变分原理

因为：给定自变量就有一个对应的函数值 而这一个具体的函数值却不能给出 一个泛函值。
2. 函数的连续性与泛函的连续性
对于函数连续性：Y=f (x) 当自变量x有微小变化时，函数f (x)有微小 的改变与其对应，则函数f (x)是连续的。
对于泛函的连续性：Π=Π[y (x)] 当自变函数y (x)有微小变化时，泛函Π[y (x)] 有微小的改变与其对应，则泛函Π[y (x)]是连 续的。
函数的微分定义： 函数增量：
可以展开为线性项和非线性项
线形项
与 无关； 当
函数y（x）可微。
时，
泛函的变分定义与函数的微分定义很相似
自变函数y (x)的变分 引起泛函的增量
δy (x)
可以展开为线性项和非线性项
对 的线性泛函项；
对 的非线性泛函项，是 的
同阶或高阶微量；
当
0 时，
0
也趋近于零
称其为泛函的变分
船舶计算结构力学
重要内容
• 变分原理在结构中的应用 • 加权残值法 • 有限元的基本概念
平面问题有限元 空间问题有限元
①空间杆、梁单元
②空间连续体常用单元 ③薄板弯曲有限单元 • 组合船体结构分析
变分原理
• 变分是力学分析中的数学工具 • 变分原理主要应用于：
有限元、能量法、加权残值法
也可以说： 变分是结构数值计算的基础，没有变分
2 F 2 F xy w,xy y2 w,yy 0
试求
D 2
s
2w x 2
2
2w 2 2w 2
2
xy
y2
q( x,y )wdxdy
的欧拉方程。 F(w,xx , w,xy , w,yy )
F F F 2 F w - x w,x y w,y x2 w,xx
自变函数： w( x, y )
边界c上：w( x, y ) 已知，
w( x, y ) 0
一阶变分：
w( x,y )
s
F w
w+
F w,x
w,x
+
F w,y
w,y
F w,xx
w,,xx
F w,xy
w,xy
F w,yy
w,yy ds
欧拉方程：
F F F 2 F w - x w,x y w,y x2 w,xx
也是y和其导数y’的函数，此时：
泛函的变分只与y和y’的变分有关，所以有
当给定边界条件时 在x=x1，x=x2
该项为边界条件式
称此边界条件为基本边界条件
当没给出基本条件时， 在x=x1，x=x2 时
不等于零
则
的条件要求在边界处必须
这一边界条件称之为自然边界条件
在弹性力学问题当中：
基本边界条件：位移及转动角度； 自然边界条件： 力及弯矩。
y'+
F y"
y"dx
对第二项进行一次分布积分 对第三项进行二次分布积分
考虑边界条件
得欧拉方程：
F d F d 2 F
y
dx
y'
百度文库
dx 2
y"
0
与上式比较：多一个全微分项
当包含有几阶导数的泛函积分方程式，则 欧拉方程将含有更高一阶的导数
x2
F x, y, y', y''
x1
yn dx
d
x1 dy'
y'
x2
y'2 dx=
1 y'2
x1
1+y' 2 y' 2 / 1 y'2
1+y' 2 y'2dx
x2
1 3 y' 2dx >0
x1 1 y' 2 2
该泛函有极小值
我们通过泛函求极值的方法求出的自变 函数必须要使得泛函在一定范围内有意 义，同时还要满足边界条件，显然例题的边 界条件很容易满足。
A（0，0）
y
O
P（x，y）
B(x1 ，x2)
X
v
速度
利用能量守恒定律写出该问题的数学 形式： 位能= 动能
从A点沿曲线到任一点p走过的弧长来看 速度又可表示为：
下滑所用时间： 显然：T是函数y（x）的函数——泛函
而最速降线问题就是求使时间T最小时 的函数。 下滑时间T是函数Y的泛函
变分命题为： 在满足y(0)=0，y(x1)=y1的一切函数中， 选取一个函数，使泛函T[ y (x) ]为最小值。 该泛函包括 一阶导数、一个待定函数、边条为
y( x ) y( x )
y( x )
P1
x1
x2
泛函增量： 利用泰勒级数展开：
一阶变分
二阶变分
泛函实现极值的条件：
下面对上述表达式进行讨论看看泛函求极值 条件的数学含义，也就是它可以成为什么样 的数学表达式。 所以我们要分析积分号内的每一项
首先看第一项
对于一般泛函F，且F与y及y’有关。此时泛函的一阶变分函数
1. 函数定义与泛函定义的比较
函数y=y (x)
泛函Π[ y（x）]
X 自变量
y（x）自变函数
对于变化域中x 都有函数值相对 应
对于某一类函数y域 中的函数，都有L与 之对应。
称因变量Π是函数 Y的泛函。
函数是因变量与自变量之间的关系 泛函是因变量与自变函数之间的关系
在泛函中：
因变量直接依赖于函数，而与函数中的 自变量没有对应关系。
二维：
三维： u
v x dV= s unxds
或：
s
u x
v y
ds=
c
unx vny dc
V
u x
v y
w z
dV=
c
unx vny wnz ds
格林公式：
y
c2
二维问题：
s
u
v
s
x
vds=
c
uvnxdc-
s
uds x
c1
w(
x,y )
s
F w
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
F y
d dx
F y'
d2 d2x
F y''
1n
dn dnx
F y n
0
这是函数y（x）的2n阶微分方程式，2n个 未知常数，由2n个边界条件确定。
称之为：欧拉—泊桑公式
例：利用变分求极值的转换关系，求解
弹性基础梁位能泛函式的欧拉方程。
q
边界条件
v( 0 ) v"( 0 ) 0;
这一数学工具就没有计算结构力学
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
设: 曲线方程 Y=Y（X） P2
P1 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， X
F y'
0
（1）设F不依赖y仅是y’的泛函
F 0 y
d dx
F y'
0
F C y'
x2
以连接两点的最短曲线长度为例：L 1 y'2 dx
x1
F 1 y'2 仅含有y’
d
y'
0
dx 1 y'2
d
y'
0
dx 1 y'2
y' A
1 y'2
A y'
1 A2
w(
x
,
y
)
s
F
x
,
y
,
w
,
w x
,
w y
dxdy
自变函数： w( x, y )
边界c上：w( x, y ) 已知，
w( x, y ) 0
一阶变分：
w(
x,y
)
s
F w
w+
F w,x
w,x +
F w,y
w,y
dxdy
利用格林公式进行分布积分
高斯定理及格林公式 二维、三维高斯定理：
找一个函数
使得它满足边界条件并
结构总位能达到最小值。
② 泛函极值 函数有极值，那么泛函同样有极值。 上述问题连接P1、P2两点函数很多， 有很多的泛函值，然而其中最短的只 有一个，这就是泛函的极小值。
若问题为求解连接两点距离最短的曲线方程 这就是求泛函极值的问题。
③ 变分 研究函数的极值的方法就是微分法 研究泛函极值的方法就是变分法
通过上述分析：若要求解泛函达到极值的函数 实际上就是求解
x2 F
x1 y
d dx
F y'
ydx
F
y'
y
x2
x1
0
0
欧拉方程
即通过求解该微分方程，就可得到使泛函 达到极值的y=y（x）
由此可见这个微分方程式的边值问题等价于
泛函
x2
F x, y, y' dx
的极值问题
x1
回顾内容： 泛函的极值问题
举例：位能驻值原理就是一个变分命题。
当结构处于平衡状态下时，结构总势能达到最小值
结构势能= 应变能-力函数
Π=V-U 结构势能就是位移函数的泛函，Π[δ]
结构可以有无数条变形曲线，而达到力的 平衡条件时结构的真实曲线就应当使得泛函Π 的值达到最小的函数δ。求变形曲线就是求变 分的过程。
变分的特性
Y
Y=Y（X）
P2
Y=Y2（X）
Y=Y1（X） P1
显然这三条曲线接近的程度不同。
X
y (x) -y 1(x)
与
y (x) -y 1(x)
都很小
称其为一阶接近。
依次类推，k阶接近要求零阶至第k阶导数 之差都很小。
Y
一阶近似的两条曲线
P2
Y=Y（X）
Y1=Y1（X） P1
X
3. 函数的微分与泛函的变分
上达到极大或极小值。
称该极大值或极小值为泛函的极值。
泛函极值求解的数学含义 Y 例题：求连接该两点的最短曲线长度L
P2
P1
X
该问题可表示为求泛函
在边界条件： 下为极值的函数
设：正确解为y（x）， y1（x）为接近于y（x）的任意函数
其中 为满足边界条件的接近于 的变分。
显然
在边界上等于零
Y P2
可以说： 曲线长度L是曲线y= y（x）的函数 这种函数的函数就称之为泛函。 记作：
显然：当取不同函数Y对应有不同的泛函值
举例2：弹性基础梁
x l y
位能： Π=梁的变形能+弹性基础的变形能-力函数
梁的变形能 弹性基础的变形能
力函数 结构总位能：
自变函数
范函
求解该结构的问题可以描述为： 在区间：
x
v( l ) v"( l ) 0
l
位能： n=2
y
1
l
EIv"2dx+ 1
l
l
kv2dx
qvdx
20
20
0
F v
d dx
F v'
d2 d2x
F v''
0
F kv( x ) q; v
F 0 v'
F EIv(x)" v''
EIv(x)"" kv q
②含一阶导数的二维泛函的欧拉方程
F 0 , w
F - x w,x
2w x2 ;
F 2w - y w,y y2
2w 2w x2 y2 0
流场或电磁场常用的拉普拉斯方程
③两阶导数二维函数的泛函的欧拉方程
w(
x,
y
)
s
F
x, y,w, w x
,
w y
2w , x2
2w , xy
2w , y2
ds
w+
F w,x
w,x +
F w,y
w,y
dxdy
n
x
s
F w,x
w,xdxdy
=
s
F w,x
x
w dxdy
=
F w,x
nx
wdc-
s
x
F w,x
wdxdy
u = w
x x F
v= w,x
欧拉方程：
求出泛函 的欧拉方程：
1
2
s
w x
2
w y
2
dxdy
F F F w - x w,x y w,y 0
泛函变分用符号
可以说泛函的变分是泛函增量的主部，而且 该主部对 是线性的。
4. 变分运算规则 ①变分 和导数 运算具有互换性
即变分的导数=导数的变分
自变函数的变分 对x求导：
是x的函数，可以
同理：
利用变分运算规律可知： 梁结构的应变能：
5. 泛函的极值问题 泛函极值的概念
或
则称：
泛函在曲线
其它几种情况下泛函求极值问题— —欧拉方程
① 泛函含有两阶导数的一维函数
x2
Π = F ( x , y, y', y")dx
x1
边界条件：
y1 y( x1 ); y'1 y'( x1 ); y2 y( x2 ); y'2 y'( x2 )
一阶变分：
y(
x
)
x2 x1
F
y
y+
F y'
不定积分
A
y
xB
1 A2
A、B待定参数有边界条件给出。
y1 y( x1 ), y2 y( x2 )
y-y1 y-y2 x-x1 x-x2
直线方程
F 1 y'2
此时， 2
x2 x1
2 2
F y'
y'
2
dx=
x2 x1
2
1 y'2 2 y'
y'2 dx
x2
而我们过去是利用微分学来研究函数的极值 问题的。
举例：最速降线问题
平面两点： A、B，不在同一个水平面上，也不
在同一铅垂线上
一重物沿曲线受重力作用从A点向B点自由 下滑，不计重物与曲面之间的摩擦力，从A 到B自由下滑所需时间随该曲线的形状不同 而不同。问下滑时间最短的曲线是哪一条？
就是求解最速降线问题——求出的曲线就是最速降线。
x2
Π = F ( x , y, y')dx
x1
在边界条件： y( x1 ) y1 ; y( x2 ) y2
一阶变分
x2 F
F
δΠ
x1
y
δy
y'
δy' dx
泛函求极值的条件
0
转化为：
F y
d dx
F y'
0
举例说明求解使泛函达到极值的函数的解题思路
F y
d dx