3.4麦克斯韦速度分布律-44解析
麦克斯韦速率分布
M1W1 M 2W2 M nWn
真实值
N足够大：平均值
----统计平均值 涨落：统计规律总伴随有涨落 N越大，涨落越小；N越小，涨落越大。 热学系统，N足够大，涨落很小。
二、麦克斯韦速率分布律
1、速率分布函数
按统计假设，各种速率下的分子都存在， 用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比， 表示分子按速率的分布规律。 N: 总分子数 dN: 速率区间 v v dv 内的分子数
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 8.31 300 v 508m / s 3 29 10
2
3kT v m
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
【讨论题】： 1.如图所示，SA= SB，v0代表什么？
S A f (v ) dv
0
v0
f (v )
S B f ( v ) dv
总分子数的百分比; 也表示在速率 v 附近单位 速率间隔内分子出现的概率，即概率密度。
2) 速率分布曲线： 即 f(v)~v 曲线
dN f (v ) Ndv dN f (vdv
v
dN N
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
3) 在 f(v)~v 曲线下的面积为该速率区间 内分子出现的概率。
dN 表示速率区间 v v dv 内的分子 ： N 数占总分子数的百分比，也表示在速率 区间 v dv 内分子出现的概率。 v
麦克斯韦气体速率分布律
麦克斯韦气体速率分布律Maxwell Velocity Distribution大家知道，由气体的温度公式可以得出气体分子的方均根速率。
例如在时，氦气。
氧气。
但我们要注意的是，方均根速率仅是运动速率的一种统计平均值，并非气体分子都以方均根速率运动。
事实上，处于平衡状态下的任何一种气体，各个分子均以不同的速率、沿各个方向运动着。
有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它们的速率可以取零到无穷大之间的任意值。
而且由于气体分子间的相互碰撞，每个分子的速度也在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。
然而就大量分子整体而言，在平衡状态下，分子的速率分布遵守一个完全确定的统计性分布规律又是必然的。
下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法导出的分子速率分布规律。
气体分子按速率分布的统计规律，最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中也导出该规律。
由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。
1920年斯特恩（O.Stern首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier和库士（Kusch测出钍蒸汽分子的速率分布。
斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。
限于数学上的原因和本课程的要求，我们不推导这个定律，只介绍它的一些基本内容。
*麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）英国物理学家，经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。
他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，这个理论包括电磁现象的所有基本定律，并预言了以光速传播的电磁波的存在。
1873年，他的《电磁学通论》问世，这本书凝聚着杜费、富烂克林、库仑、奥斯特、安培、法拉第……的心血，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。
麦克斯韦速率分布
目录摘要 (1)Abstract (1)1.引言 (1)2.麦克斯韦速率分布 (2)2.1麦克斯韦速率分布函数 (2)2.2三种速率 (3)2.3理想气体平均自由程 (4)3.麦克斯韦速度分布律 (5)3.1根据概率理论导出麦克斯韦速度分布律 (5)4.由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数 (8)5.结论 (10)参考文献 (10)附录 (12)麦克斯韦速率和速度分布的初步研究摘要：麦克斯韦速率和速度分布函数是气体动力学理论中的一个重点和难点。
本文首先介绍了麦克斯韦速率分布函数的意义及其应用，然后讨论了麦克斯韦速度分布函数的推导建立过程，并根据速度分布率研究了气体分子碰壁数。
关键字：麦克斯韦速度分布函数；麦克斯韦速率分布函数；最概然速率；平均速率；平均自由程；气体分子碰壁数。
Preliminary study of the distribution of Maxwell speed andspeedAbstract: Maxwell speed and velocity distribution function is a key and difficult point in the theory of gas dynamics. This paper firstly introduces the meaning and application of Maxwell speed distribution function, then discusses the derivational process of Maxwell velocity distribution function, and studies the collision frequency of gas molecules according to the velocity distribution rate.Keywords:Maxwell velocity distribution function, Maxwell speed distribution function, most probable speed, average speed, mean free path, collision frequency of gas molecules.1.引言1859年，J.C.麦克斯韦首先推导出气体分子速度的分布规律，之后，该规律又被L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。
大学物理麦克斯韦分子速率分布定律资料
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
经典：第四讲-速度分布函数-麦克斯韦速率
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点：
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv；
3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
8
物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
• dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与
区间大小成正比。
为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 dN ，这样，比
Ndv
值 dN
Ndv
就反映出了分布随速率v的改变而改变。为此我们规定；
7
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的
单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是
(2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
解 (2)
vp
2RT
M
RT 2 103
1000
m/s
RT
f(v)
(v p )H2 103
1.41 103 m/s
( v 2 )H2
3RT M
1.73103 m/s
He H2
1000
v
29
例2 有N 个粒子，其速率分布函数为
f (v )
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内 的分子与总分子数的比率，所以
v v0 的分子数与总分子数的比率为
N
N
v0a
v0
2 3v 0
2 3
N 2 N
3
因此， v>v0 的分子数为 ( 2N/3 ) f (v )
4麦克斯韦速率分布率
o v p2 v p1
v
dengyonghe1@
时的最概然速率v 例：求空气分子在27ºC时的最概然速率 P 求空气分子在 时的最概然速率 解：由公式
vp =
2 RT M
T = 300K
M = 29 g/mol
2 × 8.31 × 300 vp = = 414m/s −3 29 × 10
S1 S2
B
ϕ
C
A
ω
l
抽真空
P
dengyonghe1@
讨论
1. vP与温度T的关系 与温度 的关系
T ↑ → vp ↑
f (v )
2kT vp = m
物理意义：温度越高，速率较大的分子数越多， 物理意义：温度越高，速率较大的分子数越多， 分子运动越剧烈。 分子运动越剧烈。
T2 > T1
曲线的峰值右移,由于 曲线的峰值右移 由于 曲线下面积为1不变 不变， 曲线下面积为 不变， 所以峰值降低。 所以峰值降低。
T1
T2
v
dengyonghe1@
o
v p1
vp2
2. vP与分子质量m的关系 分子质量 的关系
2kT vp = m
m ↑ → vp ↓
m2 > m1
曲线的峰值左移,由 曲线的峰值左移 由 于曲线下面积为1不 于曲线下面积为 不 所以峰值升高。 变，所以峰值升高。
f (v) m2 m1
三、麦克斯韦速率分布律的应用
利用麦克斯韦速率分布率可计算最概然速率、 利用麦克斯韦速率分布率可计算最概然速率、方均 根速率、平均速率等物理量。 根速率、平均速率等物理量。
1.最概然速率 P 最概然速率v 最概然速率 最概然速率也称 最可几速率， 最可几速率，表示在 该速率下分子出现的 该速率下分子出现的 概率最大。 概率最大。
麦克斯韦速率分布律
粒子速率分布实验曲线如下所示
结论：气体分子速率分布符合麦克斯韦分布率
理想气体状态方程
或
三个速率
麦克斯韦速率分布率
上节基本概念回顾
速率分布函数
温度越高，速率大的分子数越多
讨论：1、同一气体不同温度下速率分布比较
比较 的高低
讨论：2、同一温度下不同种气体速率分布比较
分子质量越小，速率大的分子数越多。
比较 的大小
--- 用于讨论分子碰撞
三种速率的使用场合
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和氦了。 N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧气(占大气质量的23%)。
气体分子速率的算术平均值。
(2)平均速率：
气体分子速率平方的平均值的平方根。
(3)方均根速率：
三种速率均与 成正比,与 成反比，但三者有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的场合。
三个速率的比较
vp --- 用于讨论速率分布
---用于计算分子的平均平动动能
把速率分成很多相等的间隔
+
o
统计出每个间隔内的分子数N
间隔内分子数与分子总数N之比
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比
速率分布函数表达式 的意义
（1）速率分布函数 意义是v处单位速率间隔内的分子数占总 数的比值。
（2）如果分布函数 确定，则处于速率 内的分子数占总 数的比值为
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数
麦克斯韦速度分布律
m
vP v v2，与 T 成正比，与 m 成反比。
v 用于碰撞和输运过程的统计规律，v2 用于
温度和压强的统计规律。
【例8.8】计算温度为 300K 时，空气分子的最 概然速率、平均速率和方均根速率。
解 空气分子的平均质量 m = 47.98×1027 kg
vP
2kT m
21.381023 300 47.98 10 27
1859年，麦克斯韦首先用碰撞概率方法导出。
8.5.2 麦克斯韦速率分布律
1. 速率分布函数
f (v) dN (v) Ndv
物理意义：速 率 出 现 在v附近的单位速率区间 的分子数，占系统分子 总数的百分比。
或，一个分子的速率出现在v附近的单位速 率区间的概率 速率分布的概率密度
归一化条件： f (v)dv 1
0
2. 麦克斯韦速率分布律
分子在速度空间分布 概率密度为 FM (vx ,vy ,vz )， 分子速率处于球壳内的概 率：
dN (v) N
4πv2dv FM(vx ,vy ,vz )
速率分布函数可写成
fM (v)
dN (v) Ndv
4π v2FM
(vx
,vy
,vz
)
平衡态系统中分子的速率分布函数：
415
m s1
v 8kT 469 m s1 πm
v2 3kT 509 m s1 m
相当于子弹从枪口射出的速度！
8
π a5
8.5.1 麦克斯韦速度分布律 1. 速度分布函数
F (vx
,vy
,vz
)
dN (vx ,vy ,vz ) Ndv xdv y dv z
物理意义：速度出
麦克斯韦速度分布律公式
麦克斯韦速度分布律公式麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律是统计物理学中描述理想气体速度分布的重要定律之一。
它描述了在给定温度下，气体分子速度的分布情况。
以下是与麦克斯韦速度分布律相关的公式和解释说明：麦克斯韦速度分布律公式1.麦克斯韦速度分布函数：f(v) = (m / (2 * π * k * T) )^(3/2) * 4 * π * v^2 * exp(-m*v^2 / (2 * k * T))其中，f(v)是速度的概率密度函数，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是气体的温度，v是速度。
2.平均速度：<v> = ∫(v * f(v)) dv计算麦克斯韦速度分布函数与速度的乘积的积分，求得平均速度。
3.均方根速度：vrms = √(3 * k * T / m)均方根速度描述了气体中分子速度的大小，它是所有分子速度平方的平均值的平方根。
麦克斯韦速度分布律解释以下是对麦克斯韦速度分布律公式的解释说明和例子：1.麦克斯韦速度分布函数公式解释：麦克斯韦速度分布函数表示了在给定温度下，速度在不同取值上的概率密度。
函数中的指数项含有一个负号，指数的绝对值大小与速度的平方成正比，即速度越大，对应的指数项越小，概率越小。
这符合物质中分子速度的分布趋势，常见的速度大都集中在某个范围内。
2.平均速度解释：平均速度表示在给定温度下，所有可能速度的加权平均值。
将速度与麦克斯韦速度分布函数相乘后积分，可以得到平均速度。
这意味着在一个气体体系中，速度的概率分布决定了平均速度的大小。
3.均方根速度解释：均方根速度是速度分布的一种描述方式，它描述了速度的大小和分散程度。
均方根速度是气体中所有分子速度平方的平均值的平方根。
根据麦克斯韦速度分布律，均方根速度与温度呈正比，与分子质量的平方根成反比。
总结麦克斯韦速度分布律是描述气体速度分布的重要定律，通过麦克斯韦速度分布函数、平均速度和均方根速度等公式，我们可以计算在给定温度下，气体分子速度的分布情况。
麦克斯韦速度分布函数
麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数是一种物理学中使用最广泛的分布函数，它可以用来描述物体的速度分布特征。
简言之，麦克斯韦速度分布函数的作用就是根据不同的物理现象，建立并预测不同物体的速度分布。
它是一种用于描述物理现象的统计分布，比如分子运动、分子电极面等。
麦克斯韦速度分布函数可以用来研究各种相关的物理现象，比如汽油喷射压力，和半导体晶体管的量子效应，二者两者都受到该速度分布函数的影响。
此外，该分布函数也可以用来描述动力学系统中的分子碰撞，以及分子的可能传播速度。
麦克斯韦速度分布函数的数学表达式为：f(v)=4πv^3/Nexp(-v^2/2u^2)，其中N是正则化常数，v是分子速度的模，u^2是有序温度的两倍。
对于一个特定的温度T，其中的N(T)可以作为一个函数表示，可以表示为：N(T)=∫-∞∞ f(v) dv = (2πmkT/h^2)^(3/2)，其中m是分子的质量，k是Boltzmann常数，h是Planck常数。
通过分析麦克斯韦速度分布函数，它具有以下几个特点：第一，分布函数的最大值位于 v=0，其最大值为 4πN/N = 4π。
第二，分布在整个速度空间中是对称的，即 f(v)=f(-v)。
第三，当 v>0，速度分布函数从 0性增加，当 v=√2u，函数极值点出现，即 f(√2u)=4πu^3/N。
第四，当 v>√2u，函数开始下降，当 v→∞，函数最终收敛于 0 。
麦克斯韦速度分布函数在热力学中有着重要的作用，对于理解热力学系统中分子碰撞、热迁移，以及热力学平衡状态的形成，都有着重要的指导意义。
因此，麦克斯韦速度分布函数在描述和研究热力学系统中有着重要的作用。
麦克斯韦速度分布函数可以用于计算分子运动的各种参数，比如分子运动的温度、平均速度、偏度系数以及平均能量的计算等。
此外，它也可以用来研究分子运动的统计性质，因此能够更准确地描述和识别不同系统中分子运动的特征。
综上所述，麦克斯韦速度分布函数在物理学中具有重要的意义，它可以用来描述物理现象，可以计算分子运动的各种参数，也可以用来研究热力学系统的相关物理性质，从而更好地描述物质的热动力特性。
大学物理课件---麦氏速率分布律-[福州大学...李培官]
![大学物理课件---麦氏速率分布律-[福州大学...李培官]](https://img.taocdn.com/s3/m/39f1ea5a77232f60ddcca1a6.png)
2 v1
3 2
m2
m2
v
2 2
1 m1 4
v p1 v p 2 2000 m / sv
同理 : v p1 500m / s
20
【例2】 有N个粒子，其速率分布函数为
c(常数） dN f (v ) Ndv 0
12
3）速率在v1 ~ v2区间内的分子数占总分子数的百分比 ：（v1→v2 区间内曲线下的面积） v2 N f (v ) d v f (v ) v1 N
N N
S
o
4）总面积：
归一化条件：
麦克斯韦速率分布曲线
v1 v 2
v
N
0
d Nv N
0
f v d v 1
13
讨 论
9
【科学家葛正权简介】
１９２１年毕业于南京高 等师范工科， １９２９ 年自费赴美留学， 在南加洲大学攻读物理， 1 9 3 0年获硕士学位后， 入旧金山柏克莱加洲大学 研究院攻读博士学位，研 究课题是： 用分子束方法证明 麦克斯韦－－波尔兹曼 分子速率分布定律实验”
10
。
１９３３年完成重要学术论文
Nf (v ) d v
—不对！ 上式分母上的N应为
v0 2 0
v
v0 2 v 0 v0 2 0
f (v ) d v f (v ) d v
a v0 4 ( ) 4 2 a v0 3 ( ) 3 2
3 v0 v 8
23
【例4】. 若某种气体在温度T1=300K时的方均根速 率等于温度为T2时的平均速率，求T2=？ 解：常温下气体可看作理想气体，而方均根速率和 平均速率分别为
麦克斯韦气体速率分布律
v Z
二、平均自由程和平均碰撞次数的计算
1、平均碰撞次数 假定 每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。
只有某一个分子A以平均速率 其余分子都静止。
d d d
v
运动，
v
A
v
v
A
v
d
d d 球心在圆柱 体内的分子
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 2 相应圆柱体体积为 d v 圆柱体内 2 2 d v n Z d v n 分子数
vf (v )dv
8kT 8 RT RT v 1.60 m M M
3、方均根速率 (1)定义： 大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做 方均根速率。 (2)计算：
v2
2 v dN
N
2
2 v Nf (v )dv
N
v 2 f (v )dv
vrms
3kT 3 RT RT v 1.73 m M M
麦克斯韦 速率分布函数
3 2
mv 2
v
2
m——分子的质量 T——热力学温度 k——玻耳兹曼常量
三、三种统计速率
1、最可几速率vP (1) 定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最可几 速率或最概然速率。 (2) 物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的
小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。
速率分布函数
(2) 物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总
分子数的概率，或概率密度。
dN f (v )dv N v2 N ＝ f (v)dv N v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率 表示速率分布在v1→v2内的 分子数占总分子数的概率
麦克斯韦速率分布律
0°C 时,氧气分子速率分布的粗略情况
100 1以下 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7 7~8 8~9 9以上
m/s
%
1.4
8.1
16. 5
21. 4
20. 6
15. 1
9.2
4.8
2.0
0.9
气体的速率从整体上看有统计规律性。
设速率 v v + dv 区间的分子数为dNv
vv f (v)dv N
v
N
例7 在Nf(v)~v曲线下的面积表示什么物理意义？ Nf(v)~v曲线下的面积为该速率区间内的分子数。
N f (v)
N f (v)
o v v dv
N f (v)dv dNv
v
v
o v v v
v v
v N f (v)dv N
vp
2
8.31 300 29 10 3
414
m/s
例5 试说明下列各式的物理意义。
(1)f (v)dv ,
(3
)v2 v1
f (v )dv ,
(2)Nf (v)dv ,
(
4
)v2 v1
Nf
(v )dv .
答：由速率分布函数可知 f (v) dNv Ndv
(1) f (v)dv dNv N
表示在速率v附近，dv速率区间内分子出现的概率。
f (v) dNv Ndv
(2)Nf (v)dv dNv
表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。
(3
)v2 v1
f (v)dv
N N
表示在v1~v2速率区间内，分子出现的概率，或 在该速率区间内分子数占总分子数的百分数。
麦克斯韦速率分布律
dN m 3 / 2 mv 2 / 2 kT 2 f ( v) 4 ( ) e v Ndv 2 π kT
23 ´ 当m 2 10 g , T 273k , V 800m / s
f (800) 10 什么含义
6
在800-800+dv速率区间，单位速 率区间分子数占总分子数之比
f (v ) d v
0 v0 2 av d v 0
0
1 3 av 0 3
3 a 3 v0
（2）设总分子数为N， 则
v
v 0
Nf (v ) d v N
2
v 0
f (v ) d v
v0 v 0
a 4 1 3 4 3 av d v v 0 ( 3 )v 0 v 0 4 v0 4 4
m 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95
总人数1380 1.50-1.55m的人数130
30 25 20 15 10 5 0 25 26 26 26 27
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
50 40 30 20 10 0
N v d N v 0 N d Nv 0
i
N v 0
d Nv N
v 0
f (v ) d v
8kT 8RT 对麦氏速率分布经计算得： v πm π
v (v ) f (v ) d v
0
规律：任意v 的函数(v)对 全体分子的平均值都可以用 速率分布函数由上式求得：
麦克斯韦速率分布定律
υ 附近单位速率区
间的分子数
(5) nf ()d N dN dN
VN V
单位体积中速率在υ ~ υ+dυ区间的分子数
(6) 2 f ()d 1
dN N
N1 2 N
速率在υ1 ~ υ2区间的分
子数占总分子数的百分比
(7) 2 Nf ()d 1
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
(1) f () dN Nd
(2) f ( )d dN
N
υ附近单位速率区间的分子
数占总分子数的百分比
速率在υ ~ υ+dυ区间的分
子数占总分子数的百分比
(3) N f ()d N dN dN
N
速率在υ ~ υ+dυ
区间的分子数
(4) N f () N dN dN Nd d
f ()
T1
T2 T1
T2
p
2kT m
麦克斯韦速率分布定律
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
麦克斯韦速率分布
3/ 2 mv
2
e
2 kT
v , ( , n均匀）
2
2、分子在势场中，n不均匀，考虑空间分布：
dN ndV n0 e
p
kT
dxdydz
——在x，y，z处得体元dV中的分子数
在势场中，分子总是优先占据势能较低的状态。
N / N 0
0
100－200 200－300 300－400 400－500 500－600 600－700 700－800 800－900
1.4 8.1
16.5 21.4 20.6 15.1 9.2 4.8 2.0
N
Nv
ΔN－在v－v＋Δv区间内 的分子数 N－总分子数 Δv －速率区间
分布
2、公式推导：——流体静力学 h+dh h 今取一垂直于地面的气体圆 P+dP＝P’ 柱体。设地面处分子数密度 为 n 高度为h处的分子数密 0 为度 n P
dP gdh
nm
dP nmgdh —（1）
平衡时， P nkT
h+dh h
P+dP＝P’ P
T处处相等，
dP kT dn —（2）
0
m 4 2kT
3/ 2
mv
2
e
2 kT
v dv
3
__
v 4 2kT
3/ 2
mv
2
e
2 kT
k3dv R / N 0 v
mN0
8kT
m
8 RT 1.60 RT
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1 通常 v xv y v z v v v v2 3 2 2 2 2 2 2 2 v i v ix v iy v iz v v v 2x Nx 其中 v 2 1x x 2 2 2 2 N v v x v y vz
v
f v
1 2 2 2 px py pz 2m V dp x dp y dp z 3 h
al Fra biblioteke l
l
1 2 2 ( px p2 V 2 mkT y pz ) dN p 3 e dpx dp y dpz h
e
e
1 2 2 ( px p2 y pz ) 2 mkT
f (v) lim v 0
N 1 dN Nv N dv
──这就是麦氏速率分布函数。
速率分布函数的意义：速率在v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数 的百分比。一个分子，其速率分布在v单位间隔内的概率。 一个分子，某一时刻速度 可是大量分子速度分量的方均值相等。
2 x 2 y 2 z
平衡态——麦克斯韦速率分布函数，可由玻尔兹曼统计求。
dN v f v Ndv
d Nv
k R N A 1.38 1023 J K 1
dv
v
f ( v) 4 π (
mv 2 2 kT
麦氏速率分布函数
m 32 ) e 2 πkT
mv 2 2 kT
v2
dN m 32 4π( ) e N 2 πkT
v 2 dv
1、对于给定气体f（v）只是T 的函数。 m：分子的质量 2、速率分布是统计规律，只能说：某一速率区间的分子有多少；不能说： 速率为某一值的分子有多少。混合气体不存在此分布律，但各组分仍适用。 3、由于分子运动的无规则性，任何速率区间的分子数都在不断变化，dNv 只 表示统计平均值。为了使dNv 有意义，d v 必须宏观足够小，微观足够大。
求解：体积V内，速度在dvxdvydvz范围内的分子数 dNv
先求 dNp
，再变量代换为 dNv
先求此范围内的微观状态数， l 再乘以玻耳兹曼分布 al e
最终得到单位体积内，分子速度在dvxdvydvz范围内的分子数
2 m 2 2 kT ( vx2 v 2 y vz ) n dNv dvx dvy dvz e 2kT
y
, vz )dvx dvy dvz n
换球坐标，并对角度积分：
m 2 2 kT v 2 2 f (v)dv 4n v dv e 2kT
3 m
-------麦克斯韦速率分布律
1.无外场时，分子平均能 量 的经典表达式为 2.体积V内，分子质心平 动动量在dpxdpydpz范围内 的状态数 3.体积V内，分子质心平 动动量在dpxdpydpz范围内 的分子数 dNp V 4.参数α 由总分子 3 h 数N的条件定出 5.将积分求出，得： 6.体积V内，分子 质心平动动量在 dpxdpydpz范围内的 dNp 分子数
麦克斯韦的两种推导方法，均不利用M-B分布 推导方法1，有假设
推导方法2，无假设，从碰撞出发
其他数学方法：不利用M-B分布推导
麦克斯韦速度分布律的推导（从M-B分布）
物理模型
气体含有N 个分子，体积为V;
宏观容器内，分子的平均能量可以看作准连续的变量; 一般地，气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布; 方案：经典统计理论
20.6 % 15.1 % 9.2 % 4.8 % 2.0 % 0.9 %
麦克斯韦从理 论上得到速率 分布定律
将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一系列相等的速率间 隔，即v1v1+v, v2v2+v,…,然后考察分布在速率间隔v+v内的分子数 N占总分子数的百分比N/N, 为了进一步消除速率间隔v的影响，将比 值N/N除以v,即得 N/Nv 取极限，并令极限值为以f(v)表示，──其 是速率v的确定函数。即
§3.4 麦克斯韦速率分布律
一、气体分子的速率分布函数 对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对于大量分子，其速率 的分布从整体上会出现一些统计规律。 如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动速率(在经典物理 中为0→)，按照从小到大的排列，分成一系列相等的速率区间，例 如从： 0─100m/s，100─200m/s，200─300m/s，… （i）如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在哪个速率区 间内运动，那么，我们发现这种运动完全是偶然的，无规则的(即随 机的），毫无意义的。 （ii）如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是大量分子的 整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的分子 数Ｎ，占总分子数N的百分比──这时就会发现，它是存在确切的统计 规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率分布律。
3
dpx dpy dpz N
N V
h 2 mkT
2
2
2 1 2 2 mkT ( px2 p 2 y pz ) N dN p dpx dpy dpz e 2m kT
3
1
体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的分子数
3
m
将 dNv 记为：
m f (vx , v y , vz )dvx dvy dvz n e 2kT
2
3
m 2 2 ( vx v 2 y vz ) 2 kT
dvx dvy dvz
-------麦克斯韦速度分布律
速度分布函数满足：
f (v , v
x
斯特恩从实验 上证实了速率 分布定律
速率区间 (m/s) 分 子实 速验 率数 分据 布 的 ＜ 100 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 600~700 700~800 800~900 ＞ 900
百分数
1.4 % 8.1 % 16.5 % 21.4 %