最新人教版高中数学选修4-5一般形式的柯西不等式1

S 随堂练习
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探究一
探究二
探究三
探究四
【例 3】设 x1,x2,…,xn∈R+,求证
x2 1 x2
+ x +…+
3
x2 2
x2 n-1
证明:∵x1,x2,…,xn∈R+, ∴(x2+x3+x4+…+xn+x1) (x1+x2+…+xn)2.
x2 ∴1 x2 x2 x2 n-1 + 2+…+ x3 xn
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探究一三维形式的柯西不等式
无论是用柯西不等式还是其他重要不等式来证明不等式,构造出所需 要的某种结构是证题的难点,因此,对柯西不等式或其他重要不等式,要熟记 公式的特点,能灵活变形,才能灵活应用. 【例 1】已知 a+b+c=1,且 a,b,c 是正数,求证: 思路分析:9=(1+1+1)2,2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)的巧拆,给我们运用 柯西不等式提供了条件. 证明:左边=[2(a+b+c)]
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【例 2】若 ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),求证 (a1b1+…+anbn)
2
a1 b1
+ … + bn ≥(a1+…+an)2.
1 b+c 2 2 + a+b b+c
+
2 ≥9. c+a
+ c+a ≥(1+1+1)2=9. 当且仅当 a=b=c= 时,等号成立,所以,原不等式成立.
1 3
1
1 1 1 + + a+b b+c c+a
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]
1 + a+b
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37 6 28 9 22 15
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思考一般形式的柯西不等式如何应用? 提示:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或解决一些求最值 问题,应用时,常常需要对数学式子的形式进行变化,拼凑出与一般形式的柯 西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西 不等式的关键,也是难点,我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比 柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题.
二
一般形式的柯西不等式
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课程目标 1.掌握三维形式和多维形式的柯西 不等式. 2.会利用一般形式的柯西不等式解 决简单问题.
学习脉络
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x2 n + ≥x1+x2+…+xn. xn x1 x2 + … + xn 1
x2 x2 x2 1 2 3 + + x2 x3 x4
≥
x2 + n≥x1+x2+…+xn. x1
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探究二多维形式的柯西不等式
对使用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题时,往往不能直接 应用,需对数学式的形式进行转化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的 结构才能应用,经常利用数字“1”,对“1”进行灵活的变形应用,会起到事半功 倍的效果.
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探究三利用柯西不等式求最值
解决此类问题时,根据所求最值的目标函数的形式,对已知条件进行配 凑,向柯西不等式形式转化. 【例 4】 设 2x+3y+5z=29,求函数 u= 2x + 1 + 3y + 4 + 5z + 6的最 大值. 思路分析:将已知等式变形,直接应用柯西不等式. 解:由柯西不等式,得 120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)] ≥(1× 2x + 1+1× 3y + 4+1× 5z + 6)2, 故 2x + 1 + 3y + 4 + 5z + 6≤2 30. 当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6,即 x= ,y= ,z= 时,等号成立,此时 umax=2 30.
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1.三维形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是实数,则 2 2 2 2 2 2 (a2 1 + a 2 + a 3 )(b1 + b2 + b3 )≥(a1b1+a2b2+a3b3) ,当且仅当 bi=0(i=1,2,3), 或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立. 2.一般形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则 2 2 2 2 2 (a2 1 + a 2 +…+a n )(b1 + b2 +…+bn )≥ (a1b1+a2b2+…+anbn)2, 当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n),或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等 号成立.
n 2
a
证明:左边=[( a1 b1) +…+( a n bn ) ]
a1 b1
2
+…+
an bn
2
≥
a1 b1
a1 +…+ b1
a n bn
an bn
2
=(a1+…+an)2=右边,故原不等式成立.
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