高中数学选修圆锥曲线

1
人教版高中数学选修一圆锥曲线及方程
知识点精汇
椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于
||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆
的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定
（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）
在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）
由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念
作铺垫)
由椭圆的定义可知它的基本特征，但对于这种曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要建立椭圆的方程，以便于做进一步的认识。

2.根据定义推导椭圆标准方程：
取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，
1
又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）
{}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又，
a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，
化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,022>-∴c a
令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，
两边同除2
2
b a 得：122
22=+b
y a x （a >b>0），此即为椭圆的标准方程
它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程， 其中22b c a +=
注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程
如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，
调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程122
22=+b y a x 中的y
x ,调换，即可得122
22=+b
x a y （a >b>0），也是椭圆的标准方程
理解：
(1)所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；
(2)在12222=+b y a x 与122
22=+b
x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要
求，椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;
1
(3)椭圆的标准方程中三个参数a 、b 、c 满足a 2=b 2+c 2，a 最大；由椭圆的标准方程可以求出三个参数a 、b 、c 的值;
(4)椭圆的标准方程中，x 2与y 2的分母哪一个大，分母即为a 2，则焦点在哪一个轴上。

在不能肯定焦点在哪个轴上的情况下，椭圆方程
可设为：),0,0(12
2n m n m n
y m x ≠>>=+；
(5)判断焦点在哪个轴上的方法：①由标准方程的结构；②由焦点坐标的写法；
(6)椭圆有互相垂直的两条对称轴，其焦点总在较长的对称轴上，若较长的轴在x 轴上，则),0,(),0,(21c F c F -若较长的轴在y 轴上，则
),,0(),,0(21c F c F -
(7)方程C B A C By Ax ,,,22=+均不为0且B A ≠表示椭圆的条件：
方程C By Ax =+2
2
可化为12
2=+B
C y A C x
所以只要C B A ,,同号且B A ≠时，方程表示椭圆； 当
B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B
C
A C <时，椭圆的焦点在y 轴上；
三、讲解范例：
例1 （教材第103页例1）写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的
距离之和等于10；
⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2
5）
解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
122
22=+b
y a x )0(>>b a
1
9
454
,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a
所以所求椭圆标准方程为9
252
2=+y x
⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为
12
2
22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，
22)225()23(2++-=a ＋22)225
()23(-+-
102
1
1023+=102=
10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b
所以所求标准方程为6
102
2=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b
∴可设所求方程142
222=-+a x a y ，后将点（23-,2
5
）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程
点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果
如何；
题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程
例2 （《导学与评价》第100页例2（2）） 四、课堂练习：教材第106页练习第1、2、3题
五、课堂小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:
①椭圆的定义中, 0
>c
a；
2
2>
②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定；
③a、b、c的几何意义
六、课后作业：教材第106页习题8.1 第2、3题
1
1
课题：8．1椭圆及其标准方程（二） 教学目的：
1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题； 2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程
教学重点：用待定系数法与定义法求曲线的方程
教学难点：待定系数法
授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义：
平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的
椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心
率概念作铺垫)
1 2.椭圆标准方程：
（1）22
22=+b
y a x 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是
)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其
中22b c a +=
（2）22
22=+b
x a y
它所表示的椭圆的焦点在y 轴上，焦点是
),0(),,0(21c F c F -,中心在坐标原点的椭圆方程其
中22b c a +=
所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中
点为坐标原点；在12222=+b y a x 与122
22=+b x a y 这两个标准方程中，都有
0>>b a 的要求，
如方程),0,0(12
2n m n m n
y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+
b
y
a x
类比，如122
22=+b
y a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)
二、讲解范例：
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).
(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.
1 选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.
解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为：
)0(12
2
22>>=+b a b y a x ∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14
a 11010
22
22
2222b b a b a 故所求椭圆的标准方程为14
22
=+y x
（２）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：
)0(122
22>>=+b a b
x a y ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .
∴所求椭圆的标准方程是
136
1002
2=+x y . 说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为a 与b 的值.
(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近. 例2 已知椭圆经过两点（)5,3()2
5,23与-，求椭圆的标准方程解：设椭圆的标准方程),0,0(12
2n m n m n
y m x ≠>>=+
则有 ⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1
)25()23(2
222
n m
n m
，解得 ,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为10
62
2=+y x
例3（教材第104页例2）已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且
1 ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程
解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得
|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a
所以顶点A 的轨迹方程为116
252
2=+y x （y ≠0）（特别强调检验) 因
为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件例4 （教材第105页例3）如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M 的轨迹（若M 分 PPˊ之比为2
1
，求点M 的轨迹）
解：（1）当M 是线段PPˊ的中点时，设
动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为2,(y x
因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 4)2(2
2
=+y x ，即 14
22
=+y x
所以点M 的轨迹是椭圆，方程是14
22
=+y x
（2）当M 分 PPˊ之比为2
1时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为
2
3
,(y x
1 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 4)2
3(2
2
=+y x ，即 1169422=+
y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是116
942
2=+
y x 可以看到：将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。

三、课堂练习：教材第106页练习第4题
四、课堂小结 ：椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程的方法
五、课后作业：教材第106页习题8.1 第4、5、6题
《导学与评价》第101页 自练自查自评 第1、2题，第102页第5、6、8、9题
课题：8．2椭圆的简单几何性质（一）
教学目的：
1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质
2．掌握标准方程中c
a,
b
,
,的相互关系
,的几何意义，以及e
c
b
a,
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法
教学重点：椭圆的几何性质
教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位
通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解通过对椭圆几种画法的
1
1
学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力
本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。

难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性
根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用
教学过程：
一、复习引入：
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．标准方程：12222=+b y a x ，122
22=+b
x a y （0>>b a ）
3．问题：
（1）椭圆曲线的几何意义是什么？
1
（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x ,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？ （4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,的几何意义各是什么？
（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？
（6）画椭圆草图的方法是怎样的？二、讲解新课：
由椭圆方程122
22=+b
y a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质.(利用方程研究,
说明结论与由图形观察一致)
(1)范围:
从标准方程得出122≤a x ,122
≤b
y ,即有a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，可知椭圆
落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．
(2)对称性:
Q
B 2
B 1A 2
A 1
P F 2F 1
P ′
P ″
x
O
y
1 把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．
如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
在椭圆122
22=+b
y a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有
两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆122
22=+b
y a x 的顶点
令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，
它们也是椭圆122
22=+b
y a x 因此椭圆共有四个顶点：
)0,(),0,(2a A a A -，,0(),,0(2b B b B -
加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.
21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.
观察图示，由椭圆的对称性知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即a F B F B F B F B ====||||||||22122111，在22F OB Rt ∆中，2222222||||||OB F B OF -=即222c b a =-，我们把22F OB Rt ∆称为椭圆的特征三角形。

另外，22cos B OF e ∠=.
至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了。

(4)离心率:
发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同
1 这种扁平性质由什么来决定呢？ 概念：椭圆焦距与长轴长之比
定义式：a
c
e =
⇒
e =范围：10<<e
考察椭圆形状与e 的关系：
0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆
为椭圆在0=e 时的特例
,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例
5、光学性质：从F 1射出的光线经椭圆反射必经过F 2.
6、椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点；椭圆上到焦点距离最小最大的点是长轴的两个端点；
7、通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径，弦的端点坐标)
,(2
a
b c -和),(2
a b c 或),(2a b c --和),(2a
b c -通径长a b d 22=；
8、设21F F 、是椭圆的左右焦点，P 为椭圆上的动点，当且仅当
21PF PF =时，21PF F ∠最大；
9、椭圆上任意一点P(x,y )（y 0≠）与两焦点构成的三角形称之为焦点三角形，其周长为2（a +c ）
10、椭圆中有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点、四个顶点）应该给于重视。

焦点在y 轴上的椭圆的性质类比可得。

三、讲解范例：
例1 （教材第109页例1）求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程1
4
522
22=+y x
所以，345,4,522=-===c b a ，
1 因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为82,102==b a ，离心率
5
3
==
a c e ，两个焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，椭圆的四个顶点是)0,5(),0,5(2A A -，)4,0(),4,0(2B B -
将已知方程变形为22554x y -±
=，
根据2255
4
x y -=，在50≤≤x 的范围内算出几个点的坐标),(y x ：
x 0 1 2 3 4 5 y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0
4
-4
5
-5x
O y
【作图规则：教材第110页】 例2（教材第110页例2）
例3（教材第110页例3）我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)2F 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km ，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，设地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km)．
解：建立如图所示直角坐标系，使点A 、B 、
2F 在x 轴上，
则 c a -＝|OA|－|O 2F |＝|2F A|＝6371＋439＝6810
c a +＝|OB|＋|O 2F |＝|2F B|＝6371＋
2384＝8755
解得a ＝7782.5，c ＝972.5
7722
87556810))((22≈⨯=-+=-=c a c a c a b .
1
卫星运行的轨道方程为17722
77832
2
22=+y x
四、课堂练习：教材第113页 练习第4、5题
五、课堂小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法
六、课后作业：教材第114页 习题8.2第3、4、5题
1 课题：8．2椭圆的简单几何性质（二） 教学目的：
1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质； 2．理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；
3．掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力
教学重点：椭圆的第二定义、椭圆的准线方程
教学难点：椭圆第二定义 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
回顾一下焦点在x 轴上的椭圆的标准方程的推导过程：如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现：
22)(y c x +-＋22)(y c x ++＝a 2 ⑴
⇒)()(2
2
2
x c
a a c x a c a y c x -=-=+-，
即
a
c
c
a x y c x =
-
+-2
2
2)( ⑵ 同时还有
a
c
c
a x y c x =
--++)
()(2
22 (3) 观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆
1 的第二定义二、讲解新课：
1．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率
2．椭圆的准线方程
对于12222=+b
y a x ，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2
1:-=；
相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c
a x l 2
2:=
对于12222=+b
x a y ，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2
1:-=；
相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c
y l 2
2:=准线的位置关系：c a a x 2
<≤
焦点到准线的距离c
b c c a c c a p 2
222=-=-=（焦参数）
其上任意点),(y x P 到准线的距离：（分情况讨论）点评：（1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式
（2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称判断焦点在哪个轴上的方法：①由标准方程的结构；②由焦点坐标的写法；③由准线方程的写法；
三、讲解范例：
例1 求下列椭圆的准线方程：（1）442
2
=+y x (2)181
162
2=+y x
1 解：⑴方程442
2
=+y x 可化为 14
22
=+y x ，是焦点在x 轴上且
1,2==b a ，3=c 的椭圆所以此椭圆的准线方程为 33
43
4=±=x ⑵方程181
162
2=+y x 是焦点在y 轴上且4,9==b a ，65=c 的椭圆
所以此椭圆的准线方程为 6565
8165
81=±=y 例2椭圆136
1002
2=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线距离为10，求点P 到椭圆的右焦点的距离 解：椭圆
13610022=+y x 的离心率为5
4=e ，根据椭圆的第二定义得，点P 到椭圆的左焦点距离为 10=e
再根据椭圆的第一定义得，点P 到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12
例3椭圆的焦半径公式：设),(00y x M 是椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的
一点,1r 和2r 分别是点M 与点)0,(1c F -,)0,(2c F 的距离.那么（左焦半径）
01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率
推导方法一： 202021)(y c x MF ++=，20202
2)(y c x MF +-=
02
2
2
14cx MF MF =-∴，a MF MF 221=+ 又
⎪⎩⎪⎨⎧
=+=
-∴
2221021a MF MF x a c MF MF ⎪⎩
⎪⎨⎧
-=-=+=+=∴0
02001ex a x a c
a MF ex a x a c a MF 即（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=推导方法二：,||11e MF r =e MF r =||22
⇒002
11)(
||ex a x c a
e MF e r +=+==， 002
22)(||ex a x c
a e MF e r -=-==
1
同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式： ⎩⎨⎧-=+=020
1
ey a MF ey
a MF
（ 其中21F F 分别是椭圆的下上焦点）
注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加
例4 椭圆)0( 122
22>>=+b a b
y a x ，其上一点P(3,y )到两焦点的距离
分别是6.5和3.5，求椭圆方程
解：由椭圆的焦半径公式，得
⎩⎨
⎧=-=+5
.335.63e a e a ，解得21,5==e a ，从而有 4,25222=-==c a b c 所求椭圆方程为 175
4252
2=+
y x 四、课堂练习：
五、课堂小结 ：本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的准线方程也是不同的，须区别开来六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：本课时背景材料是课本例4，学生解答例4并不困难，但对例4中直线的出现感到突然与困难，对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚本设计通过反思椭圆标准方程的推导
过程，引导学生自己去发现椭圆的第二定义 使学生明白两种定义是等
价的，消除了学生困惑 利用引导学生去发现定义的教学，调动学生
的积极性，加强了知识发生过程的教学 使用多媒体辅助教学，增加了
课堂教学容量，提高了课堂教学效益
1
1
课题：8．2椭圆的简单几何性质（三） 教学目的：
1. 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义． 2．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力
教学重点：进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导.
教学难点：深入理解推导方程的过程.灵活运用方程求解问题. 授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入： 复习圆的参数方程的推导。

二、讲解新课：
1.问题：如图，以原点O 为圆心，分别以b a , (0>>b a )为半径作两个图，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作NA⊥OX 垂足为N ，过点B 作BM⊥AN，垂足为M ．求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹的参数方程
解答：设A 的坐标为ϕ=∠NOA y x ),,(，取ϕ 为参数，那么
⎩
⎨
⎧====ϕϕ
sin ||cos ||OB NM y OA ON x )20(πϕ<≤
1
也就是 (sin cos 为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨
⎧==b y a x 这就是所求点A 的轨迹的参数方程将⎩⎨⎧==ϕϕ
sin cos b y a x 变形为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos b
y a x
发现它可化为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，说明A 的轨迹是椭圆
2.椭圆的参数方程(sin cos 为参数ϕϕϕ
⎩
⎨⎧==b y a x 注意：ϕ角不是角NOM ∠的几何意义是椭圆的离心角
3、椭圆的标准方程与参数方程的互化。

三、讲解范例：
例1把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程
(1))(sin 4cos 3为参数ϕϕ
ϕ⎩⎨⎧==y x (2)1822
=+y x 解：(1))(sin 4cos 3为参数ϕϕϕ
⎩⎨⎧==y x ⇒ 1432222=+y x
(2)1822=+y x ⇒)(sin cos 22为参数ϕϕ
ϕ⎩⎨⎧
==y x
例2 已知椭圆),0,0(sin 2cos 为参数ϕϕ
ϕ>>⎩⎨⎧==b a y x 上的点P(y x ,),求y
x 21
+的取值范围.
解：y x 2
1
+＝[]2,2)4
sin(2sin cos -∈+=+π
ϕϕϕ
例3 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 与x 轴的正半轴交于A,O 是原点,
1
若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围
解：A(a ,0)，设M 点的坐标为)sin ,cos (ϕϕb a （2
0π
ϕ<<），由MA⊥MO
得
cos sin cos sin -=⋅-ϕ
ϕ
ϕϕa b a a b 化简得 ⎝⎛∈+-=+=-=21,0cos 111cos 1cos sin )cos 1(cos 2
22ϕϕϕϕ
ϕϕa b 所以 ⎭
⎫
⎝⎛∈-=1,22122a b e 四、课堂练习：
五、课堂小结 ：椭圆的参数方程及形式,与普通方程的互化椭
圆的参数方程的应用
六、课后作业： 七、板书设计（略）
1
课题：8．2椭圆的简单几何性质（四）—直线与椭圆的位置关系
解析几何作为数学研究的重要的、有效的工具，集几何与代数的优点于一体，为数学的研究带来了方便。

它的基础是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论从定性的研究推进到可以计算的定量的层面。

从下面几个关于直线与椭圆位置关系问题中可略见一斑.
研究直线与椭圆的位置关系，一般是通过解直线方程与椭圆方程所组成的方程组⎩⎨
⎧=+=++2
2
2
2
2
2
0b
a y a x
b C By Ax ，对解的个数进行讨论，有两组不同
实数解（0>∆）时，直线与椭圆相交，有两组相同实数解（0=∆）时，直线与椭圆相切，无实数解（0<∆）时，直线与椭圆相离.
一、公共点问题
通过方程判别式来判断直线与椭圆的位置关系，几何的交点问题与代数的方程根问题完美结合于此.
例1、判断直线m x y l +=:与椭圆14416922=+y x 的位置关系
解：由⎩⎨⎧=++=144
1692
2y x m x y 得144)(1692
2=++m x x 化简整理得： 014416322522=-++m mx x
14400576)14416(254)32(222+-=-⨯-=∆m m m
当0=∆时，得5±=m ，直线与椭圆相切； 当0>∆时，得55<<-m ，直线与椭圆相交； 当0<∆时，得55>-<m m 或，直线与椭圆相离；
例2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点，求实数m
的取值范围
解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15
1
22
m y x
kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ， 0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且
解法二：直线恒过一定点)1,0(
当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =， 要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m
当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m
综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证
1 定点)1,0(在椭圆内部11502
2≤+m
即1≥m 51≠≥∴m m 且
[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。

或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点),(o o y x M 在椭圆内部或在椭圆
上则122
22
≤+b
y
a x o o
二、弦长问题 设直线m kx y +=，椭圆方程222222b a y a x b =+，直线与椭圆相交与A 、B 两点，则求|AB|的长度问题叫做弦长问题，具体求法如下：
由⎩⎨
⎧=+=++2
2
2
2
2
2
b
a y a x
b C By Ax 联立消去y 得x 的一元二次方程：
)0(02≠=++a c bx ax
设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(1||x x x x k AB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay 设),(),,(2211y x B y x A ，则212212
4)(11||y y y y k AB -++
=
例3、已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6
π
的直线交
椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。

解：a =3,b =1,c =22，则F （-22，0）。

由题意知：)22(3
1
:+=x y l 与1922
=+y x 联立消去y 得：01521242=++x x 。

设A （),11y x 、B （),22y x ，则21,x x 是上面方程的二实根，由违达定理，2321-=+x x ，4
15
21=⋅x x ，223221-=+=x x x M 又因为A 、B 、F 都是
直线l 上的点，
所以|AB|=215183
24)(3
2||3
1
12122121=-=
-+⋅=
-⋅+x x x x x x
1
例4、已知椭圆11
22
2=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，
-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积。

解法一：由题可知：直线AB l 方程为022=++y x
由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=112222
2y x x y 可得04492=-+y y ，91044)(2
122121=-+=-y y y y y y 9
10
4212121=-=∴∆y y F F S
解法二：2F 到直线AB 的距离5
5
4=h
由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x
x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB 9
10
421==∴∆h AB S
解法三：令),(),,(2211y x B y x A 则11ex a AF +=，21ex a BF +=其中2
2,2=
=e a 2F 到直线AB 的距离5
5
4=
h 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=112
2222
y x
x y 可得061692=++x x ， 9
2
10)(222121=++=+++=x x e a ex a ex a AB
9
10
421==∴∆h AB S
[评述]在利用弦长公式2122121
11y y k
x x k AB -+=-+=（k 为直线
斜
率
）
或
焦
（
左
）半径公式
)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=时，
应结合韦达定理解决问题。

例5已知椭圆中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且交直线y =x +1于P,Q 两点，若OP ⊥OQ ，2
10
||=
PQ ，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0）， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组。