工程制图 第三章 投影法及点线面投影

即： AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是 其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投 影后保持不变。
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
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平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为 几类？
H
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一般位置平面的投影
投影特性： 三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
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V W V W
H
V
e f
a(b)
c
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
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3） 一般位置直线
V
b B
a
β
b b
W X
Z
b a
a
O
γ
A
a H
a b a
Y
b
Y
投影特性
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
解法二： （应用定比定理）
a
●
k b
●
●
b
b k● a
k● a
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3. 两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。
1） 两直线平行
V c d a C A D b d H
b
B c X a c a
d
b
a c
O b
d
空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行， 反之亦然。
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第三章 投影法基本知识 及点、直线、和平面的投影
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3-1 投影法基本知识
1. 投影法的建立
自然现象中的影子
工程中的投影图
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投射线通过空间形体，向选定的平面进行投射，并在该 面上得到其投影图的方法—— 投影法。
投射中心 物体 投射线 投影面
az
●
X
ax
A
O
ax
●
a
W
a
●
a
●
ay H Y
5. 点的投影规律:
① aa⊥OX轴 ② aax= aaz = y aay= aaz =x aax= aay =z
aa⊥OZ轴 =Aa（A到V面的距离） =Aa（A到W面的距离） =Aa（A到H面的距离）
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例：已知点的两个投影，求第三投影。
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2.直线与点的相对位置
V
b′ c′ a′
C A B
b′
Z
b″
c ″W a″
X
a′
c′
O
b″ c″ a″
Y
b c
a
Y
c b
a H
◆若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影 上。 ◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段 相同的比例。即： 定比定理 AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb
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6. 平面的投影特性
平行
垂直
倾斜 实形性
投 影 特 性
★平面平行投影面——投影就把实形现 ★平面垂直投影面——投影积聚成直线 ★平面倾斜投影面——投影类似原平面
积聚性
类似性
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4.工程中常用的几种投影法
1） 平行投影法
多面正投影
轴测投影
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正平线
实长
b a γ a b a b a b
侧平线
a β
实长
b
直线与投影面夹角的表示法： 与H面的夹角: 与V面的角:β 与W面的夹角:γ
a
b
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2) 投影面垂直线
铅垂线
a
b
●
正垂线
a c(d)
●
侧垂线
c e f e(f)
●
d
b d
H
V 正垂面
W
H 铅垂面
平面某一投影面
投影面垂直面
H
W 侧垂面
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投影面垂直面的投影
类似形
是什么位置的平 面？为什么？ a
β
b c c
b
类似形
a
积聚性 投影特性：
a
γ
c
b
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投 影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。
投影特性：
①在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面 倾角的实大。 ②另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴， 其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投 影面之间的距离。
β γ
H a′ b′ Z
b a ″ b″
X a
βγ
O
Y
实长
b
Y
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判断下列直线是什么位置的直线？
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
垂直于某一投影面
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
工程图学基础/机械设计制图 1）投影面平行线
V a′ A a
β
（1）水平线
b′
γ
a″ B b″ W
Y
坐标大的在左 ▲y 坐标大的在前 ▲z 坐标大的在上
B点在A点之 前、之右、之 下。
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7. 重影点
空间两点在某 一投影面上的投影 重合为一点时，则 称此两点为该投影 面的重影点。
被挡住的投 影加( )
A、C为H 面的重影点
a
● ●
a c
c●Βιβλιοθήκη ●a (c )●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
三个视图的方位关系
工程图学基础/机械设计制图
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3-2
点、直线、平面的投影
点、直线和平面是构成物体的最基本的几何要素， 要得到物体的投影实质上就是作出点、直线和平面的 投影。
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3-2-1 点的三面投影
Z
1. 投影面
◆正面投影面（简称正面或V面）
◆水平投影面（简称水平面或H面） X
d′
B C c D d
O
c
b
b H
两直线相交吗？ 不相交！
为什么？ 交点不符合一个点的投影规律！
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b′ V 1′ ′ 3(4 ′) c′ d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B ′ a A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
c′ a′ X a c
′ 3(4 ′)
例：判断图中两条直线是否平行。
①
a c a c b c a d c b d a b b d c a d b d a c b d
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
②
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
工程图学基础/机械设计制图 例1：判断点C是否在线段AB上。
① a
c
●
b
②
在
b
a
c
●
不在
b
a ③ a
●
c
a
c
●
b a
●
不在
b
c ● b
a c●
c
另一判断法?
应用定比定理
b
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例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k ● b k● b a
●
b
●
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2. 直线在一个投影面上的投影一般仍为直线。
A● M● B●
●
B
A●
A●
●

●
B
a≡b≡m
●
b a●
●
a●
b
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab = AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab = AB.cos
工程图学基础/机械设计制图 3. 若点在直线上,则点的投影必在该直线的投影上,且 点的投影将该线段的投影分割成与空间线段相同的比 例。
●
c ● a●
c ●
●
c
●
c
a●
●
d a● ●
● ●
a●
●
b ●b a●
●
b ●b
a●
●
b ●b a● c
● ●
b ● b d c
b ● b a●
● ●
a●
c
c
c
不在同一直 线上的三个 点
直线及线 外一点
两平行直 线