第4讲_方差分析概论
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方差分析1132页PPT
数理统计在化学中的应用
单因子方差分析的统计模型
在例中我们只考察了一个因子，称其为单因子 试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其有r 个水平，记为A1, A2,…, Ar。
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体 ，因为现共有 r 个水平，故有 r 个总体， 假定：
数理统计在化学中的应用
各总体的方差相同:
nm
SSe
(Xij Xi)2
i1 j1
mn
mn
SST
(Xij X)2
[(Xij Xi)(Xi X)]2
i1 i1
i1 j1
mn
mn
mn
(Xij Xi)2
(Xi X)]2 2
(Xij Xi)(Xi X)
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
mn
m
n
(Xij Xi)2
(Xi X)2 2 (Xi X) (Xij Xi)
1
2=
22=…=
2 r
=
2
；(即
，具有方差齐次性)
从每一总体中抽取的样本是相互独立的， 即 所有的试验结果 yij 都相互独立。
每一总体均为正态总体，记为 N(i , i 2)， i ＝1, 2,…, r ；
数理统计在化学中的应用
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
1、从总变差中区分出试验变差和条件变差，也就是将 不同因素的影响给区分开来。
2、利用F检验比较这两个变差的大小，确定出主要变 差。
3、根据主要的变差，去选择较好的分析条件，或确定 进一步试验的方向。
数理统计在化学中的应用
方差分析的基本思想
方差分析的依据是建立在变差平方和具有加和性的基础 上的。因此，如果用变差平方和来表征测定结果的总变 差，那么总变差的平方和就等于各变异因素形成的变差 平方和的总和。
单因子方差分析的统计模型
在例中我们只考察了一个因子，称其为单因子 试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其有r 个水平，记为A1, A2,…, Ar。
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体 ，因为现共有 r 个水平，故有 r 个总体， 假定：
数理统计在化学中的应用
各总体的方差相同:
nm
SSe
(Xij Xi)2
i1 j1
mn
mn
SST
(Xij X)2
[(Xij Xi)(Xi X)]2
i1 i1
i1 j1
mn
mn
mn
(Xij Xi)2
(Xi X)]2 2
(Xij Xi)(Xi X)
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
mn
m
n
(Xij Xi)2
(Xi X)2 2 (Xi X) (Xij Xi)
1
2=
22=…=
2 r
=
2
；(即
，具有方差齐次性)
从每一总体中抽取的样本是相互独立的， 即 所有的试验结果 yij 都相互独立。
每一总体均为正态总体，记为 N(i , i 2)， i ＝1, 2,…, r ；
数理统计在化学中的应用
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
1、从总变差中区分出试验变差和条件变差，也就是将 不同因素的影响给区分开来。
2、利用F检验比较这两个变差的大小，确定出主要变 差。
3、根据主要的变差，去选择较好的分析条件，或确定 进一步试验的方向。
数理统计在化学中的应用
方差分析的基本思想
方差分析的依据是建立在变差平方和具有加和性的基础 上的。因此，如果用变差平方和来表征测定结果的总变 差，那么总变差的平方和就等于各变异因素形成的变差 平方和的总和。
第4讲5(1) 正交试验设计(方差分析)
处理号 1 2
第1列（A） 1 1
表 L9(34)正交表
第2列 1 2
第3列 1 2
第4列 1 2
因素A第1 试验结果y水i 平3次
重复测定 y1 值 y2
3
1
3
3
3
y3
单4 因素 2
1
2
3
y4
试5 验数 2
2
3
1
y5
因素A第2
SS据A6＝资13（料y1 y22
格式 78＝13（K12
3 K322
y3）2 （y43y5
K32）-
T2 9
1 2
y6）2 （ 1 y7 3 1
y 82y 9）2 2 3
（y1yy62 ...
9
y7 y8
y水9）平2（修 3次正重项） 复测定值
9
3
3
2
1
y9
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因因素素A。第3
因素 重复1 重复2 重复3
显著影响
（6）列方差分析表
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
SST SS因素 SS空列（误差）
（2）自由度分解：
dfT df因素 df空列（ 误列（
（3）方差：MS因素＝
SS因素 df因素
，MS误差＝
SS误差 df误差
（4）构造F统计量：
F因素＝
MS因素 MS误差
（5）列方差分析表，作F检验
若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为 该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若 F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果 无显著影响。
第讲方差分析ppt-精品.ppt
例如，培训（单因素）是否给学生成绩（结果）造成了显著影 响；不同地区（单因素）的考生成绩是否有显著的差异等。
2.单因素方差分析步骤
（1）给出原假设H0 （2）构造检验的统计量； （3）计算检验统计量的观测值F和相应的概率值P； （4）将概率值P与给定的显著性水平进行比较，做出接受或拒绝原假
设H0的决策。
当遇到两个以上样本均值的比较问题时，这就需要方差分析的 方法。方差分析又称变异数分析（annalysis of variance,ANOVA） 或F检验（F Test），是由R.A.Fister发明的。
一、方差分析的概念
例如： 在现实生活中，影响具体某个事物（例如学生的学习成绩）的
因素（例如教师水平、教学方法、使用的教材、学生的素质、课程 性质等）往往很多，我们常常需要正确确定哪些因素对学习成绩的 影响是显著的，方差分析是解决这一问题的有效方法 。
• 控制因素
– 因素的不同水平一定会导致不同的实验结果，称为控制变量（例如：教 师水平）
一、方差分析的概念
4.方差分析的用途
①均值差别的显著性检验； ②分析因素间的交互作用； ③方差齐性检验。
一、方差分析的概念
5.方差分析的思想
通过分析研究不同变量的变异对总变异的贡献大小，确定控制变 量对研究结果影响力的大小。
SPSS提供了以下方差分析的方法： 1.One-Way ANOVA：单因素方差分析 2.Univariate：多因素方差分析 3.Multivariate：多因变量多因素方差分析 4.Repeated Measures：重复测量方差分析 5.Variance Components：方差成分分析
一、方差分析的概念
3. SPSS操作及案例分析
例一：比较不同教学方法（单因素）教学后，学生的学习成绩（结果）是 否存在显著性差异。
2.单因素方差分析步骤
（1）给出原假设H0 （2）构造检验的统计量； （3）计算检验统计量的观测值F和相应的概率值P； （4）将概率值P与给定的显著性水平进行比较，做出接受或拒绝原假
设H0的决策。
当遇到两个以上样本均值的比较问题时，这就需要方差分析的 方法。方差分析又称变异数分析（annalysis of variance,ANOVA） 或F检验（F Test），是由R.A.Fister发明的。
一、方差分析的概念
例如： 在现实生活中，影响具体某个事物（例如学生的学习成绩）的
因素（例如教师水平、教学方法、使用的教材、学生的素质、课程 性质等）往往很多，我们常常需要正确确定哪些因素对学习成绩的 影响是显著的，方差分析是解决这一问题的有效方法 。
• 控制因素
– 因素的不同水平一定会导致不同的实验结果，称为控制变量（例如：教 师水平）
一、方差分析的概念
4.方差分析的用途
①均值差别的显著性检验； ②分析因素间的交互作用； ③方差齐性检验。
一、方差分析的概念
5.方差分析的思想
通过分析研究不同变量的变异对总变异的贡献大小，确定控制变 量对研究结果影响力的大小。
SPSS提供了以下方差分析的方法： 1.One-Way ANOVA：单因素方差分析 2.Univariate：多因素方差分析 3.Multivariate：多因变量多因素方差分析 4.Repeated Measures：重复测量方差分析 5.Variance Components：方差成分分析
一、方差分析的概念
3. SPSS操作及案例分析
例一：比较不同教学方法（单因素）教学后，学生的学习成绩（结果）是 否存在显著性差异。
第4讲5(2) 正交试验设计(方差分析)
2
1 1 2 2 1 10.12 10.09 0.03
2
1 2 1 1 2 10.19 10.02 0.17
2.66
2.58 2.36 2.4 2.79 2.76
0.0055 0.0078 0.0091 0.0001 0.0036
返回15
链接
（2）显著性检验
变异来源 A 平方和 自由度 0.0210 1
0.575
1.845 0.11 12.745
1
1 2 7
0.575
1.845 0.055
10.455
33.545 *
根据F值的大小排出因子的主次： 主 次
A×B、A、B×C、B、（A×C、 C）
A×B的重要性排在A、B的前面，挑选A、B的最优水平时 要从A×B的最优搭配来考虑,同理C的最优水平也应以B×C为 主. A×B的最优搭配的选取是通过A、B搭配效果表决定的。 A、B搭配效果表
B与C的最优搭配：B1C2 从A×B和B×C的最优搭配中,B因素的最优水平矛盾, 但是A×B的重要性排在B×C的前面,所以,从A×B来考选B2, 当B因素选B2时,由B×C的搭配表C选C1,综合考虑其最优工 艺为：A2B2C1. 因为,本例三个因素的所有搭配就是正交表中的8次试 验,从表中试验数据也可以看到,A2B2C1是第7号试验,不匀率 为3.17是8次试验中最小的,即为最优组合（最优工艺）。
它用多水平正交表安排水平数较少的因素的一种方法
例：在高效液相色谱法测定食品中胡萝卜素 的研究中，欲通过正交试验选择柱层析法净 化条件，试验指标为胡萝卜素回收率，不考 虑交互作用，试验因素水平表见表4-35。
表4-35 因素水平表
1
活化温度 ℃ A 100
方差分析概论userfilesfile%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%88%86
11
120 120
12
118 115
后2周 110 101 104 108 109 112 104 111 110 100 110 110
后3周 95 94 92 93 95 98 92 90 98 90 85 90
后4周 90 90 85 90 87 90 85 80 85 80 75 80
后5周 85 81 85 80 80 85 85 85 87 80 80 85
41.65909091
Pr > F 0.0001
Contrast Variable: TIME.5
Source
DF
MEAN
1
Error
11
Contrast Variable: TIME.6
Source
DF
MEAN
1
Error
11
Contrast Variable: TIME.7
Source
DF
MEAN
2. 概念
①主效应(main effect) 主效应指某一因素各水平间的平均差别。
如上例中的A和B两因素的主效应分别为 A=[(a2b2-a1b2)+(a2b1-a1b1)]/2
=[(2.1-1.0)+(1.2-0.8)]/2=0.75 B=[(a2b2-a2b1)+(a1b2-a1b1)]/2 =[(2.1-1.2)+(1.0-0.8)]/2=0.55
②交互效应(interaction)
当某因素的各个单独效应随另一个因素水平的变 化而变化，且相互间的差别超出随机波动范围 时，则称这两个因素间存在交互作用或交互效 应。如上例中在B=1水平下A的效应为0.4，在 B=2水平下A的效应为1.1。
方差分析课件-PPT
、 、 、 增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果
增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果:
本例按a=0、05水准,将无显著性差异得数归为一类 (Subset for alpha=0、05)。可见
品种5、2、3得样本均数位于同一个子集( Subset )内,说 明品种5、品种2、品种3得样本均数两两之间无显著差异; 品种3、4、1位于同一个Subset内,她们之间无显著差异;而 品种5、2与品种4、1得样本均数有显著差异。
即三组均数间差异极显著,即不同时期切痂对大鼠肝脏 ATP含量有影响。
LSD法多重比较:
“*”显著性标注 两组均数得差
•S-N-K法:本例按0、5水平,将无显著差异得均数归为一类。
•第一组与第三组为一类,无显著差异,它们与第二组之间均数差 异显著。
•LSD与S-N-K法,不同得两两比较法会有不同。
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
该12个观察值得总得均值为91、5,标准差为34、 48。
上图为品系、剂量间均值得方差分析(F检验)结果
由表中可知,品系得F=23、771,P=0、001<0、01,差异极显著;
剂量得F=33、537,P=0、001<0、01,差异极显著。说明不同品系与 不同雌激素剂量对大鼠子宫得发育均有极显著影响,故有必要进一步对 品系、雌激素剂量两因素不同水平得均值进行多重比较。
增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果:
本例按a=0、05水准,将无显著性差异得数归为一类 (Subset for alpha=0、05)。可见
品种5、2、3得样本均数位于同一个子集( Subset )内,说 明品种5、品种2、品种3得样本均数两两之间无显著差异; 品种3、4、1位于同一个Subset内,她们之间无显著差异;而 品种5、2与品种4、1得样本均数有显著差异。
即三组均数间差异极显著,即不同时期切痂对大鼠肝脏 ATP含量有影响。
LSD法多重比较:
“*”显著性标注 两组均数得差
•S-N-K法:本例按0、5水平,将无显著差异得均数归为一类。
•第一组与第三组为一类,无显著差异,它们与第二组之间均数差 异显著。
•LSD与S-N-K法,不同得两两比较法会有不同。
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
该12个观察值得总得均值为91、5,标准差为34、 48。
上图为品系、剂量间均值得方差分析(F检验)结果
由表中可知,品系得F=23、771,P=0、001<0、01,差异极显著;
剂量得F=33、537,P=0、001<0、01,差异极显著。说明不同品系与 不同雌激素剂量对大鼠子宫得发育均有极显著影响,故有必要进一步对 品系、雌激素剂量两因素不同水平得均值进行多重比较。
《方差分析课时》课件
详细描述
可以使用统计软件或图形方法（如直方图、QQ图等）对数据进行正态性检验。 如果数据不符合正态分布，可以考虑对数据进行适当的转换或使用非参数方法进 行统计分析。
数据的方差齐性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数据的方差是否齐性，因为方差分析的另一个前提假设是各组数 据的方差必须齐性。
详细描述
方差分析的基本思想
总结词
方差分析的基本思想是将数据的总变异分为组内变异和组间变异两部分，并比较这两部 分的变异程度。
详细描述
方差分析的基本思想是通过将数据的总变异分解为组内变异和组间变异两部分，来评估 组间变异是否显著大于组内变异。如果组间变异的比例显著大于组内变异的比例，则说 明不同组别或处理之间的均值存在显著差异；反之，则说明各组之间没有显著差异。通
03
方差分析的步骤
数据的收集与整理
确定研究目的
在开始方差分析之前，需 要明确研究的目的和目标 ，以便收集合适的数据。
数据来源
确定数据来源，包括调查 、实验、公开数据等，确 保数据的可靠性和有效性 。
数据整理
对收集到的数据进行整理 ，包括数据清洗、缺失值 处理、异常值处理等，以 确保数据的质量。
数据的分组与分类
行计算。
结果解释
根据计算结果，检验
进行显著性检验，以判断各组间是 否存在显著差异，并解释差异产生 的原因。
04
方差分析的应用实例
单因素方差分析实例
总结词
用于比较三个或更多组间的总体均值 是否存在显著差异。
详细描述
单因素方差分析是用来比较三个或更 多组间的总体均值是否存在显著差异 的统计方法。例如，比较不同地区的 销售业绩是否存在显著差异。
06
可以使用统计软件或图形方法（如直方图、QQ图等）对数据进行正态性检验。 如果数据不符合正态分布，可以考虑对数据进行适当的转换或使用非参数方法进 行统计分析。
数据的方差齐性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数据的方差是否齐性，因为方差分析的另一个前提假设是各组数 据的方差必须齐性。
详细描述
方差分析的基本思想
总结词
方差分析的基本思想是将数据的总变异分为组内变异和组间变异两部分，并比较这两部 分的变异程度。
详细描述
方差分析的基本思想是通过将数据的总变异分解为组内变异和组间变异两部分，来评估 组间变异是否显著大于组内变异。如果组间变异的比例显著大于组内变异的比例，则说 明不同组别或处理之间的均值存在显著差异；反之，则说明各组之间没有显著差异。通
03
方差分析的步骤
数据的收集与整理
确定研究目的
在开始方差分析之前，需 要明确研究的目的和目标 ，以便收集合适的数据。
数据来源
确定数据来源，包括调查 、实验、公开数据等，确 保数据的可靠性和有效性 。
数据整理
对收集到的数据进行整理 ，包括数据清洗、缺失值 处理、异常值处理等，以 确保数据的质量。
数据的分组与分类
行计算。
结果解释
根据计算结果，检验
进行显著性检验，以判断各组间是 否存在显著差异，并解释差异产生 的原因。
04
方差分析的应用实例
单因素方差分析实例
总结词
用于比较三个或更多组间的总体均值 是否存在显著差异。
详细描述
单因素方差分析是用来比较三个或更 多组间的总体均值是否存在显著差异 的统计方法。例如，比较不同地区的 销售业绩是否存在显著差异。
06
方差分析_精品文档
2021/5/27
44
2.2 组内观测次数相等的方差分析 K组处理中，每一处理皆有n个观测值，其方
差分析方法同前。
表5. 组内观测次数相等的单因素方差分析
2021/5/27
45
例2.测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵 州五个地区冬季针矛的长度，每个地区
随机抽取4个样本，测定结果如表示，试 比较各地区针毛长度差异显著性。
27
其中平均数差数标准误计算公式：
s x1x2
s12s22 n1 n2
se2(n11n12)
当n1=n2时，sx1x2
2se2 n
s e 2 为处理内误差方差，n为每一处理观察次数。
2021/5/27
28
例1. 表1. 氨氮含量(ppm)
2021/5/27
29
根据例1， s 2se2 2*9.112.13
2021/5/27
9
1.4.1 平方和的分解 总平方和=处理间平方和+处理内平方和
SSTSSt SSe
k
S S T 1
n(x x )2x 2 ( x )2x 2 T 2
1
k n
k n
令 C T 2 ，
kn
SST x2C
SSt =
Ti2 C n
SSe SSTSSt
2021/5/27
10
2021/5/27
39
例如，分析不同施肥量是否给农作物产
量带来显著影响，考察地区差异是否影 响妇女的生育率，研究学历对工资收入 的影响等。这些问题都可以通过单因素 方差分析得到答案。
2021/5/27
40
• 单因素方差分析的第一步是明确观测变 量和控制变量。例如，上述问题中的观
第四讲方差分析
… ξ rs1ξ rs2…ξ rst
2013.3—西安交通大学管理学院管理科学系—胡平
实例:
1. 给出四种颜色产品的销售量的计算结果: x1=27.3;x2=29.5; x3=26.4;x4=31.4
2. 提出假设 H0: mi = mj ；H1: mi mj
3. 计算LSD
LSD 2.12 2.4428 1 1 2.096 5 5
差异源 SS 自由度 MS F P-值 临界值 组间 845.2174 3 281.7391 14.78741 3.31E-05 3.127354 组内 362 19 19.05263 总和 1207.217 22
结论：拒绝H0。四个行业的服务质量有显著差异
2013.3—西安交通大学管理学院管理科学系—胡平
A
F SA (r 1) ~ F (r 1, n r) Se (n r)
2013.3—西安交通大学管理学院管理科学系—胡平
5 假设检验的拒绝域
由此 : 若F F1 (r 1, n r)则拒绝H0，即认为因素A对试验结果 影响显著 若F F1 (r 1, n r)则接受H0，即认为因素A对试验结果 影响不显著
记：
r
ni
S T nS 2
( ij ) 2
i1 j1
称为总偏差平方和
记：
r
ni
S e
( ij i ) 2
i1 j1
称为组内平方和
记：
r
ni
r
S A
( i ) 2
n i ( i ) 2
i1 j1
i1
2013.3—西安交通大学管理学院管理科学系—胡平
2013.3—西安交通大学管理学院管理科学系—胡平
实例:
1. 给出四种颜色产品的销售量的计算结果: x1=27.3;x2=29.5; x3=26.4;x4=31.4
2. 提出假设 H0: mi = mj ；H1: mi mj
3. 计算LSD
LSD 2.12 2.4428 1 1 2.096 5 5
差异源 SS 自由度 MS F P-值 临界值 组间 845.2174 3 281.7391 14.78741 3.31E-05 3.127354 组内 362 19 19.05263 总和 1207.217 22
结论：拒绝H0。四个行业的服务质量有显著差异
2013.3—西安交通大学管理学院管理科学系—胡平
A
F SA (r 1) ~ F (r 1, n r) Se (n r)
2013.3—西安交通大学管理学院管理科学系—胡平
5 假设检验的拒绝域
由此 : 若F F1 (r 1, n r)则拒绝H0，即认为因素A对试验结果 影响显著 若F F1 (r 1, n r)则接受H0，即认为因素A对试验结果 影响不显著
记：
r
ni
S T nS 2
( ij ) 2
i1 j1
称为总偏差平方和
记：
r
ni
S e
( ij i ) 2
i1 j1
称为组内平方和
记：
r
ni
r
S A
( i ) 2
n i ( i ) 2
i1 j1
i1
2013.3—西安交通大学管理学院管理科学系—胡平
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SS组间 SS组间_随机 SS教材
方差分析的逻辑
目标：考察教材种类是否影响成绩。这个问题就转化为考
察教材种类所引起的变异是否存在，即 SS教材 是否大于0？
因为 SS组内 SS组内_随机 SS组间 SS组间_随机 SS教材
所以可以比较 SS组内和SS组间 的变异来考察 SS教材是否大于0
方差分析的逻辑
变异分解：
SS总 SS组间 SS组内
造成变异的原因有两个：
1. 随机因素造成的变异，记为 SS随机
2. 教材种类（解释变量）不同造成的变异，即 因为不同总体的均数不等造成的变异，记为
SS教材
组内变异只是由随机因素造成的，即：
SS组内 SS组内_随机
组间变异即有随机因素，也有教材种类不同造成的变异
作业：08-01
51个人参与一项减肥训练 Data05-07
num gender wbefore wafter dw
1
1
2
1
…
72.0
70.0
2.0
66.0
60.0
6.0
问题1：减肥前后的体重是否有差异？
问题2：体重差量在男女之间是否有差异？
结果报告
答：方差齐性检验结果 F = 5.649；p = 0.021 < 0.05（SPSS结果，Levene's Test）
SS组间 n教材i (xi. x..)2 SS组内 (xij xi.)2
样本均数
x1.=73 x2.=74 x3.=79 x..=75.3
方差分析的基础：变异的分解
总体
样本（测试成绩）N = ∑n 教材 i = 24 样本均数
教材 1 μ1=？ 教材 2 μ2=？ 教材 3 μ3=？
x11=70 x21=73 x31=74
由度”
如果比值 F
SS组间/ df组间 SS组内 / df组内
1,
说明SS教材大于0
如果比值 F
SS组间/ df组间 SS组内 / df组内
1,
说明SS教材等于0
统计检验量
F
SS组间/ df组间 SS组内 / df组内
~
F (df组间，df组内)
方差分析就是根据F分布对检验统计量F 值是否
在统计学意义上大于 1 （单侧检验）进行假设检验
样本（测试成绩）N = ∑n 教材 i = 24
x11=70
x12=72
…
x18=71
x21=73
x22=72
…
x28=74
x31=74
x32=75
…
x38=84
单个观察值的变异： (xij x..)2
离均差平方
总变异：
SS总 (xij x..)2
变异分解： 组间变异： 组内变异：
SS总 SS组间 SS组内
x12=72 x22=72 x32=75
单个观察值的变异： (xij x..)2
…
x18=71
…
x28=74
…
x38=84
离均差平方
x1.=73 x2.=74 x3.=79 x..=75.3
造成变异的原因有两个：
1. 随机因素造成的变异，记为 SS随机
2. 教材种类（解释变量）不同造成的变异，即
因为不同总体的均数不等造成的变异，记为 SS教材
SS组内 SS组内_随机
SS组间 SS组间_随机 SS教材
这样比是否合理？
组内随机变异与组间随机变异的自由度不一致
组内随机变异的自由度
df组内 (n教材1 1) (n教材2 1) (n教材3 1)
组间随机变异的自由度 df组间 教材种类 1
方差分析的逻辑
合理做法：比较“组间变异/组间自由度”和“组内变异/组内自
多个平均数差异检验应采用方差分析（ analysis of variance ）
第5讲：方差分析
主要内容
• 方差分析的基本思想
• 单因素方差分析（软件应用）
– 独立样本 – 相关样本
• 两因素方差分析（软件应用）
方差分析的基础：变异的分解
总体
教材 1 μ1=？ 教材 2 μ2=？ 教材 3 μ3=？
怎么比较？
通过差值比较 差值 SS组间 SS组内 通过比值比较 比值 SS 组间
SS组内 因为比值服从F分布
方差分析的逻辑
所以可以比较 SS组内和SS组间 的比值来考察 SS教材是否大于0
如果比值 F
SS 组间 SS组内
1,
说明SS教材大于0
如果比值 F
SS 组间 SS组内
1,
说明SS教材等于0
?
F = 1.682；p = 0.100 > 0.05（Excel结果，简单的F 检验）
两个软件结果发生矛盾时，倾向采用SPSS的名被试，将其随机分成3组，各 组采用一种教材进行学习。事后进行测试，测试结果如下， 问3种教材对于学习的效果是否一致？
方差分析过程
1. 提出假设： H0 : 1 2 ... k (k为组数)
H1 : 至少有一对总体均数不 等
2. 计算检验统计量：
SS组间 n教材i (xi. x..)2 SS组内 (xij xi.)2
df组间 k 1
df组内 (n教材i 1)
统计检验量 F SS组间/ df组间 SS组内 / df组内
多个平均数的差异检验不适合用T检验
• 3、推断的可靠性低，检验的 I 型错误率（α）大
用T 检验法进行多个处理平均数间的差异检验会
增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。比如
用T 检验法进行3水平的均数间的差异检验，若两
两比较推断正确的概率为95%，因为一共要做3次 比较，则所有比较都正确的概率为0.953=0.86。
教材1 70 72 74 68 76 76 77 71
X1 73
教材2 73 72 70 73 78 75 77 74
X 2 74
教材3 74 75 72 71 87 85 84 84
X 3 79
可不可以用T检验进行两两教材之间的比较来解决该问题？
多个平均数的差异检验不适合用T检验
• 1、检验过程烦琐 例如，一实验中解释变量包含3个水
平，采用t检验法要进行 C32 3次两两平 均数间的差异检验；若有k个处理，则要 作 k(k-1)/2次类似的检验。
多个平均数的差异检验不适合用T检验
• 2、无统一的误差估计，且检验的灵敏性低
对同一试验的多个处理进行比较时，应该 有一个统一的误差的估计值。若用 t 检验法作 两两比较，由于每次比较需计算一个标准误来 估计误差，故使得各次误差的估计不统一。同 时由于没有充分利用资料所提供的信息而使误 差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。
方差分析的逻辑
目标：考察教材种类是否影响成绩。这个问题就转化为考
察教材种类所引起的变异是否存在，即 SS教材 是否大于0？
因为 SS组内 SS组内_随机 SS组间 SS组间_随机 SS教材
所以可以比较 SS组内和SS组间 的变异来考察 SS教材是否大于0
方差分析的逻辑
变异分解：
SS总 SS组间 SS组内
造成变异的原因有两个：
1. 随机因素造成的变异，记为 SS随机
2. 教材种类（解释变量）不同造成的变异，即 因为不同总体的均数不等造成的变异，记为
SS教材
组内变异只是由随机因素造成的，即：
SS组内 SS组内_随机
组间变异即有随机因素，也有教材种类不同造成的变异
作业：08-01
51个人参与一项减肥训练 Data05-07
num gender wbefore wafter dw
1
1
2
1
…
72.0
70.0
2.0
66.0
60.0
6.0
问题1：减肥前后的体重是否有差异？
问题2：体重差量在男女之间是否有差异？
结果报告
答：方差齐性检验结果 F = 5.649；p = 0.021 < 0.05（SPSS结果，Levene's Test）
SS组间 n教材i (xi. x..)2 SS组内 (xij xi.)2
样本均数
x1.=73 x2.=74 x3.=79 x..=75.3
方差分析的基础：变异的分解
总体
样本（测试成绩）N = ∑n 教材 i = 24 样本均数
教材 1 μ1=？ 教材 2 μ2=？ 教材 3 μ3=？
x11=70 x21=73 x31=74
由度”
如果比值 F
SS组间/ df组间 SS组内 / df组内
1,
说明SS教材大于0
如果比值 F
SS组间/ df组间 SS组内 / df组内
1,
说明SS教材等于0
统计检验量
F
SS组间/ df组间 SS组内 / df组内
~
F (df组间，df组内)
方差分析就是根据F分布对检验统计量F 值是否
在统计学意义上大于 1 （单侧检验）进行假设检验
样本（测试成绩）N = ∑n 教材 i = 24
x11=70
x12=72
…
x18=71
x21=73
x22=72
…
x28=74
x31=74
x32=75
…
x38=84
单个观察值的变异： (xij x..)2
离均差平方
总变异：
SS总 (xij x..)2
变异分解： 组间变异： 组内变异：
SS总 SS组间 SS组内
x12=72 x22=72 x32=75
单个观察值的变异： (xij x..)2
…
x18=71
…
x28=74
…
x38=84
离均差平方
x1.=73 x2.=74 x3.=79 x..=75.3
造成变异的原因有两个：
1. 随机因素造成的变异，记为 SS随机
2. 教材种类（解释变量）不同造成的变异，即
因为不同总体的均数不等造成的变异，记为 SS教材
SS组内 SS组内_随机
SS组间 SS组间_随机 SS教材
这样比是否合理？
组内随机变异与组间随机变异的自由度不一致
组内随机变异的自由度
df组内 (n教材1 1) (n教材2 1) (n教材3 1)
组间随机变异的自由度 df组间 教材种类 1
方差分析的逻辑
合理做法：比较“组间变异/组间自由度”和“组内变异/组内自
多个平均数差异检验应采用方差分析（ analysis of variance ）
第5讲：方差分析
主要内容
• 方差分析的基本思想
• 单因素方差分析（软件应用）
– 独立样本 – 相关样本
• 两因素方差分析（软件应用）
方差分析的基础：变异的分解
总体
教材 1 μ1=？ 教材 2 μ2=？ 教材 3 μ3=？
怎么比较？
通过差值比较 差值 SS组间 SS组内 通过比值比较 比值 SS 组间
SS组内 因为比值服从F分布
方差分析的逻辑
所以可以比较 SS组内和SS组间 的比值来考察 SS教材是否大于0
如果比值 F
SS 组间 SS组内
1,
说明SS教材大于0
如果比值 F
SS 组间 SS组内
1,
说明SS教材等于0
?
F = 1.682；p = 0.100 > 0.05（Excel结果，简单的F 检验）
两个软件结果发生矛盾时，倾向采用SPSS的名被试，将其随机分成3组，各 组采用一种教材进行学习。事后进行测试，测试结果如下， 问3种教材对于学习的效果是否一致？
方差分析过程
1. 提出假设： H0 : 1 2 ... k (k为组数)
H1 : 至少有一对总体均数不 等
2. 计算检验统计量：
SS组间 n教材i (xi. x..)2 SS组内 (xij xi.)2
df组间 k 1
df组内 (n教材i 1)
统计检验量 F SS组间/ df组间 SS组内 / df组内
多个平均数的差异检验不适合用T检验
• 3、推断的可靠性低，检验的 I 型错误率（α）大
用T 检验法进行多个处理平均数间的差异检验会
增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。比如
用T 检验法进行3水平的均数间的差异检验，若两
两比较推断正确的概率为95%，因为一共要做3次 比较，则所有比较都正确的概率为0.953=0.86。
教材1 70 72 74 68 76 76 77 71
X1 73
教材2 73 72 70 73 78 75 77 74
X 2 74
教材3 74 75 72 71 87 85 84 84
X 3 79
可不可以用T检验进行两两教材之间的比较来解决该问题？
多个平均数的差异检验不适合用T检验
• 1、检验过程烦琐 例如，一实验中解释变量包含3个水
平，采用t检验法要进行 C32 3次两两平 均数间的差异检验；若有k个处理，则要 作 k(k-1)/2次类似的检验。
多个平均数的差异检验不适合用T检验
• 2、无统一的误差估计，且检验的灵敏性低
对同一试验的多个处理进行比较时，应该 有一个统一的误差的估计值。若用 t 检验法作 两两比较，由于每次比较需计算一个标准误来 估计误差，故使得各次误差的估计不统一。同 时由于没有充分利用资料所提供的信息而使误 差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。