材料力学公式

第七章：应力和应变分析、强度理论
1 薄壁圆筒
纵截面应力（周向）：σt =
pD 2δ
= σ1
横截面应力（轴向）：σx
=
pD 4δ
=σ2
径向应力：
σr = − p ≈ 0 = σ3
P215
-4-
材料力学公式汇总
斜截面上的应
σα
=
σx
+σ y 2
+σx
−σ y 2
cos 2α
− τ xy
sin 2α
2力
材料力学公式汇总
第二章：拉伸、压缩与剪切
序
号
名称
1 正应力
σ = FN A
公式
备注
页码
应用条件：外力合力作用线沿杆
的轴线
P12
2
斜截面上的 正应力与切 应力
σα
=
σ cos2
α
=
σ 2
(1 +
cos 2α)
τα
=
σ 2
sin
2α
胡克定律
σ = Εε
3 剪 切 胡 克 定 τ = Gγ
律
4
拉压杆轴向 变形
；
τ1 =ντ max
9
式中：τ max ---最大切应力，发
生在截面长边 h 的中点处；
τ1 ---短边 b 中点处切应力； αν ---与比值 h/b 有关的系数。
矩形截面轴扭转 ϕ = Tl = Tl
切角
GIt Gβ hb3
P74
狭长矩形截面轴
10
（当 h/b≥10 时， α、β≈⅓）
τ max
近似：①忽略 (w′)2 ；②忽略剪力对变形的影
响。
P158
wB
=
−
Fl 3 3EI
θB
=
−
Fl 2 2EI
wB
=
−
ql 4 8EI
θB
=
−
ql 3 6EI
常见挠度 2 及转角
wB
=
−
Ml 2 2EI
wC
=
−
Fl 3 48EI
θB
=
−
Ml EI
θA
=
−θ B
=
− Fl 2 16EI
wC
=
− 5ql4 384EI
∫ y xy =
xydA
A
P322 P323
-1-
材料力学公式汇总
圆形截面： Iz
=
Iy
=
1 2
Ip
=
πd4 64
矩形截面： Iz
=
bh3 12
∫ 5
惯性矩
Iz =
y2dA
A
空心截面：
Iz
=
π D4 64
(1−α 4 )
三角形：
Iz
=
bh3 36
6
平行移 轴定理
I y = I yo + Ab2
7 惯性矩和惯性轴的转轴公式
3(1− 2μ )
--体积弹性模量；σ m
=
1 3
(σ
1
+σ2
+σ3)
---主应力平均值。
vε
=
1 2
σ
1ε1
+
1 2
σ
2ε
2
+
1 2
σ
3ε
3
应变能密度（弹 12 性比能）
=
1 2E
⎡⎣σ12
+ σ 22
+
σ
2 3
−
2μ
(σ1σ 2
+ σ 2σ3
+ σ3σ1 )⎤⎦
( ) = 1 2
σ xε x + σ yε y + σ zε z +τ xyγ xy +τ yzγ yz +τ zxγ zx
=
3T hδ 2
；ϕ
=
3Tl Ghδ 3
P75
开口薄壁杆 扭转切应力
τ max
=
3Tδ max
n
∑ hiδ
3 i
i =1
11
开口薄壁杆 扭转角
ϕ=
3Tl
n
∑ G
hiδ
3 i
i =1
式中： hi、δi ---狭长矩形长、
厚度。
P77
闭口薄壁杆 扭转切应力
τ max
=
T 2 A0δmin
12
闭口薄壁杆扭转 ϕ = Tl
4 主应力方向角
tan
2α0
=
−
2τ x σx −σ
y
tan α0
= − τ xy σ x −σmin
= − τ xy σmax −σ y
注意：求解时，令代数
值较大的正应力为
σ x ，它所在平面的切 应力为τ x 。
P214
5
最大/最小切应 力
τ max = ± τ min
⎛ ⎜
σ
x
⎝
−σ y 2
⎞2 ⎟ ⎠
第二强度理论 （最大拉应变理论）
σ r2 = σ1 −ν (σ 2 + σ3) ≤ [σ ]
校核
P231
☆ 强
第三强度理论
σ r3 = σ1 −σ3 ≤ [σ ]
钢
P232
13
度 理
（最大切应力理论）
圆杆适用：σ r3
=
1 W
M 2 + T 2 = σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ]
件 σr3
等 设 计 的 P268
G=
E （2 1+
μ）⇐
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
εx=ε y=0
γ
xy
=τ G
⎫⎪⎬⇒ε
⎪⎭
450
σ1=τ σ3=−τ
⎫⎪⎬⇒ε
⎪⎭
450
=
γ =−
xy
=
−
τ
...( a )
2 2G
1 E
(σ
3
−
μσ1
)=−
(1+μ
G
)τ
...(b)
式中：G --切变模量 E—弹性模量 μ--泊松比
杆件轴向拉 压应变能
Vε
+εy 2
+
εx
−εy 2
cos 2α −
γx 2
sin 2α
7 应变
γα =
ε x − ε y sin 2α + γ x cos 2α
L
2
2
2
P233
8
最大/最小应 变、方向角
εmax = ± ε min
⎛εx ⎜ ⎝
−εy 2
⎞2 ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜ ⎝
γ xy 2
⎞2 ⎟ ⎠
； tan 2α0
=
−
LP86
I p薄
=
2π R03δ
→ τ薄圆管
=
Me 2π R02δ
6
刚度条件（单位 长度扭转角）
ϕ， max
=ϕ l
=
Tmax GI p
× 1800 π
≤
⎡⎣ϕ , ⎤⎦
单位： (0 ) / m
LP87
来自百度文库
单位体积剪切应 变能密度
νε
=
1τr 2
=
τ2 2G
7
等直圆杆扭转时 的应变能
Vε
= 1 T 2l 2 GI p
≤
[τ
]
式中：k---曲度系数； c---弹簧指数（ c = D ）
d
-2-
弹簧变形量
材料力学公式汇总
λ
=
F C
=
8FD3n Gd 4
≤
λmax
=
l
− nd
式中：C—弹簧刚度，即弹簧抵
抗变形的能力； n---弹簧有效
圈数；l---弹簧自由长度
LP93
矩形截面轴扭转 切应力
τ max
=
T wt
=T α hb2
7 形量
ΔlT
= Δl
=
FRBl EA
⇒ αl ⋅ ΔT ⋅l
=
FRBl EA
⇒FRB = E⋅αl ⋅ΔT⋅ A⇒ σT (热应力)
=
FRB A
= αl ⋅ E ⋅ ΔT
P188 P188
附录 I：截面的几何性质
∫ 1
静矩
SZ =
ydA
A
2 形心
∫ yc =
A ydA = SZ
A
A
3
组合截 面形心
;
Wt
= πd3 16
空心圆轴： I p
=
π D4 32
(1−α 4 ) ;Wt
=
π D3 16
(1−α 4 )
圆 轴 5扭 转 角
等 截 面 圆 ϕ = Tl
轴
GI p
等截面薄 ϕ = Tl
壁圆管
2Gπ R03δ
式中：(1) GI p ---抗扭刚度；(2)
此式若长度单位用 mm，则 G
单位用 MPa
=W
=
1 2
FΔl
=
FN2l 2EA
6
应变能密度 （单位体积
v = 1 σε = 1 Eε 2 = σ 2
22
2E
应变能）
⎛⎜⎝Q Δl
=
FN L EA
⎞ ⎟⎠
P23
单位：
J m3
；总应变能
∫ Vε = V vε dv
P23
杆 件 温 度 变 ΔlT = αl ⋅ ΔT ⋅ l
式中：αl 为材料线胀系数
θA
=
−θB
=
−
ql 3 24EI
wmax
=
−
Ml2 9 3EI
wC
=
Ml2 16EI
(x= l 处）； 3
θA
=
−
Ml 6EI
θB
=
−
Ml 3EI
3
弯曲 应变能
纯弯曲时：ν ε
=
M 2l 2EI
∫ ∫ 横力弯曲时：ν ε =
M 2 ( X ) dx = 1 EI
l 2EI
2
(w′′)2 dx
l
P174
Δ
l
=
±
FN L EA
(σ ≤ σ p时)
P16
P19
式中： γ --切应变； γ = rϕ
l
P53
式中： EA --抗拉（压）刚度
P18
泊松比（横向 变形系数）
ν
=
ε′ ε
= − ε ′ ε ′ = ε
−νε
= −νσ Ε
式中： ε ′ --横向正应变 ε --轴向正应变
P19
5
G、E、μ
关系
=
FS IZ b0
⎛ ⎜ ⎝
bh2 8
−
8h02 8
⎞ ⎟ ⎠
第五章：弯曲变形
挠曲轴近
d 2w = M ⇒ EIw′′ = M dx2 EI
∫ 1 似微分方 EIw′ = EIθ = − M (x)dx + C 程
EIw′′ = −∫∫ (M (x)dx)dx + Cx + D)
应用条件：a、应力小于比例极限；b、小变形 条件下；c、剪力对变形的影响可以忽略。
3FS 2bh
=
3FS 2A
=
3τ 2
P129
-3-
τ
=
FS
S
* Z
IZb
圆形：τ max
=
4τ 3
材料力学公式汇总 薄壁圆环：τ max = 2τ
工字钢：τ max
= τ (y=0)
=
FS IZ b0
⎡ bh2
⎢ ⎣
8
− (b − b0 )
h02 b
⎤ ⎥ ⎦
τ min
= τ (y=
±
h0 2
)
= vv + vd
-5-
材料力学公式汇总
体积改变能密 度
vv
=
1− 2ν 6E
(σ1
+σ2
+σ3 )2
形状改变能密 度
vd
= 1+ν 6E
⎡⎣(σ1
−σ 2 )2
+ (σ 2
−σ3 )2
+ (σ3
−
σ
1
)2
⎤ ⎦
P229
第一强度理论 （最大拉应力理论）
σ r1 = σ1 ≤ [σ ]
铸 铁 等 脆 性 P230
→ I yo = I y − Ab2
第三章：扭转
P327
1
功率与扭力矩的 转换
{ } M e N⋅M
{P} = 9549 {n} KW
{P}
=
159.2
KW
{n}
r / min
r/s
M e ×ω(rad / s) =
M
e
×
2π
×
n 60
=
1000P
P55
2
薄壁圆筒扭转切 τ = M e
应力
2π R02δ
角、许用扭转角
GIt
[θ ] = T GIt
∫ 式中： It
=
4 A02 ds
→ (等厚薄壁圆杆)
=
4 A02 s
=
4Ω2δ S
δ
δ
其中：Ω ---所围截面的面积；S---沿截面中心线长度。 P80
第四章：弯曲应力
σ σ
= =
E ⋅ε My
=
Ey ⎫
ρ
⎪⎪ ⎬
⇒
⎪
1 弯曲正应力
IZ
⎪⎭
1=σ = M ； ρ Ey EIz
式中：δ---壁厚
R0
=
d +δ 2
=
D −δ 2
3
圆轴扭转切应力 (横截面上距圆心 为 ρ 的任意点 τ)
τρ
=
Tρ IP
适用于线弹性材料圆截面 P59
圆轴扭转强度条 件
[ ] τ max
= Tmax R IP
= Tmax Wp
≤
τ
4
式中：Wp
=
IP R
--抗扭截面系数
P60
实心圆轴： I p
= πd4 32
⎡⎣ε1
+
μ
(ε2
+
ε3
)⎤⎦
P223
10 广义胡克定律
( ) εx
=
1 Ε
⎡⎣σ x
−
μ
σy +σz
⎤⎦
ε1
=
1 Ε
⎡⎣σ1
− ( μσ 2
+ σ 3 )⎤⎦
→ ε max
= ε1
≥
0
P223
体应变（体积应
θ
= ε1
+ε2
+ ε3
=
1− 2μ 2
(σ1
+σ2
+σ3)
= σm
k
11 变）
式中：
k
=
E
+τ xy2
=
± σ1 −σ3 2
= ±R
最大切应力 τ max 所
在 平 面 与 主 应 力 P220
6 应力圆方程
⎛ ⎜
σ
α
⎝
−
σx
+σ 2
y
⎞2 ⎟ ⎠
+τα2
=
⎛ ⎜
σ
x
⎝
−σ y 2
⎞2 ⎟ ⎠
+ τ xy2
=
R2
σ 2 平行，与σ 1 σ 3 各成 4 5 0
P211
斜截面上的
εα
=
εx
论
塑
第四强度理论 （畸变能密度理论）
σr4 =
1 2
⎡⎣(σ1
−σ3
)2
+
(σ 2
−σ3 )2
+
(σ 2
−
σ
1
)2
⎤ ⎦
≤
[σ
]
性 校
轴径比
σ r4 大 P232
圆杆适用：σ r4
=
1 W
M 2 + 0.75T 2 = σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ]
核
P268
第八章：组合变形及连接部分的计算
M = M + M 2 y max
τα =
σ
x
−σ 2
y
sin
2α
+ τ xy
cos 2α
式中：代数值较大
的正应力为σ x ，α
指 斜 截 面 法 线 与 P211
3
最大/最小正应 力
σmax = σ x + σ y ±
σmin
2
⎛ ⎜
σ
x
⎝
−σ y 2
⎞2 ⎟ ⎠
+τ xy2
=
σx
+σy 2
±
R
σ x 的夹角；逆时针
为正、顺时针为负。 P213
P116
2
最大弯曲正 应力
σ max
=
Mymax IZ
=M WZ
其中：WZ
=
IZ ymax
=
bh2 、π d3 、π D3(1−α 4) 6 32 32
应用条件：a、各向同性线弹性 材料；b、小变形。
P117
3
弯曲切应力
矩形：τ (y) =
3FS
(1 −
4y2 )
；
2bh h2
τ max
= τ (y=0) =
γ xy εx −εy
( ) ( ) εx
=1 Ε
σ x − μσ y
→ εα
=1 Ε
σα
μσ −
−（900 -α）
L P234
9
ε、γ、σ 间的
关系
γx
= τ xy G
→ τ xy
= G ⋅γ xy
=
E 2(1 +
μ
)
⋅
γ
xy
( ) σ x
=
Ε 1− μ2
ε x + με y
→
σ1
=
Ε 1− μ2
= GI p ϕ 2 2l
→ 弹簧变形量：V ε
=
1 T 2l 2 GI
p
（FR）2 2π Rn =
2GI p
=W
=
1
8FD3 n
F ⋅ Δ ⇒ Δ = ...=
2
Gd 4
P71
8
弹簧丝横截面上 最大剪应力（强
度条件）
τ max
=
k
8FD πd3
=
4c −1 ( 4c − 4
+
0.615 )
c
8FD πd3
n
n
∑ ∑ yc = Ai yi
Ai
i =1
i =1
∫ 惯性矩
yx =
x2dA
A
惯性积
∫ 实心圆轴： I p =
d 2
ρ 2 2πρ d ρ
=
πd4
0
32
4
极惯 性矩
∫ I p =
ρ 2dA
A
空心圆轴： I p
=
π 32
(D 4
− d 4)
=
π D4 32
(1 − α
4)
薄壁圆截面： I p = 2π R03δ