离散数学章节总结

n P(n, r ) n!/(n r )! n! C (n, r ) r P( r , r ) r! r!(n r )! 2.组合：
[6.4 二项式系数] 1.杨辉三角：C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)
第九章
[9.1 关系] 1.关系：函数的推广 2.二元关系： ①.定义：A binary relation from A to B is a set R where a R b denotes (a, b) ∈ R 包含于 A X B. a is said to be related to b by R. ②.数量：with |A| = m and |B| = n 共有 2
4.传递闭集:两个顶点可由某一路径到达,用一条路直接连接这两个顶点.传递闭集 包含所有这样的路 Rn 代表所有长度为 n 的可以连接两个顶点的路 R*代表所有任意长度的可以连接两个顶点的路 R*为传递闭集 路径的最大长度:元素总数 n 零一矩阵:
2] 3] n] MR* MR M[R M[R M[R
n
i

[2.3 函数]
1.函数的定义 2.术语：定义域，值域，象，原象，范围， 3.f(a)/f(A)
第五章
[5.1 序、归纳] 1.序：在某种关系下存在最小元素则为 well-ordered 2.第一数学归纳法：basic step P(C)成立 and inductive step P(k)→P(k+1) 3.第二数学归纳法:basic step:P(c)成立 and inductive step: 任意 k 小于等于 nP(k) 成立→P(n+1) [5.2 递归] 1.递归：以相同形式用小的项来定义的大的项 不能一直递归下去（存在初始项）必须存在可以直接解决问题的一项 ① basic step:原有元素 ② recursive step:原有元素如何产生新元素 2.字符串的定义：空字符，回文 3.结构归纳：用于证明递归结构对所有元素都成立： ①basic step:原有元素成立 ②recursive step:用递归式导出的新元素成立 [5.3 递归算法] 1.定义：把问题转化为相同形式但值更小的算法 2.递归算法有初始步骤（是可终止的）并且递归时至少改变一个参数值使之 向初始步骤靠拢 3.递归时间复杂度高，可以用非递归（loop 或 stack）来代替 [5.4 程序的正确性] 1.测试与证明：证明更有说服力 2.证明：①程序会终止②（部分正确）程序只要可以终止得出的结论都是正 确的 正确的程序：对任意可能的输入都有正确的输出 部分正确，完全正确 3.Hoare triple：P{S}Q P: precondition S: assertion Q:postcondition?? P{S}Q:当 PQ 正确时为部分正确 当证明了 S 的可终止性为完全正确 4.程序的基本语句：赋值，命题，条件，循环 5.弱化结论：P{S}R R→Q：P{S}Q 强化条件 Q→R R{S}P：Q{S}P 复合：P{S1}RR{S2}Q: P{S1;S2}Q
离散数学章节总结
第一章
[1.1 命题逻辑] 1.逻辑运算 1.否定:Negation¬ NOT 2.交:Conjunction AND 3.并:Disjunction OR 4.蕴含:Implication IMPLIES 5. Biconditional ↔ IFF 6.Exclusive-Or XOR 2.逆/否/逆否 1.逆:converse 2.否:inverse 3.逆否:conytrapositive 3.问题的一致性 [1.2 逻辑等价] 1.p→q 等价于¬pq 等价于¬ q→¬p 2. pq 等价于¬p→q pq 等价于¬( p→¬q) 3.(p→q) (p→r) 等价于 p→(qr) (p→r) (q→r) 等价于(pq)→r (p→r) (q→r)等价于(pq) →r 4. 证明等价 : 真值表逻辑符号证明找反例 ( 假设左 为假右必为假假设右为假左必为假) [1.3 1.4 谓词逻辑] 1.量词∃存在 ∀任意 量词顺序不能随机改变 不全为真:(p1p2…pn) (p1p2…pn) x P(x ) xP(x ) 没有一个为真:(p1p2…pn) (p1p2…pn) x P(x ) xP(x ) [1.5 推理]
n k 1 (M1 )ik (M 2 )kj
[9.4 关系的闭集] 1.反身闭集：原来的关系加上所有的(a,a)在矩阵中则把对角线元素变为 1 2.对称闭集：原来有的关系(a,b)加上所有的(b,a)即 R U R-1 其中 R-1 代表 R 的转置 A表示补集 3.路：长度大于等于 1(长度指边的条数) 从同一顶点开始、结束的路径：回路
mn
relations from A
to B,including the empty relation as well as the relation A X B. 3.关系图
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4.自身关系：A on A：A×A relation on A 5.反身关系：reflexive：∀a∈A(a,a)∈R Reflexive relations: 含有所有(a,a)元素的关系 6.对称关系：symmetric 对所有(a,b) ∈R 就有(b,a) ∈R 非对称关系：Antisymmetric: 只有当 a=b 时(a,b) (b,a)才会同时∈R。 即a≠b, (a,b)R → (b,a)R Asymmetric:只要(a,b) ∈R 那么(b,a)R 三者两两互不矛盾 7.传递：有(a,b)和(b,c)就有(a,c) 8.组合关系：A 交并补 B 复合关系：S：A→B R：B→C RS：A→C ((4,2);(2,3)→(4,3)) 若 A1，A2 是可传递的，则 A1 并 A2 不一定可传递但 A1A2 与 A2A1 是可传递的 Rn = RR … R [9.2 n 元关系] 1.度，定义域
第六章
[6.1 加法乘法原理] 1.加法乘法原理：方法不重复，互不影响，做 1or2 m+n 做 1and2 mn 2.容斥原理：方法有重叠：|AB|=|A||B||AB| 3.包含条件的问题。 [6.2 分类原理] 1.抽屉原理。 2.抽屉原理推论：n 插入 k 个抽屉：至少有一个抽屉含有[n/k]个元素（上取 整） [6.3 排列组合] 1.排列：选择的元素只出现一次 r-permutation of S P(n,r) = n(n−1)…(n−r+1) = n!/(n−r)!
[1.6 1.7 证明] 1.证明方法:直接证明间接证明反证列举证明(列举所有情况)构造证明(构造出满 足结论的元素) 2.证明步骤:正向证明反向证明
第二章
[2.1 2.2 集合及运算] 1.特殊集合: R Q Z 无穷/有限集 2.集合表述方法:列举法描述法图表法 3.集合运算:交/并/补/差/取子集 P(S)/元素数|S|/乘积 P×Q/
M
[ 2] R
MR

1 0 1 MR 0 1 0 1 1 0

1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1
[9.5 等价关系] 1.等价关系满足自反性,对称性,传递性.即 f(x)=f(x) f(a)=f(b)则 f(b)=f(a) f(a)=f(b) f(b)=f(c)则 f(a)=f(c) 满足以上三个条件的关系,若二者在关系 R 下值相等,则称二者等价 2.等价集:[a]R 所有与 a 在关系 R 下等价的元素不混淆的情况下写作[R] 不同的等价集是互斥的(因具有对称性) 3.集合的划分:把集合 S 划分为非空互斥的子集,所有子集的并为 S 等价集可作为集合 S 的划分依据 [9.6 偏序] 1.偏序是自反的,非对称的(antisymmetric),可传递的. (A, ≼).偏序集 2.哈希图解:简化图 1.箭头朝上 2.去自反 3.去传递 4.去箭头 3.最小,最大元素(可能不只一个):∀a 比 min 在关系≼下大:∀b 比 max 在关系≼下小 4.字典顺序:在某一偏序关系下排序 5.全序:在关系≼下,并不一定两两元素均可比较 6.拓扑排序 易错点： 1..SD 顺序
[9.3 关系的表示] 1.关系的表示方法: 1.元素组列表 2.函数关系 3.零一矩阵 4.图 2.零一矩阵:|A|×|B| 0-1 matrix 对角线全为 1:自反性 对称矩阵:对称性 antisymmetric:Mij= 0 or Mji= 0 for all i≠j 3.零一矩阵的运算: 交: joinM1∨M2 补:meetM1∧M2 复合:compositionM1⊙M2
A B A B A B A B
n
A A A A
i i i 1
n
n
A X
i 1
A X
容斥原理 4.证明集合相等:1.证明互为子集 2.从属表 3.逻辑证明
1 i n 1 i j n
A
i1
i

A
i

A A
i
j
(1)
n
A
i1
D maps an element a to the element (5 – a), and afterwards S maps (5 – a) to all elements larger than (5 – a), resulting in SD = {(a,b) | 5 – a<b}.