第八章 不完全区组设计

互补关联阵为：
0001111 0110011 0111100 1010101 1011010 1100110 1101001
互补设计
区组
1234567
A
*
*
*
*
B
处
C
*
*
*
*
*
*
*
*
理
D
*
*
*
*
E
*
*
*
*
F
*
*
*
*
G
*
*
*
*
这个设计的参数为 ν =7,b =7,k =4,λ =2.
原设计参数： ν=b =7， γ=k =3， λ=1。
ν
b
利用自然约束条件：∑τi = 0, ∑ β j = 0，可求得
i =1
j =1
μˆ =
yii N
=
yii
(8.2)
利用诸 βˆj 的方程消除诸 τˆi 的方程中的区组效应 βˆj 得
∑ ∑ γ
yii
+ γτˆi
+
b
nij
j =1
1 k ( yi j
− kyii
−
v i =1
nijτˆi )
=
yii
试验设计
第八章 不完全区组设计
主讲：蒋远营
随机化完全区组设计：每个区组包括全部处理 但是，在许多需要采用区组设计的实际场合，如：
缺少试验设备、工具等，或者 区组太少， 从而出现了在每个区组中不能包括全部处理而只能容纳部分 处理的情况： 例如，
在比较切削工具的试验问题中，假使每种硬度的试样(区组) 被分割为四段，则每段太短，不适于作切割试验。测量切割 速度，只能将试样分割为三段，每段用一种工具作切削试验。 这就是说，每个区组只能容纳三个处理。
Example 1
为了比较不同的喷射剂对农作物生长速度的影响，选用 4种喷射剂(分别记作A, B, C, D) , 4个批次，但每种原料的 批次只能供3种喷射剂做试验。这个试验问题的如下设计方 法就是一个平衡不完全区组设计。
这个设计用下述表格表示更加清晰
区组
1234
A* *
*
处B
***
理C
*
*
*
方差分析
对于平衡不完全区组设计，方差分析要检验统计假设:
H0 :τ1 = τ 2 = = τ v = 0, ↔ H1 :τ1, ,τ v不全为零.
为了检验这个假设，将总偏差平方和
作如下分解:
∑ ∑ SST = i
设计的充分必要条件是：k =ν , λ = γ = b.
【例11]
为了比较4台机器(A, B, C, D)对各台机器产 品的平均切割厚度的影响，选用4种材料做 试验，但每批材料只够3台机器做试验，由 于不同批次对平均切割厚度也有影响，故 采用平衡不完全区组设计。设计的方法和 试验数据如下:
设计的方法和试验数据
不完全区组设计是不存在的，因为这里
γ -λ=7-2=5 不是完全平方数。 Ex7 : 参数ν = b = 46,γ = k =10,λ = 2的对称平衡
不完全区组设计也是不存在的，因为这里
γ -λ=10-2=8 不是完全平方数。
Th4（Fisher定理）对称的平衡不完全区组设 计的任何两个区组恰好有 λ 个处理是相同的。
i = 1,..., v,
b
b
b
∑ ∑ ∑ 利用 nij2 = nij = γ，i ≠ t时 nijntj = λ,可将上述v个方程化简
j =1
j =1
j =1
∑ ∑ γ
(1
−
1 k
)τˆi
−
λ
k
τˆt
t≠i
=
yi i
−
1 k
b
nij yi j ,
j =1
i = 1,..., v.
∑ Qi
=
yi i
材料（区组）
1 2 3 4 yi.
A 73 74
71 218
机器 B
75 67 72 214
（处理） C 73 75 68
216
D 75
72 75 222
y.j
221 224 207 218 870
为了估计诸处理效应，先由式(8. 3)计算调整的处理总和: 再用式(8. 5)可求得诸处理效应的估计值如下:
区组
123456
A*
**
处 B* *
*
理C
**
*
D
**
*
这个设计的参数为ν=4，b =6， γ=3，k =2， λ=1。
区组
1234
A* *
*
处B
***
理C
*
*
*
D*
**
这个设计的参数为ν=b =4， γ=k =3， λ=2。
Def2:若一个平衡不完全区组设计满足 b =ν (从而 λ = k )，则称它为对称的平衡不完全区 组设计。
( ) ⎪⎨诸 εijiid N 0,σ2
(8.1)
∑ ∑ ⎪⎪约束条件：ν
⎪⎩
i=1
τi
= 0,
b j=1
βj
= 0.
第j个区组的效应
要指明的是数据总数是bk = γν N
对 不 同 的 i， 相 应 的 下 标 j的 取 值 是 不 同 的
我个人的理解：Model
⎧
( ) ⎪⎪⎪⎨诸yijnij
导出设计与原设计参数间的关系为：
ν **=ν − k,b**=b −1,k**=k - λ, γ **=γ ,λ**=λ.
第2节 BIB设计的统计分析 Statistical analysis for BIB design
Model
第i个处理的效应
⎧
⎪⎪yij = μ+τi +βj +εij i,=1,2, ,ν; j =1,2, ,b;
111010 011101 100111
剩余设计：
区组
1234567
A
处
B
C
理
D
E
F
G
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
这个设计的参数为： ν* * =3，b * * =6，γ* * =4，k * * =2，λ* * =2。
原设计参数：ν =b=7,γ =k = 4,λ=2.
导出设计参数：ν **=3,b**=6,k**=2,γ **=4,λ**=2.
−
1 k
b
nij yi j ,
j =1
(8.3)
第i个处理的调整总和
等于：未调 整总和减去 包含此处理 的所有区组 总和的均值
于是诸 τˆi 估计的最小二乘正规方程组为：
⎧⎪γ (1
⎪ ⎪⎪−
λ
⎨k
−
1 k
)τˆ1
−
λ
k
τˆ2
−
τˆ1
+
γ
(1 −
1 k
)τˆ2
... − − ...
λ
k
−
τˆv =
=
Qi
i =1,2,...,v.⎫⎪ ⎬
而γ (k −1) = λ(ν −1)
⎪⎭
τˆi
=
k
vλ
Qi
,
i = 1,..., v.
(8.5)
Theorem 1
平衡不完全区组设计的参数满足：
(1) bk =νγ 。 (2) γ (k −1) = λ(ν −1) 。
(3)平衡不完全区组设计成为随机化完全区组
Definition 1
将ν个处理安排于b个区组的一种试验设计方法 称为一个平衡不完全区组设计。若它满足下列三个 条件: (1)每个区组包含k个不同处理(k称为区组的大小)。 (2)每个处理在γ个不同的区组中出现行(γ称为处理 的重复数)。 (3)任何一对处理在λ个不同的区组中相遇(λ称为相 遇数)。
互补设计 导出设计 剩余设计
Example8
区组
1234567
A
*
*
*
处
B
*
C
*
理
D
*
*
*
*
*
*
*
E
*
*
*
F
*
*
*
G
*
*
*
这个设计的参数为ν=b =7， γ=k =3， λ=1。
其关联阵为：
1110000 1001100 1000011 0101010 0100101 0011001 0010110
D*
**
区组
1234
A* *
*
处B
***
理C
*
*
*
D*
**
ν = 4(处理的个数)
区组
1234
A* *
*
处B
***
理C
*
*
*
D*
**
b = 4(区组的个数)
区组
1234
A* *
*
处B
***
理C
*
*
*
D*
**
k = 3(区组大小)
区组
1234
A* *
*
处B
***
理C
*
*
*
D*
**
γ = 3(重复次数)
μ : ∑ ∑ ⎧⎪nμˆ + γ ν τˆi + k b βˆ j = y..,
⎪
i =1