平行线的性质及判定

平行线的性质及

判定

定 义

示例剖析

平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．

∥a b ，∥AB CD 等．

平行线的性质：

两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补．

若∥a b ，则12∠=∠； 若∥a b ，则23∠=∠；

若∥a b ，则34180∠+∠=︒．

平行线的判定：

同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行；

若12∠=∠，则∥a b ；

b

a 43

2

1

b

a 43

2

1

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题型一：平行线的定义、性质及判定

同旁内角互补，两直线平行． 若23∠=∠，则∥a b ；

若34180∠+∠=︒，则∥a b ．

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．

平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．

若∥，∥b a c a ，则∥b c ．

【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）

A ．同位角相等

B ．内错角相等

C ．同旁内角互补

D ．以上都不对

⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定

⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）

A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥

B ．∵180

C

D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥

⑷ 如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）

A ．50°

B ．40°

C ．150°

D ．130°

⑸ 如图，直线AB CD ∥，EF CD ⊥，F 为垂足，如果

20GEF ∠=°，则1∠的度数是（ ）

A ．20°

B ．60°

C ．70°

D ．30°

⑹ 如图，直线a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=°，则2∠的度数为______

(c )b a

A

c b a

典题精练

D

C

B

A

b

a 2

1

D

G

F

1E C

B A

⑺ 如图，1∠和2∠互补，那么图中平行的直线有（ ）

A ．a b ∥

B ．c d ∥

C ．d e ∥

D ．c e ∥

⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12∠=∠；②34∠=∠；③2490∠+∠=°；④45180∠+∠=°，其中正确的个数（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 ⑼ 如图，直线12l l ∥，AB CD ⊥，134∠=°，那么2∠的度数是 ．

⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164∠=°，那么2∠等于 ．

【铺垫】多选题：下列说法错误的有（ ）

A ：不相交的两条直线是平行线．

B ：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

C ：三条直线a 、b 、c ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥；同理，若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥．

D ：已知α∠的两边与β∠的两边平行，若48α∠=°，则48β∠=°．

E ：若AB CD ∥，CD E

F ∥，则AB EF ∥．理由是等量代换． F ：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．

21

b

a C

B

A

1

2

34

521l 2

l 1D

C

B A

21

2

1

e

d

c b

a

G ：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．

【例2】 ⑴ 如图，∥AB CD ,B D ∠=∠,请说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．

解：∵，

∴（ ）． ∵， ∴ （等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）．

⑵ 填空，完成下列说理过程.

如图，DP 平分ADC ∠交AB 于点P ，90DPC ∠=︒，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由.

解：∵DP 平分ADC ∠， ∴∠3＝∠ （ ） ∵APB ∠= °，且90DPC ∠=︒，

∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°，

∴∠2＝∠3. （ ）

∴∠2＝∠4.

⑶ 如图,已知DE AC ∥，DF AB ∥，求A B C ∠+∠+∠度数．

解：∵DE AC ∥（ ），

∴C ∠= （ ）， 3∠= （ ） 又∵DF AB ∥（ ） ∴B ∠= （ ） A ∠= （ ） ∴3A ∠=∠（ ）

∴123A B C BDC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠= （ ）

【例3】 ⑶ 如图，已知直线AB CD ∥， 115C ∠=°，25A ∠=°，则E ∠

的度数为 度．

⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的 条件： . AB CD ∥180BAD D ∠+∠=°B D ∠=∠BAD ∠+180=°12∠=∠4

32

1

F

E

D

C

B

A

2

1

D C B

A A

E

图3

E

D

C B A

F P

D C B A

4

3

21