第二章光的衍射(菲涅耳圆孔衍射
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AP a2 a4 a6 ... a2k
a2k
k
对P点都为光强很强的亮点。把 这种特殊光阑称为菲涅耳波带片。
直线传播与衍射的联系
• 有遮蔽 波面不完整 一些次波不能 到达观测点 光强分布不均匀 衍射 现象
• 无遮蔽 波面完整 所有次波都能到 达观测点 光强分布均匀 光沿直线 传播 衍射现象的极限
Ip
Ap2
a12 4
I0
1.即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。 此时的P点应该是一个亮点。
2.此亮点称为泊松（Possion 1781—1840）亮斑。这 是几何光学中光的直线传播所不能解释的。
3.1818年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导 出圆盘轴线上应是亮点。
4.后来由阿拉果在实验中观察到圆屏 衍射轴线上的亮点，证明了惠更斯— 菲涅耳原理的正确性。
泊松（Poisson 1781－1840）法国数学 家。 1812年当选为巴黎科学院院士。
泊松对积分理论、行星运动理论、热 物理、弹性理论、电磁理论、位势理论 和概率论都有重要贡献。他一生共发表 300多篇论著。
阿拉果（Arago 1786－1853） 法国科学家
五、波带片
从前面的讨论可知，在相对于P点划分的半波带 中，奇数序（1、3、5…….） （或偶数序）半波带所 发出的次波在P点是同相位的（相差2π的整数倍）， 而奇数序和偶数序半波带所发出的次波在P点是反相 的（相差π的奇数倍）。
波面S
R O
rk=r0+k(λ/2)
Rh
r0
P
B0
设圆屏遮蔽了开始的k个半波带，从第k+1个半波带开
始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达P点。
这些半波带的次波在P点叠加后振幅为:
AP
ak 1 2
am 2
因m，所以 am 0
Ap
ak 1 2
因此
Ip
Ap2
a2 k 1 4
当k不是很大时，有 ak 1 a1
• 如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大 值和最小值之间．
• 结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动 时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化．
四、菲涅耳圆屏衍射
当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不 透明，被圆屏挡住部分的波面（也即有k个半波带发 出的次波不起作用）对轴线上p点的光强将没有贡献。
lR
s Bk
k
Rh
h B0
rk
r0
P
由于h<<r0，则h2可略去
Rh2k rk2 r02 2r0h
(1)
Rh2k rk2 r02 2r0h
(1)
又wk.baidu.com为：
rk2
r02
(r0
k
)2
2
r02
O
k r0 (2)
lR
s Bk
k
Rh h B0
rk
r0
P
(略去 k 2 2 )
4
Rh2k R 2 (R h)2 2Rh (3) 由（1）、（2）、（3）式可得: h kr0
若做一个特殊光阑，使之只允许序数为奇数的半波 带或序数为偶数的半波带透光，则P点的振幅为同相位 各次波叠加，因此叠加后将会振幅很大。
如图，若只允许序数为奇数的 半波带透光，则P点的合振幅为:
AP a1 a3 a5 ... a2k1
a2k1
k
如图，若只允许序数为偶数的半波 带透光，则P点的合振幅为 :
• 光传播 次波叠加 衍射 • 无论光是直线传播还是具有明显的衍射现
象，都遵循惠更斯----菲涅尔原理。
例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第1、 3、5、…、19等10个奇数带露出。第2、4、6、…、20 等10个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传
播时光强的多少倍？
解：波带片在轴上场点的振幅为
2(R r0 )
Rh2k
Rh2
k
r0 R R r0
Or
k Rh2 ( 1 1 )
r0 R
k Rh2 ( 1 1 )
r0 R
由上式可见，圆孔包含的半波带的数目和圆孔的 半径Rh，圆孔到P点的距离r0，以及入射光波的波长， 还有点光源到衍射屏距离R都有关。
当Rh、R、一定时，
改变r0，即改变光屏的位
AP a1 a3 ... a19 10a1
自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为 ：
AP 0
a1 2
则它们的振幅之比为： AP 10a1 20
AP 0
a1
2
光强之比为： I p Ap2 400
I p0
A2 p0
置，我们可以看到，光 屏的中心点会有时明时
O
暗地变化。
lR
s Bk
k
Rh
h B0
rk
r0
P
k Rh2 ( 1 1 )
r0 R
Rh2
Rh
Rh Rh
Rh
• P点的合振幅的大小取决于露出的波带数, 而波 带数又取决于圆孔的位置和半径．改变圆孔的 位置和半径，给定P点的光强也将发生变化.
• 如果对于P点露出的波带数为整数，为奇数相对 应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那些 点，合振幅较小．
光学 §2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射 三、菲涅耳圆孔衍射
光学 §2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
将一束光（例激光）投射在一个圆孔上，并在距孔 1m－2m处放置一接收屏，可观察衍射图样。
根据前面的讨论，对圆孔后光强起作用的半波带数 量有k个。
Ak
1 2
a1
ak
Ak
1 2
a1
ak
O
R
Bk
Rh
k rk
B0 r0
l
P
由此可见，想知道圆孔衍射场轴线上某点是亮点还是 暗点，必须知道圆孔所包含的半波带数目k。
如图，O点为点光源，光通过光阑上的圆孔，圆孔
半径为Rh，S为光通过圆孔时的波面。设圆孔包含有 k个整数半波带。
Rhk Rh
Rh2k rk2 (r0 h)2
rk2 r02 2r0h h2 O
a2k
k
对P点都为光强很强的亮点。把 这种特殊光阑称为菲涅耳波带片。
直线传播与衍射的联系
• 有遮蔽 波面不完整 一些次波不能 到达观测点 光强分布不均匀 衍射 现象
• 无遮蔽 波面完整 所有次波都能到 达观测点 光强分布均匀 光沿直线 传播 衍射现象的极限
Ip
Ap2
a12 4
I0
1.即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。 此时的P点应该是一个亮点。
2.此亮点称为泊松（Possion 1781—1840）亮斑。这 是几何光学中光的直线传播所不能解释的。
3.1818年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导 出圆盘轴线上应是亮点。
4.后来由阿拉果在实验中观察到圆屏 衍射轴线上的亮点，证明了惠更斯— 菲涅耳原理的正确性。
泊松（Poisson 1781－1840）法国数学 家。 1812年当选为巴黎科学院院士。
泊松对积分理论、行星运动理论、热 物理、弹性理论、电磁理论、位势理论 和概率论都有重要贡献。他一生共发表 300多篇论著。
阿拉果（Arago 1786－1853） 法国科学家
五、波带片
从前面的讨论可知，在相对于P点划分的半波带 中，奇数序（1、3、5…….） （或偶数序）半波带所 发出的次波在P点是同相位的（相差2π的整数倍）， 而奇数序和偶数序半波带所发出的次波在P点是反相 的（相差π的奇数倍）。
波面S
R O
rk=r0+k(λ/2)
Rh
r0
P
B0
设圆屏遮蔽了开始的k个半波带，从第k+1个半波带开
始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达P点。
这些半波带的次波在P点叠加后振幅为:
AP
ak 1 2
am 2
因m，所以 am 0
Ap
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因此
Ip
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a2 k 1 4
当k不是很大时，有 ak 1 a1
• 如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大 值和最小值之间．
• 结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动 时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化．
四、菲涅耳圆屏衍射
当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不 透明，被圆屏挡住部分的波面（也即有k个半波带发 出的次波不起作用）对轴线上p点的光强将没有贡献。
lR
s Bk
k
Rh
h B0
rk
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由于h<<r0，则h2可略去
Rh2k rk2 r02 2r0h
(1)
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4
Rh2k R 2 (R h)2 2Rh (3) 由（1）、（2）、（3）式可得: h kr0
若做一个特殊光阑，使之只允许序数为奇数的半波 带或序数为偶数的半波带透光，则P点的振幅为同相位 各次波叠加，因此叠加后将会振幅很大。
如图，若只允许序数为奇数的 半波带透光，则P点的合振幅为:
AP a1 a3 a5 ... a2k1
a2k1
k
如图，若只允许序数为偶数的半波 带透光，则P点的合振幅为 :
• 光传播 次波叠加 衍射 • 无论光是直线传播还是具有明显的衍射现
象，都遵循惠更斯----菲涅尔原理。
例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第1、 3、5、…、19等10个奇数带露出。第2、4、6、…、20 等10个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传
播时光强的多少倍？
解：波带片在轴上场点的振幅为
2(R r0 )
Rh2k
Rh2
k
r0 R R r0
Or
k Rh2 ( 1 1 )
r0 R
k Rh2 ( 1 1 )
r0 R
由上式可见，圆孔包含的半波带的数目和圆孔的 半径Rh，圆孔到P点的距离r0，以及入射光波的波长， 还有点光源到衍射屏距离R都有关。
当Rh、R、一定时，
改变r0，即改变光屏的位
AP a1 a3 ... a19 10a1
自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为 ：
AP 0
a1 2
则它们的振幅之比为： AP 10a1 20
AP 0
a1
2
光强之比为： I p Ap2 400
I p0
A2 p0
置，我们可以看到，光 屏的中心点会有时明时
O
暗地变化。
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Rh Rh
Rh
• P点的合振幅的大小取决于露出的波带数, 而波 带数又取决于圆孔的位置和半径．改变圆孔的 位置和半径，给定P点的光强也将发生变化.
• 如果对于P点露出的波带数为整数，为奇数相对 应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那些 点，合振幅较小．
光学 §2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射 三、菲涅耳圆孔衍射
光学 §2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
将一束光（例激光）投射在一个圆孔上，并在距孔 1m－2m处放置一接收屏，可观察衍射图样。
根据前面的讨论，对圆孔后光强起作用的半波带数 量有k个。
Ak
1 2
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由此可见，想知道圆孔衍射场轴线上某点是亮点还是 暗点，必须知道圆孔所包含的半波带数目k。
如图，O点为点光源，光通过光阑上的圆孔，圆孔
半径为Rh，S为光通过圆孔时的波面。设圆孔包含有 k个整数半波带。
Rhk Rh
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