拓扑学基础试卷

拓扑学基础（数学教育本科）试卷

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1、设X 是拓扑空间，A 、B ⊂X ，则下列等式成立的是

A 、)()()(

B A d B d A d = Ｂ、)())((A d A d d = Ｃ、B A B A = Ｄ、B A B A =

2、设Ｒ是实数空间，A=（0，1）是开区间，则

A 、]1,0[=A

B 、)1,0(=A

C 、)1,0[=A

D 、]1,0(=A

3、如果拓扑空间X 中每一个单点集都是闭集，那么

A 、X 是T 0空间，非T 1空间

B 、X 是T 1空间

C 、X 是正则空间

D 、X 是正规空间

4、下列哪个条件成立时，拓扑空间X 是连通空间

A 、X 中不存在两个非空的开子集A 、

B ，使得：φ=B A ，且X B A = 成立

B 、X 中存在两个非空的闭子集A 、B ，使得：φ=B A 且X B A = 成立

C 、X 中存在着一个既开又闭的非空真子集

D 、存在X 的子集A 、B ，使得X=B A

5、设R 是实数空间，X 是含多于一点的离散空间，则

A 、R 是道路连通空间

B 、X 是道路连通空间

C 、R 是不连通空间

D 、X 是连通空间

6、下列拓扑空间中，哪个空间不是可分空间

A 、实数空间

B 、平庸空间

C 、包含着不可数多个点的离散空间

D 、满足第二可数性公理的空间

7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中，能成立的是

A 、正规⇒正则

B 、正则⇒正规

C 、正则⇒T 2

D 、完全正则⇒正则

8、下列拓扑性质中，哪一个是可遗传性质

A 、第一可数性

B 、连通性

C 、紧致性

D 、可分性

9、关于几种紧致性，下列蕴含关系哪一个成立

A 、可数紧致⇒紧致

B 、紧致⇒可数紧致

C 、列紧⇒紧致

D 、局部紧致⇒紧致

10、下列命题错误的是

A 、A 是闭集⇔A A =

B 、A 是闭集A A d ⊂⇔)(

C 、A 是闭集⇔A '是开集

D 、A 是闭集⇔A A =

二、填空题（每空2分，共20分）

11、集合X 是一个可数集当且仅当存在从正整数集Z +到集合X 的一个 。

12、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果存在一个同胚f ：X →Y ，则称拓扑空间X 与拓扑空间Y 是 。

13、设X 是一个拓扑空间，X A ⊂，则A 是一个闭集当且仅当 。

14、设Y 是拓扑空间X 的一个子空间，如果B 是拓扑空间X 的一个基，则 是

子空间Y 的一个基。

15、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有一个可数稠密子集，则称X 是一个 空间。

16、Hausdorff 空间中的任何一个收敛序列只有 个极限点。

17、X y x ∈,属于X 的同一个连通分支当且仅当 。

18、设X 和Y 是两个拓扑空间，其中 满足第一可数性公理，X x ∈，则映射

f ：X →Y ，在点X x ∈处连续的充分必要条件是：如果X 中的序列{}i x 收敛于x ，则Y 中的序列)}({i x f 收敛于 。

19、设X 和Y 是两个拓扑空间，f ：X →Y ，如果 ，则称f 是从X 到Y 的一个连续映射。

三、名词解释题（每小题4分，共20分）

20、拓扑空间

21、同胚映射

22、满足第二可数性公理的空间（即A 2空间）

23、正则空间

24、可数紧致空间

四、判断题（每小题2分，共12分）

（ ）25、任何可数集的任一个子集都是一个可数集。

（ ）26、任何一个集合都有选择函数。

（ ）27、每一个离散空间都是可度量化的。

（ ）28、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是一个连通空间。

（ ）29、每一个满足第一可数性公理的空间都满足第二可数性公理。

（ ）30、实数空间R 是一个紧致空间。

五、解答与证明题（每小题7分，共28分）

31、设},,,,{e d c b a X =，试问X 的下列子集族是否为X 的拓扑？并简要说明理由。

（1）1{,,{},{,},{,}}X a a b b d φ=T

（2）2{,,{},{,},{,,},{,,,}}X a a b a c d a b c d φ=T

32、设X 是一个拓扑空间，A 、X B ∈，试证：B A B A ⊂

33、试证：紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集。

34、设X 是一个拓扑空间，若对于任何点X x ∈和x 的任何一个开邻域U ，存在X 的一个

开邻域V 使得U V ⊂，试证X 是一个正则空间。