反思在数学问题解决的全过程中

反思在数学问题解决的全过程中

沈超（绍兴文理学院上虞分院）

数学反思是指对曾经在数学思维活动中出现的数学问题、解决问题的方法和问题的结论不断思考的心理活动。数学反思过程不仅仅是对解题结果的回顾，更包括对解决数学问题全程的监控、修正和评价。所以，数学反思既表现为对已有解决问题的过程和结论的提炼、挑剔和批判，又表现为对尚未解决的问题的上下求索。

另一方面，数学“问题解决”恰恰不是以简单地寻求问题的答案为目的，引导学生经历收集数学信息、明确问题、探求解决途径、建立数学模型、获得合理结果、形成恰当的表达方式以及提炼数学思想方法并作推延等等是解决问题的完整过程，这是儿童学习数学的有效方式。

由于数学反思意识的本质是一种数学问题意识，数学反思能力又以解决数学问题能力来表现。因而，通过对数学“问题解决”过程和反思对象的比较就不难发现，以“问题解决”教学为载体，是培养学生全面的数学反思能力的最佳途径。

一、在问题的感知和理解处梳理

以数学“问题解决”模式处理数学问题，首先是感知和理解数学问题，即明确问题所提供的条件信息和目标信息，并建立问题表象。

数学问题的呈现方式可能是文字的，也可能是画面或其他形式的，其中的数量信息通常隐藏在所提供的背景中。学生需要明确问题中有哪些可供利用的信息，即明确问题的初始状态；再进一步明确要解决什么问题，即所要达到的目标状态。小学生在这一过程中往往感知不精细，容易被非本质信息干扰，甚至以个别字、词决定解决方法，从而遭遇解决障碍甚至得出错误结论。

数学反思是对数学思维过程的监控。在解决问题的第一阶段，反思的主要功能是梳理感知过的材料：一是梳理已知和未知数量信息，判断哪些是有用的，哪些是干扰信息，哪些还隐藏着。二是梳理这些信息能否以更简洁的方式表征。如，能否用直观手段反映数量间关系，是否可通过改变信息出现顺序使信息间关系更清晰，进而判断是否还缺少或多余了信息。三是梳理信息之间的联结方式，尤其是维系初始状态与目标状态的关系。经过这样的反思性梳理，不仅对问题的理解更全面、准确，还能避免“以词定法”所带来的失误。

二、在思路的探求和确定中监控

获得解决问题的思路是“问题解决”的核心环节，通常需要学生经过观察、操作、猜想、尝试、解释以及合作交流等数学活动来实现。这一环节一般包括问题类化、寻找解决问题的突破口和确定解决步骤三方面。

问题类化是要把获得的问题信息与个体原有认知结构中相关数学知识和方法联系起来，并重新组合成解决问题的新方法。“问题类化”过程中思维的监控主要包括：我以前见过这种问题吗？是不是形式不同？是否熟悉与此有关的问题？是否有一个可能用得上的方法或结论？能利用它吗？这是一个全新的问题吗？还要作哪些准备？等等。这样的反思性监控能有效避免随意或机械套用公式与方法。

寻找解决问题的突破口包含二方面的任务：一是抓住问题解决的关键，找到解决问题的主攻方向；二是明确从什么地方入手去解决，即确定思维起点。由于思考问题的角度不同，寻找突破口的方式、效率甚至结果各异。突破口的确定或许是推理的结果，或许是顿悟的灵感。这阶段的反思对提高思维效率、及时扭转错误方向、获得合理的结果有时是决定性的。这时的反思表现为经常作自我提问，如：此问题与类似问题目标的差别在哪里？是由于已知信息的不同还是信息间联系方式的区别还是解决策略不能套用？此方法(突破口)是否可行？换个角度想一想？

确定解决步骤指拟定解决问题的具体操作程序或建立相应的数学模型。从思维过程看，主要是在已确定的思维起点基础上进一步确定整个解决过程应沿什么方向思考下去，以保证思维沿目标信息的方向顺利进行。这里的反思包括：我是否利用了所有已知数量？是否利用了整体条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？已知到未知的联系是否顺畅?如何调节？等等。

三、在方案的实施和矫正上审视

解决数学问题的方案初步确定后，实施过程中审视方案的合理性、可行性，以及对方案执行的正确与否、是否需要修正等等思维过程，反思的作用仍不容忽视。因为当学生认为已经有了解决问题的思路后，通常就会放松“警觉性”，进而是机械地套用一种模式的过程。其实，执行方案的过程仍然需要理性地思维。一方面，可能在方案执行过程中发现新的因素需要矫正原有思路，甚至可能遇到新的困难对原方案推翻而重新设计；也可能受某种启发而跳过原先设计的程度，一下子获得部分甚至全部答案等等。另一方面，在方案执行中，小学生很容易在数据使用、计算和单位换算等方面出现错误。这时的反思就表现为修正方案、矫正策略的意识和能力；还表现为对一些实施细节的调控与回顾。如：我的每一步都正确无误吗？每一步是否都是必要的？是否可以更简洁一些？有没有写错和算错？

例如，在解决“某校五年级有三个班，其中一班二班平均55人，二班三班平均53人，三班一班平均54人，三个班各多少人？”这一问题时，有学生依据“平均数”的条件和常规的思路获得解题的方案：先求出三个平均数的2倍，然

后求和，可求出三个班人数的二倍（55×2+53×2+54×2=324）；进而可求出三个班的总人数(324÷2=162)；又根据第一个条件，可求出一班二班的总人数（55×2=110）；最后作差可求出三班的人数（162-110=52）。于是，其余二个班的人数就不难求得（一班：54×2-52=56；二班：162-52-56=54）。在方案的执行过程中，教师引导学生在理解这位同学求解方案的基础上，要求对方案作反思性审视。有学生发现，“55人”是一班和二班各一半人数的总和，因而，只要将三个已知数加起来恰好就是三个班的总人数（55+53+54=162），这就可以使原方案中前两步简缩成一步简单的加法。进而又有学生发现，只要将前两个数加起来，和就是二班的人数与一班、三班各一半人数的总和，再减去第三个数就是二班的人数（55+53-54=54），解题变得非常简单。这里，反思对修正解决问题的方案起了决定作用。

四、在结果的表达和推延时剖析

学生经过复杂的数学思维活动，已初步获得问题的答案。如何将结果“数学”地呈现出来，使得既体现数学的简洁美、严谨美，又从数学思想方法的高度抽象概括，这反映个体形式化的表征能力。这时的反思表现为对结果的剖析。如：结果合乎逻辑吗？结果是否符合现实情景？对问题目标的解释是否合理、科学、准确？是否还有其他结论？这样的表述严格吗？别人能否理解？是否需要图画、表格或实物等作直观性辅助？

学生解决数学问题的较高境界是解决过程或结果具有一般数学思想方法或方法论意义上的提升，即能够举一反三、能推延到更广泛的应用。这种应用包括模仿水平的，也包括拓展推广。推广既可以是情景的推广，也可以是解决策略、思路寻求方式等方面的推广。而反思参与问题结论的呈现与类化的剖析，不仅有助于形成良好的认知结构，也有助于上述目标的实现。这时的反思通常表现为：这个结果是否可以更一般化？解决问题的方式还适用于哪些问题？有什么启发？结论是否可以分类？它与以前学过的哪些知识有联系？

五、在群体的交流和评价间回顾

儿童在成功解决了一个新问题后往往有一种兴奋感和成就感，但同时伴随的是到此为止、无心恋战的心理，也有的被胜利冲昏头脑，不愿再冷静思考。然而，“问题解决”教学并非以获得正确“答案”为唯一目标。

这时是全面反思的最佳时机。建立在个体经验背景下的问题理解方式会相对狭窄、有限，同伴间的交流使思维活动显性化，思维空间更广阔，思维过程更清晰；同伴间的评价能集思广益、发现问题、比较优劣，会对问题的理解更深刻。这使个体的认知结构得到优化。获得问题答案后的群体交流与评价，学生不仅叙说自己的方法与结果，还要用自己的观点去说服别人；在接受别人观点时产生疑