高中数学选修圆锥曲线

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人教版高中数学选修一圆锥曲线及方程

知识点精汇

椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于

||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定

（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）

在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）

由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念

作铺垫)

由椭圆的定义可知它的基本特征，但对于这种曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要建立椭圆的方程，以便于做进一步的认识。

2.根据定义推导椭圆标准方程：

取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，

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又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）

{}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又，

a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，

化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,022>-∴c a

令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，

两边同除2

2

b a 得：122

22=+b

y a x （a >b>0），此即为椭圆的标准方程

它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程， 其中22b c a +=

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程

如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，

调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程122

22=+b y a x 中的y

x ,调换，即可得122

22=+b

x a y （a >b>0），也是椭圆的标准方程

理解：

(1)所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；

(2)在12222=+b y a x 与122

22=+b

x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要

求，椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;

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(3)椭圆的标准方程中三个参数a 、b 、c 满足a 2=b 2+c 2，a 最大；由椭圆的标准方程可以求出三个参数a 、b 、c 的值;

(4)椭圆的标准方程中，x 2与y 2的分母哪一个大，分母即为a 2，则焦点在哪一个轴上。在不能肯定焦点在哪个轴上的情况下，椭圆方程

可设为：),0,0(12

2n m n m n

y m x ≠>>=+；

(5)判断焦点在哪个轴上的方法：①由标准方程的结构；②由焦点坐标的写法；

(6)椭圆有互相垂直的两条对称轴，其焦点总在较长的对称轴上，若较长的轴在x 轴上，则),0,(),0,(21c F c F -若较长的轴在y 轴上，则

),,0(),,0(21c F c F -

(7)方程C B A C By Ax ,,,22=+均不为0且B A ≠表示椭圆的条件：

方程C By Ax =+2

2

可化为12

2=+B

C y A C x

所以只要C B A ,,同号且B A ≠时，方程表示椭圆； 当

B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B

C

A C <时，椭圆的焦点在y 轴上；

三、讲解范例：

例1 （教材第103页例1）写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的

距离之和等于10；

⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2

5）

解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为

122

22=+b

y a x )0(>>b a

1

9

454

,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a

所以所求椭圆标准方程为9

252

2=+y x

⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为

12

2

22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，

22)225()23(2++-=a ＋22)225

()23(-+-

102

1

1023+=102=

10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b

所以所求标准方程为6

102

2=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b

∴可设所求方程142

222=-+a x a y ，后将点（23-,2

5

）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程

点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果

如何；

题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程

例2 （《导学与评价》第100页例2（2）） 四、课堂练习：教材第106页练习第1、2、3题

五、课堂小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: