,b>0), a b b 4 2 9 2 2 a x y a 3 ∴ 解之得 1 4 ,∴ 双曲线方程为 9 2 2 4 b2 4 ( 3) (2 3) 1 2 2 4 b a
x2 y2 1, 2 2 m 20 m 求得m2 12(30舍去)
法二：设双曲线方程为
(3 2)2 22 ∴ 16 k 4 k 1
x2 y2 1 16 k 0且4 k 0 16 k 4 k
x2 y2 1 12 8
, 解之得k=4,
xa
x a
ya
或
或
y a
b c 关于 ( a,0) y x e 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 a 2 b2 ) 称 (0, a) y x b
例1
5 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e ， 4 焦点在x轴上，中心坐标 . 2 2
法二：巧设方程,运用待定系数法 . 2 2 ⑴设双曲线方程为 x y ( 0) ,
9 16
( 3)2 (2 3)2 9 16
1 4
x2 y2 双曲线的方程为 1 9 4 4
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 2 1 (a>0,b>0) a b a 2 b 2 20 a 2 12 则 解之得 2 (3 2 )2 2 2 或设 b 8 1 2 2
a b
x2 y2 1 ∴双曲线方程为 12 8
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
看课本P56---P58 1.熟悉双曲线的几何性质（对称性、范 围、顶点、渐近线、离心率）； 2 能准确求出双曲线的渐近线、离心率。 10分钟后回答问题（如有疑问可 以问老师或同桌小声讨论）
双 曲 线
性 质 图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
x2 y2 2 1 2 a b (a 0, b 0) y2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
∴ 双曲线方程为
1、“共渐近线”的双曲线的应 2 2用 x y
与
b 2 2 x y 方程为 2 2 ( 0，为参数)， a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
a
2
2
1共渐近线的双曲线系
x y 3、求与椭圆 1有公共焦点，且离心率 49 24 5 e 的双曲线方程。 4 2 解：由c 49 24 25, 得c 5. 焦点为（ 5， 0），
x y 1 2 2 a b
解：依题意可设双曲线 的方程为
c 5 又 e , c 10 a 4
2a 16，即a 8
b2 c 2 a 2 102 82 36
x2 y 2 双曲线的方程为 1 64 36 3 渐近线方程为 y x 4
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
焦点F1 (10,0), F2 (10,0)
课堂练习
4 1、若双曲线的渐近线方程为 y x, 则双曲线 3
的离心率为 。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角 为 。
例题讲解
例2 :求下列双曲线的标准方程：
x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3 ) ； 9 16
x2 y2 5 5 设共焦点的双曲线为 2 2 1, 然后由 2 a 5 a a 4 2 2 x y 求得a 4, b 2 25 16 9, 可得 1. 16 9
x2 y2 x2 y2 注：与 2 2 1共焦点的椭圆系方程是 2 2 2 1, a b m m c x2 y2 双曲线系方程是 2 2 1 2 m c m
2
2
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。