《原子物理学》(褚圣麟)第三章 量子力学初步要点

第3章 量子力学初步
用粒子的观点，极大值处意味着到 达的电子多，极小值处意味着到达的 电子少。
从波的观点来看，极大值处表示波的 强度大，极小值处表示波的强度小。
玻恩的观点就能将粒子和波的概念 统一起来。波函数代表发现 电子衍射的强度分布图
粒子的几率
( x, y, z, t ) 表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积
1925-1928年，海森堡、薛定谔、玻恩、狄拉克等 ……建立量子力学
第3章 量子力学初步
3.1物质的二象性
一、经典物理中的粒子和波
粒子：空间局域性，用 r
波：空间弥散性，用
和
描述其运动。 p
描述其运动。

和
二、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波 20世纪初，光电效应和康普顿效应散射直接和间接地证明光不仅具有波的叠加 性，可以产生干涉、衍射的波动性，而且还具有质量、动量、能量和角动量的粒 子性。光同时具有的这两种属性统称为光的波粒二象性，由爱因斯坦关系式表示 为：
p / 2
E t / 2
第3章 量子力学初步 三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子 例1： 设电子与 的子弹均沿 x方向运动， m0 .01kg 测定x 坐标所能达到的最大准确度。 ， 精确度为 500m / s ，求
x
0.01 %
x 500104 m / s 5 102 m / s

p
i ( Et r p ) Ae
――自由粒子的波函数，描写动量为
p、能量为E
的自由粒子。 经典力学 位置和速度 量子力学 波函数
波函数体现了波粒二象性，其中的E和 p 是描写粒子性 的物理量，却处在一个描写波的函数中。
二、波函数的统计解释
干涉图像的出现体现了微观粒子 的共同特性，而且它并不是由微观粒 子相互作用产生的而是个别微观粒子 属性的集体贡献
连续：几率一般不发生突变。 2．归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的 总几率应当为1：
( x, y , z , t )
2
dV 1
第3章 量子力学初步
1．实验装置
第3章 量子力学初步
2．实验结果 (1)当V不变时，I与的 关系如图 不同的，I不同；在有 的上将出现极值。
(2)当不变时，I与V的 关系如图 当V改变时，I亦变；而 且随了V周期性的变化
V
第3章 量子力学初步
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3．实验解释 晶体结构：
第3章 量子力学初步
第3章 量子力学初步
1928年，菊池正士把电子束射在云母薄片上，在云母后面一段距离处用照相底 片接受电子，获得了衍射图样。 同年，G. P Thomson用电子束穿透晶体薄片，也得到环状的衍射图像，此时晶 体起到了透射光栅作用。
第3章 量子力学初步
3.2 测不准原理
在经典力学的概念中，一个粒子的位置和动量可以同时具有确定值。量子理论建 立后，由微观粒子的波粒二象性揭示出微观粒子的位置和动量具有不确定性，这 可用电子单缝衍射实验说明，并验证不确定关系。
德布罗意关系式还可以写成
E
式中，
h p n k

：角频率； ：传播方向上的单位矢量 2 n
h 34 1 . 054588 10 J s ：波矢量 2 h h 粒子的德布罗意波长： p m m0 1．当 ~ c 时， m 1 2 / c2
第3章 量子力学初步
第三章 量子力学初步
内容：
1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述
1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化 1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子 1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态 1924年，德布罗意，物质波假说 ……旧量子论
2 k n
第3章 量子力学初步
m mo 2．当 c 时，
1 m
1 2 m eV 经过电场加速的电子： 2
h h 12.25 埃 m 2eV / m 2em V V (伏特)
适用条件：(1)电子，(2)非相对论(U不能太大)。
第3章 量子力学初步 四、德布罗意假设的实验验证
第3章 量子力学初步 2
内发现粒子的几率。
( x, y, z, t ) 即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现电
2
子的几率密度。如果 ( x, y, z, t ) 2 大，则电子出现几率大， 因而电子出现的目也多，此处为衍射极大值处；反之， 如果 ( x, y, z, t ) 小，则电子出现几率小，电子出现的数目 也少，此处为衍射极小值处。
n 波程差： 2d sin ( 2n 1) 2
当 2d sin n 时加强----布拉格公式。
第3章 量子力学初步
可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。
对于通过电压V加速的电子：

1.225nm V (伏特)
n 1,2
当V不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值 当不变时，改变V，可使某一V满足上式，出现极大值。 实验证明了电子确实具有波动性， 也证明了德布罗意关系式的正确性。 并进一步证明：一切实物粒子(电 子、中子、质子等都具有波动性。
E h
p
E , P ,
h
--------光的波粒二象性
第3章 量子力学初步
光的波粒二象性是否具有更深刻的普遍意义？ 1924年，年轻的法国物理学家德布罗意反向思考了这一问题在向巴黎大学理学 院提交的题为《量子理论的比较》的博士论文中提出了所有粒子都具有波动性的 假设。他指出：“在整个世纪以来，人们在辐射理论上，比起关注波动的研究方 法来，是过于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？ 是否我们关于粒子的图象想的太多，而过分忽视了波的图象？”于是他将光的波 粒二象性大胆地赋予了电子这样的实物粒子上，即承认实物粒子也具有波粒二象 性。
的坐标，又能避免动量发生变化。
如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量 就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有 确定的值。
x 0
x p x h / 2
px
第3章 量子力学初步
二、不确定关系 1927 年，海森堡首先推导出不确定关系 ：
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2
第3章 量子力学初步
三、德布罗意关系式 微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一定能量E和一 定动量p的自由粒子，相当于具有一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关 系为：
p
h

E h
----德布罗意关系式。
与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。
单缝衍射时，粒子位置和动量的确定度
粒子动量的不确定度为
sin
px p
又
px p sin sin d 2x
p x p 2x
2x p x p h
x p x h / 2
x p x h / 2
第3章 量子力学初步 狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝 宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了 变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子

r n
t ) ]
i e 欧拉公式： cos i sin 取“＋”
p Ae
i 2 (

t )
―沿 n 方向传播的、波长为、频率为的平 面简谐波方程。
第3章 量子力学初步
用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：
E h
h p n
德布罗意曾指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电子穿过晶体时，将 会发生电子波的衍射现象。 1925年戴维孙－革末在一次偶然的真空破坏事故，使镍棒样品被氧化，为了还 原，他们对镍加热，结果形成了镍的单晶结构，即将镍单晶化，镍的晶格成了电 子衍射的光栅。从而当电子穿过镍单晶时，观察到电子的衍射图象，测量了电子 波的波长，证实了德布罗意假设。 1927 年在物质波概念的指导下，Davisson 和Gemmer重新进行了较为精确的 实验，实验装置如下图所示
25 20 15 10 5 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Time (ms)
Time (ms)
第3章 量子力学初步
§3.3 波函数及其物理意义
一、波函数
自由粒子 平面波
设一平面波沿速度 v 的方向传播，该方向的单位矢量 为 n，即 v vn ， t 时刻，波面AB上O点的振动：
2
W ( x, y, z, t ) *
第3章 量子力学初步 2
表示t时刻、（x、y、z）处发现粒
子 的几率密度。 dV dxdydz t时刻、x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz、的体元 内发现粒子的几率：
dW ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) dV
2
讨 论
1.波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一 2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率 3.单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验
三、波函数的标准条件及归一化
1．波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。
第3章 量子力学初步
有限：几率不能无限大。
x p x / 2
x / px / mx
电子： 子弹：
x 2.3mm
x 2.11031m
30
2．E t / 2
30
Intensity (arb.units)
25 20 15 10 5 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Intensity (arb.units)
3.2 测不准原理
第3章 量子力学初步
第3章 量子力学初步
一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)
电子以速度沿着y轴射向 A屏，其波 长为 ，经过单缝发生衍射，缝 hp 宽为 d ，到达 C 屏。第一级暗纹的位 置：
d sin
x方向上，粒子坐标的不确定度为
x d 2
o a cos[2t ]
时间后，波面传到A`B`，其上任一点P的振动和时间 前AB上任一点O的振动相同：
p a cos[2 (t ) ]
第3章 量子力学初步

r cos


r n

r OP
a cos[ 2 (
r n