2.2.1直接证明 学案(含答案)
2.2.1直接证明教案
课题 2.2.1 直接证明1．结合已经学过的数学实例，理解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2．感受和体会直接证明的思维方法——分析法和综合法；(一)自学质疑：A 类问题：仔细阅读课本79-81页的内容，完成下列问题问题1、直接证明的一般形式问题2、分析法的概念及推理过程问题3、综合法的概念及推理过程B 级问题）例1、已知0,0a b >>，求证：22b a a b a b+≥+例2、已知1,1a b <<，证明：11a b ab+<+※ 当堂检测 （40分）1、（A ）下列条件：(1)0,(2)0,(3)0,0,(4)0,0ab ab a b a b ><>><<，其中能使2b a a b+≥成立的条件有 个2、（B ）设222,,(1)lg(1)0,(2)2(1)a b R a a b a b ∈+>+≥--22,(3)32a ab b +>1,(4)1a ab b +<+以上4个不等式中，恒成立的序号是3、（B ）设,a b 都是正实数，且满足191a b+=，若a b m +≥恒成立，则m 的取值范围为 4、（B ）设0,0,,111x y x y x y A B x y x y+>>==+++++，则A 与B 的大小关系为 5、（B ）在ABC ∆中，三个内角,,A B C 对应边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，,,a b c 成等比数列 求证：ABC ∆是正三角形6、（B 级）已知：(),()f x x R ∈满足121212()()2()()22x x x x f x f x f f +-+=，且()0f x ≠ 求证：()f x 是偶函数※学生完成本节导学案的情况统计.。
2.2.1直接证明与间接证明(综合法分析法)
【思考下列问题】 1、如图所示：已知 PA 于A , PB B ,
a , a AB , 求证： a PB
P
A
B
a
由已知开始，结合定理推理，得出结论
例2、在ABC中，设CB a， CA b， 1 2 2 2 求证：S ABC |a| |b| （a b） 2
n
【例】在ΔABC中，三个内角A , B , C对应的边
分别是a , b , c ，且 A , B , C 成等差数列，
a , b , c 成等比数列。
求证： ΔABC是等边三角形。
【分析】 条件是什么？ A , B , C 成等差数列 2B = A + C b2 = a c
a , b , c 成等比数列
格 式
只要证： 只需证：
显然成立
上述各步均可逆
所以 结论成立
所以 结论成立
【例1】求证：当一个圆与一个正方形的周长
相等时，圆面积比正方形面积大。
【例】 如图： SA 平面ABC , AB BC
过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC
的垂线，垂足为F。
求证： AF SC
EDC >EDB AC > AB B > C
B >C AC > AB 因为 BD =DC , AD =AD EDC >EDB 因为 BD =DC , ED =ED EC > BE EBC >ECB
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件 直至最后，把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件。 要证： 要证：
综合法
利用已知条件和某些数学定义、定理、
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 直接证明与间接证明 综合法与分析法导学案 新人教A版选修
河北省承德市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明综合法与分析法导学案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明综合法与分析法导学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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直接证明与间接证明综合法与分析法学习目标：1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法．分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异．1。
教学重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点．2。
教学难点：综合法和分析法的应用．方法：合作探究一新知导学综合法证明不等式1．定义利用__________和某些数学__________、__________、__________等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2．综合法的特点从“已知"看“________"，逐步推向“________",其逐步推理,是由______导_______,实际上是寻找“已知”的_________条件．用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理,它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题,有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“__________”和有效的__________是有效利用综合法证明数学问题的关键．3．综合法的基本思路用__________表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，__________表示所要证明的结论,则综合法的推理形式为错误!→错误!→错误!→…→错误!课堂随笔：其逻辑依据是三段论式演绎推理．牛刀小试1．a>0，b〉0，则下列不等式中不成立的是（)A．a＋b＋错误!≥2错误!B．(a ＋b）错误!≥4C．错误!≥a＋b D．错误!≥错误!2．设a〉0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则错误!＋错误!＋错误!的最小值为__________.3．设a≥b>0,求证:3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2。
人教版数学高二人教 《直接证明与间接证明》 精品导学案
8、证明： 是不等正数，且 ，
9、（1）由 及 ，可归纳证明 ，从而有 ，所以，对 总有 ；（2）当 因为 ，所以 ，故对 总有 成立。
证明：要证明 ，考虑到所要证明的式子中 的位置是对称的， 只与 建立不等式的关系，同样 只与 建立不等式的关系， 只与 建立不等式的关系，因而要证明结果，只要证明 ，即证明： ，即证明 ，而此式成立。 ，
同理： ，
三式相加得
【点评】在证明时，我们有时找不到解题思路或直接证明比较繁琐，常常要观察结论的形式和结构有什么特点，注意与题设之间的联系，去探求解题的路子，在上例中，若用常见的方法两边平方分析就比较麻烦，但是考虑到 的轮换性，从而确定只要证明 成立，在复杂的证明过程中，常常是分析法和综合法交叉混合使用，不要截然分开两种证明的方法。
2.2.1直接证明与间接证明(1)
直接证明
【要点梳理】
1、直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为，它的一般形式为
2、从出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的为止，这种证明方法称为
3、从问题的出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到
为止，这种证明方法称为
4、综合法和分析法的推证过程是来自综合法分析法【指点迷津】
1、分析法和综合法各有怎样的优缺点？
综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点，分析法解题方法较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不偏于思考，实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程。
综合法的特点：广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法。分析法是和综合法相比较而清晰的，综合法逐步推求已知条件的必要条件，而分析法步步逆向寻求未知事项成立的充分条件，所以分析法和综合法思维过程看是互逆的，叙述形式也有区别。
高中数学人教A版理科学案选修2-2.2.2.1-1直接证明--综合法(含答案)
从命题的出发，利用、、
及，通过，一步一步地接近要证明
的，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为
________________.
2.用综合法证明不等式的逻辑关系是：
⇒ ⇒ ⇒…⇒
3.综合法的特点
(1)从“已知”看“可知”．逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理．实际上是寻找要证结论成立的必要条件．(2)用综合法证明不等式，要求证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，能够表达推理的思维轨迹．
复备、笔记、纠错
精讲互动：
例1.已知a,b>0,求证
例2设 ，求证：
例3.求证： 是函数 的一个周期。
例4.已知：x,y,z为互不相等的实数，且 求证：
。
2.设
课
堂
检
测
1.已知a、b是正数，且a＋b＝1，求证： ＋ ≥4.
2.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为 ,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
③运用综合法解题，步骤严谨，逐层递进，条理清晰，宜于表达，是我们在解题中的主要的表达方式。
作业布置
课本第12页习题1-2第2、3、4题
小
结
反
思
综合法的特点：
①综合法的证题过程是从“已知”看“可知”，再由“已知（包括上一步的结果）”看“可知”，……，最后推导出“未知”的“由因导果”的过程；
②由于已知条件有不同组合，每个组合又有不同的中间结果出现，这些中间结果不是对解题都有用，因此如何找到有效的推理“路线”是运用综合法的难点，换言之：运用综合法解题有一定的盲目性。
序号
3
授课
时间
班级
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苏教版高中数学选修2-2 2.2.1直接证明 学案
2.2.1 直接证明学习目标 1.了解直接证明的特点.2.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 直接证明思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． (2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．知识点二 分析法和综合法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：方法一 ∵(a －b )2≥0， ∴(a )2＋(b )2－2ab ≥0， ∴a ＋b ≥2ab ，∴a ＋b2≥ab . 方法二 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，∵(a －b )2≥0显然成立，∴原不等式成立．答案 方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件． 梳理 综合法和分析法定义比较类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论 ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3. 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)． 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原等式成立．反思与感悟 证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． (2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理． (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式． 跟踪训练2 在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C . 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C .类型二 分析法 例3 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．反思与感悟 分析法的应用范围及方法跟踪训练3 求证：a －a －1<a －2－a －3 (a ≥3)． 证明 方法一 要证a －a －1<a －2－a －3， 只需证a ＋a －3<a －2＋a －1， 只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2， 只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2， 只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2， 只需证0<2，而0<2显然成立， ∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3，∴a －a －1<a －2－a －3.1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为________． 答案 a >b解析 ∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是________．答案 c解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0，∴c >b >a . 3．欲证2－3<6－7成立，只需证下列各式中的________．(填序号) ①(2－3)2<(6－7)2； ②(2－6)2<(3－7)2； ③(2＋7)2<(3＋6)2； ④(2－3－6)2<(－7)2. 答案 ③解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2. 4.3－2________2－1.(填“>”或“<”) 答案 <5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝4＋2(y x ＋xy )＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证． 方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ， 只需证明(1＋1x )(1＋11－x)≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2， 即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．课时作业一、填空题1．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a >b >0解析 由a a >b b ，得a 3>b 3， 则a ，b 需满足a >b >0.2．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 3解析 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立．3．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________. 答案 －b解析 函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为________． 答案 P <Q解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ， Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， ∴P 2<Q 2，即P <Q .5．若A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.6．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1.(判断大小)答案<解析要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.7．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)答案垂心解析如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO⊥平面ABC，连结AO，BO.∵SA⊥BC，SO⊥BC，SA∩SO＝S，∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.同理可证，AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心．8．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．9．已知函数f (x )＝2x ，a ，b ∈(0，＋∞)．A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，且a ≠b ，则A ，B ，C 从小到大排列为______________． 答案 C <B <A解析 ∵a ＋b 2>ab >2aba ＋b ，又∵f (x )＝2x 在R 上为增函数， ∴A >B >C .10．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝2ab －(a ＋b )≤0， ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， 则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )， 即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________. 答案 1解析 由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，① a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2， ②将①式代入②式，得a b ＋c ＋b a ＋c ＝1.二、解答题12．已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明 要证a ＋12＋ b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1， 即只需证明(a ＋12)(b ＋12)≤1.而(a ＋12)(b ＋12)≤(a ＋12)＋(b ＋12)2＝1＋12＋122＝1成立，所以a ＋12＋ b ＋12≤2成立． 13．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角， 所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ， ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C . ⑤ 由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 三、探究与拓展14.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案 对角线互相垂直(答案不惟一) 解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1， 因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1， 故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a nn＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n (n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.2 直接证明与间接证明2.2.1 pdf版含答案
2 ∴ a2＋b2≥ 2 (a＋b)成立．
当 a＋b>0 时，用分析法证明如下：
2 要证 a2＋b2≥ 2 (a＋b)，
[ ] 2
a＋b
只需证( a2＋b2)2≥ 2
2，
1
即证 a2＋b2≥2(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立，
2 ∴ a2＋b2≥ 2 (a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中
间结论 P；若由 P 可推出 Q，即可得证．
跟踪演练 3 设实数 a，b，c 成等比数列，非零实数 x，y 分别为 a 与 b，b 与 c 的等差中项，
要点一 综合法的应用
例 1 在△ABC 中，三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，
a、b、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．
证明 由 A、B、C 成等差数列，有 2B＝A＋C.
①
因为 A、B、C 为△ABC 的内角，所以 A＋B＋C＝π.
②
π
由①②，得 B＝3.
11 1 a＋b≥2 ab>0，
( )1 1 ＋ ∴(a＋b) a b ≥4.
11 又 a＋b＝1，∴a＋b≥4.
1 1 a＋b a＋b b a
ba
·
法三 a＋b＝ a ＋ b ＝1＋a＋b＋1≥2＋2 a b＝4.当且仅当 a＝b 时，取“＝”号．
要点二 分析法的应用
2 例 2 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 2 (a＋b)． 证明 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0，
规律方法 用分析法证明不等式时应注意
2019(全国通用版)高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法学案 新人教A
2．2.1 综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论) 知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件1．综合法是执果索因的逆推证法．( × ) 2．分析法就是从结论推向已知．( × )3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ )类型一 综合法的应用例1 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b2＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .反思与感悟 综合法证明问题的步骤跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a－3>6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 类型二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪训练2 已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ， 求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2， 只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0， 即证(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证． 类型三 分析法与综合法的综合应用例3 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其对边分别为a ，b ，c .求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，即证ca ＋b ＋ab ＋c＝1.即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac .所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证． 引申探究本例改为求证a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c .证明 要证a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c，只需证a ＋b ＋(a ＋b )c >(1＋a ＋b )c ， 即证a ＋b >c . 而a ＋b >c 显然成立，所以a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c.反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程． 跟踪训练3 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 要证log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证 log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，由已知0<x <1，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc ，由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．类比法考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 B2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．随x 取值不同而不同考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0，∴c >b >a . 3．要证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 C解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， 只需证2＋7<6＋3， 即证(2＋7)2<(3＋6)2.4．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的值为________． 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案π3解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.5．已知a ，b ，c 都为正实数，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32， 只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( )A ．x >0，y >0B ．x <0，y <0C ．x >0，y <0D ．x <0，y >0考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，xy >1，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0.2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件 答案 D解析 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证a 2b 2－(a 2＋b 2)＋1≥0， 即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.3．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( ) A ．b 2＋c 2≥a 2B ．b 2＋c 2>a 2C ．b 2＋c 2≤a 2D ．b 2＋c 2<a 2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 D解析 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵A 为钝角，∴cos A <0，则b 2＋c 2<a 2.4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 C解析 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)，又A ，B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5．设a ，b >0，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab ，又因为a ＋b ＝2>2ab ， 故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 C解析 利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2， ∴当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 又a ＝ln 44，∴b >a >c .7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)单调递减．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负B．恒等于零C．恒为正D．无法确定正负考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案 A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数．由x1＋x2>0，可知x1>－x2，所以f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)<0.二、填空题8．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程为“对函数f(x)＝x－x ln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案综合法9．如果a a＋b b>a b＋b a，则正数a，b应满足的条件是________．考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案a≠b解析∵a a＋b b－(a b＋b a)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴只要a≠b，就有a a＋b b>a b＋b a.10．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案a>c>b解析∵a2－c2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，a>0，c>0，∴a>c.∵c >0，b >0，c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b .∴a >c >b . 11．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )____________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝2ab －(a ＋b )≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )，即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 12.如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．三、解答题 13．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2. 考点 分析法及应用题点 利用分析法解决不等式问题证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 从而只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 四、探究与拓展14．若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 解析 当n 为偶数时，a <2－1n， 而2－1n ≥2－12＝32，所以a <32； 当n 为奇数时，a >－2－1n， 而－2－1n<－2，所以a ≥－2. 综上可得，－2≤a <32. 15．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C .①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．。
数学苏教版选修2-2温故知新2.2.1直接证明含解析
2.2 直接证明与间接证明2。
2.1 直接证明温故知新新知预习1。
综合法和分析法，是直接证明中_________的方法，也是解决数学问题时_______________.2。
一般地，利用__________________________________________,经过一系列的推理、论证,最后推导出______________，这种证明方法叫做综合法。
对于命题“若P则Q"的综合法证明可用框图表示为:3。
一般地,从______________出发，逐步寻找推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后,把________________________________________________________，这种证明的方法叫做分析法。
命题“若P则Q”的分析法证明可用框图表示为:4.在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据______________，得到中间结论Q n；根据__________________________________________，得到中间结论P n.若由P n可以推出Q n成立，就可证明结论成立.知识回顾1.合情推理对一般的数学问题进行推理的过程可以概括为：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们统称为合情推理.2。
演绎推理如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：大前提—-已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。
2020高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法学案
2.2.1 综合法和分析法学习目标：1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2.会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．综合法2思考1[提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．思考2: 综合法与分析法有什么区别？[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．[基础自测]1．思考辨析(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)所有证明的题目均可使用分析法证明．( )[答案](1)×(2)×(3) ×2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2 θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2 θ”，其过程应用了( ) A．分析法B．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法B [从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．] 3．要证明A ＞B ，若用作差比较法，只要证明________． [解析] 要证A ＞B ，只要证A －B ＞0. [答案] A －B ＞0 4．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立.【导学号：31062143】[解析] 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0[合 作 探 究·攻 重 难](1)已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，证明：a ＋b≥4.(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B －(2c －b )sin C . ①求证：A 的大小为π3；②若sin B ＋sin C ＝3，证明△ABC 为等边三角形． [解] (1)法一：∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.法二：∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b≥4.法三：1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． (2)①由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.②因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以B ＋C ＝180°－60°＝120°， 由sin B ＋sin C ＝3， 得sin B ＋sin(120°－B )＝3，sin B ＋(sin 120°cos B －cos 120°sin B )＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1.因为0°＜B ＜120°，所以30°＜B ＋30°＜150°， 所以B ＋30°＝90°，B ＝60°， 所以A ＝B ＝C ＝60°， 即△ABC 为等边三角形． [规律方法] 综合法的解题步骤[跟踪训练]1.如图221，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE ； (2)证明：PD ⊥平面ABE .图221[证明] (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC . 而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC . 由(1)知，AE ⊥CD ，又PC ∩CD ＝C ， ∴AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD . ∵PA ⊥底面ABCD ，∴PD 在底面ABCD 内的射影是AD . 又AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .设a ，b 【导学号：31062144】[证明] 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b ＞0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2. 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．[规律方法] 用分析法证明不等式的三个关注点分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等分析法是综合法的逆过程，即从“未知”“看”“需知” ，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性，其格式一般为“要证……，只要证…….只需证……，……显然成立，所以……成立”.[跟踪训练]3．已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . [证明] 要证a b ＋ba≥a ＋b ， 只要证a a ＋b b ≥ab ·(a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )， 因为a ，b 是正实数， 即证a ＋b －ab ≥ab ， 也就是要证a ＋b ≥2ab ， 即(a －b )2≥0. 而该式显然成立，所以a b ＋ba≥a ＋b .[探究问题]1．在实际解题时，综合法与分析法能否可以结合起来使用？提示：在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．2．你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路？ 提示：用框图表示如下：其中P 表示已知条件、定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .[思路探究] 解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明． [解] 要证明：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．母题探究：1.(变条件)删掉本例条件“0<x <1”，求证：lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .[证明] 要证lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥lg(a ·b ·c )，即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc .因为a ，b ，c 为不全相等的正数， 所以a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，c ＋a2≥ac ＞0，且上述三式中等号不能同时成立， 所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立，所以lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c 成立．2．(变条件)把本例条件“0<x <1”换成“abc ＝1”，求证：1a ＋1b ＋1c＞a ＋b ＋c .[证明] 法一：由左式推证右式∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ac ＋ab＝bc ＋ac 2＋ac ＋ab 2＋ab ＋bc2＞bc ·ac ＋ac ·ab ＋ab ·bc ＝c ＋a ＋b .∴1a ＋1b ＋1c＞a ＋b ＋c .法二：由右式推证左式∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2(基本不等式)＝ 1a ＋1b ＋1c .[规律方法] 分析综合法的解题思路分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.[当 堂 达 标·固 双 基]1．欲证2－3<6－7成立，只需证( )【导学号：31062145】A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2C [∵2－3<0，6－7<0，故2－3<6－7⇔2＋7<3＋6⇔(2＋7)2<(3＋6)2.] 2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形C [由sin A sin B <cos A cos B 得cos(A ＋B )＝－cos C >0，所以cos C <0, 即△ABC 一定是钝角三角形．] 3．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________.【导学号：31062146】[解析] a a ＋b b ＞a b ＋b a⇔a a －a b ＞b a －b b ⇔a (a －b )＞b (a －b ) ⇔(a －b )(a －b )＞0⇔(a ＋b )(a －b )2＞0，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． [答案] a ≠b 且a ≥0，b ≥04．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．[解析] 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．[答案]95．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)[证明]法一：(综合法)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.法二：(分析法)要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，∴上式成立．。
湖北省巴东一中数学选修2-2教案 2.2直接证明与间接证明1(理)
2.2.1 直接证明与间接证明(1)【学情分析】前一阶段刚刚学习了人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理。
数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。
这是数学区别于其他学科的显著特点。
本节学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
在以前的学习中，学生已经接触过用综合法、分析法和反证法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，逻辑规则也会应用不当。
本部分结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的电教过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。
【教学目标】（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；了解综合法、分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。
【教学过程设计】证：ABC ，B ，C 成等ABC 的内角 3B π=【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。
2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。
证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。
2019-2020学年高二数学《2.2.1-直接证明》导学案-人教新课标版选修2-2
2019-2020学年高二数学《2.2.1 直接证明》导学案人教新课标版选修2-2章节与课题第二章第2.2.1节直接证明课时安排4课时主备人审核人使用人使用日期或周次第一周本课时学习目标或学习任务结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点。
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
本课时重点难点或学习建议重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点难点：分析法和综合法的思考过程、特点本课时教学资源的使用导学案学习过程一、自学准备与知识导学1.问题：如图，四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DA。
证明：思考：以上证明方法有什么特点？2.观察下面问题的证法：设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。
(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
思考：以上证明方法有什么特点？__________________________。
3．直接证明定义：直接从逐步推得成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法与分析法．（综合法分析法定义（2）对分析法证题的说明 “若Ａ成立，则Ｂ成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：注： ① ② ③（3）综合法和分析法的优缺点 二、学习交流与问题探讨例1.已知：AB ，CD 相交于点O ，△ACD ≌△BDO ，AE=BF.求证：CE=DF （分别用综合法和分析法证明）例2.>例3已知a >0,b >0,求证a (b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc例4.已知a b c >>，求证：1140a b b c c a++---≥．例5若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c aa b c +++++>++．三、练习检测与拓展延伸课本P81练习1、2、3、4练习：１．0,0++≥若，求证：a b>>a b2.△ABC三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证：∠B<900四、课后反思。
2.2.1 直接证明
2.2.1直接证明班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】了解直接证明两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法思考过程与特点． 【教学重点】会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程．【教学难点】结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法． 【教学过程】 一、引入：已知：如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，求证：,AB CD BC DA ==． 证：二、新授内容：探究一：上述证明是直接从__________逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． 注：直接证明的一般形式：________________________A B C ⎫⎪⎪⇒⇒⇒⇒⇒⎬⎪⎪⎭本题条件本题结论．情境：在《数学5(0,0)2a bab a b +≤>>的： 证法一：对于正数,a b ，有2(0,0,a b a b ab ≥⇒+-≥2,2a ba b ab ab +⇒+≥⇒≥ 证法二2a bab +≤，只要证2ab a b ≤+，只要证02a ab b ≤-， 只要证20()a b ≤2a b ab +≤．这两种证明方法有什么不同之处，各有什么特点？ 探究二： 1．综合法：（1）定义：从__________出发，以已知的_________、__________、__________为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止。
这种证明方法称为综合法． （2）综合法的推导过程： 已知条件⇒⇒⇒结论．2．分析法：（1）定义：从问题的__________出发，追溯导致__________成立的条件，逐步上溯，直到_________________为止，这种证明方法称为分析法． （2）分析法的推理过程：结论⇒⇒⇒已知条件．4123例1．如图，已知,AB CD 相交于点O ，ACO ∆≌BDO ∆，AE BF =求证：CE DF =．例2．设,a b 为两个不相等的正数，且1a b +=，分别用分析法与综合法证明：114a b+>．例3．三、课堂反馈：1．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．2．3+,,><=填空）．反思：3．已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc ．4．用向量方法证明：设O 为ABC ∆中的一点，若AO BC ⊥，BO AC ⊥，则CO AB ⊥．5．分别用分析法与综合法证明：当1a >时，<四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．分别用分析法与综合法证明：设,,a b c 为不全相等的正数， 求证：3b c a c a b a b ca b c+-+-+-++>．2．设,a b 是两个相异的正数，求证：关于x 的一元二次方程222()420a b x abx ab +++=没有实数根．3．分别用分析法与综合法证明：已知ABC ∆的3个顶点的坐标分别为(5,2)A -，(1,2)B ，(10,3)C ，求证：ABC ∆为直角三角形．分析法： 综合法：4．已知,a b c >> 求证：114a b b c a c+≥---．5．设ABC ∆中，3个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC ∆为等边三角形．6．用向量方法证明：已知四面体ABCD ，若AB CD ⊥，AD BC ⊥，则AC BD ⊥．小结反思：。
高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义(含解析)苏教版选
直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明 定义推证过程综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法已知条件⇒…⇒…⇒结论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法 结论⇐…⇐…⇐已知条件1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27]综合法的应用[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨]从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析]∵a 2＋19≥2a 3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通]综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab .又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ， 同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )， 即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ， 故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 又因为aπ，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c . ∵PO ⊥π，a π，∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ，b平面PAO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面PAO .又c平面PAO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．分析法的应用[例2] 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.[思路点拨]本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析]要证明(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b 成立，只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b 成立，即证(a －b )24a <(a －b )2<(a －b )24b 成立．只需证a －b 2a <a －b <a －b2b成立．只需证a＋b2a<1<a＋b2b成立，即证a＋b<2a且a＋b>2b，即b<a.∵a>b>0，∴b<a成立．∴(a－b)28a<a＋b2－ab<(a－b)28b成立．[一点通]在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，求证：P＜Q.证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a(a＋7)＜2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)，即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，即证0＜12.因为0＜12成立，所以P＜Q成立．4．已知a、b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥2ab.因为a，b为正实数，所以a＋b≥2ab成立，所以ab＋ba≥a＋b.综合法与分析法的综合应用[例3] 已知0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1， 求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1.[思路点拨]因为0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1，所以要证明1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1成立，可转化为证明1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc 成立．[精解详析]∵a >0，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ， 即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0. ∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )， 又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立， 即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通](1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ab ＋c ＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )(a ＋b )(b ＋c )＝1，即a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.下面证明：a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋c 2＋ab ＋bc a 2＋c 2－ac ＋ab ＋ac ＋bc＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数． 求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B.又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件．答案：充要2．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1(判断大小)．解析：要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.答案：<3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b4．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ， ∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心． 答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C 二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数， 所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ， 即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4， 从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数， 所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2， 即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)． 故f (a )＋f (c )＞2f (b )． 7．已知a >0，用分析法证明：a 2＋1a 2－2>a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(某某高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .。
高二数学 人教A版理科学案选修2-2.2.2.1-2直接证明--分析法
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学习目标结合已学过的实例，了解直接证明的方法——分析法，了解分析法的思考过程与特点。
重点难点理解分析法的思维过程和特点；
运用分析法证（解）题时，规范书写证明过程.
学习过程与方法自主学习
1．分析法的定义
从出发，一步一步地探索保证前一个结论成立
的，直到归结为这个命题的，或者归结
为、、等，把这样的思维方法称为分析法．
2．分析法的框图表示
3．分析法有何特点
(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，
执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找它
的充分条件．
(2)若命题表示为“若A则D”则用分析法的思考顺序可
表示为：要证D成立，只需证明C成立；要证C成立，只需证
明B成立；……，最后得到一个明显成立的条件A或定理、公
理等.
4.综合法与分析法有什么区别？
综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是
必要条件，是由因索果；而分析法是从待求证的结论出发，逐
步靠拢已知．每步寻找的是充分条件，是执果索因．
复备、笔记、
纠错。
学案1：2.2.1综合法和分析法
(2)分析法
①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．
②框图表示： .
自我检测
1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的()
(2)证明 由题意知即证 ＞ 成立．[6分]
∵a≠b，且a、b都为正数，
∴ ＝ ＝ ＝(a －b )2，
＝ ＝ab( － )2＝(a －b )2，[8分]
即证(a －b )2－(a －b )2＞0，
即证(a －b －a ＋b )(a －b ＋a －bБайду номын сангаас)＞0，
需证 ＞0，[10分]
即证(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立．故原命题成立．[12分]
探究点一
例1【解析】综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．
【答案】∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)
《综合法和分析法》导学案
导学目标：
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．
自主梳理
1．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．
【高中教育】人教版高中数学2.2.1直接证明学案.doc
2.2.1《直接证明》导学案学习目标1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点。
2、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
[来源:数理化网]学习重点、难点（1）综合法的证明过程和应用。
（2）分析法的证明过程和应用．学习过程一、自学导航[来源:&%@*中国教育出版网#]1、问题：如图，四边形ABCD是平行四边形求证：AB=CD，BC=DA证明:连结AC, ∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,BC∥CD故∠1=∠2, ∠3=∠4又∵AC=CA ∴⊿ABC≌⊿CDA∴AB=CD,BC=DA思考：以上证明方法有什么特点？2、观察下面问题的证法：[来源:中%@#国教育出~版&网]设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。
(∵a+b＞0)[中国教育&出^*@版网#]只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
思考：以上证明方法有什么特点？__________________________。
二、探究新知[来源^:*&@中~教网]1．直接证明直接从逐步推得成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法与分析法．（1）综合法与分析法要点解析表[来源:*%中国教育出#版网~@][来源:数理化网]（2）对分析法证题的说明“若Ａ成立，则Ｂ成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：注：[zz&^st#ep.co*m~]①[来源:#zzst*ep.@^%]②③（3）综合法和分析法的优缺点三、例题精讲：例1、 课本例1（分别用综合法和分析法证明）[来源@#:^%中*教网]例2、已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc[来^&*源:中教%网~][来源:z&zste*p~#.^]例3、已知a b c >>，求证：1140a b b c c a++---≥． ．[来源:中国%教育出版@#~*网][w~ww.z%&zs#tep.c^om]例4、若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++． [来源^:z&z~step.c*#om]四、课堂精练课本P81练习1、2、3、4 [中~^#国教育出版网&%]练习：3.△ABC 三边长a,b,c 的倒数成等差数列，求证：∠B<900五、回顾小结分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法 条理清晰，易于表述通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程[w w~@w.zz&ste^p.#]六、拓展延伸[z#zste&*p~.co@m]设a >0，x x e a a e x f +=)(在R 上是偶函数，（1)求a 的值；(2)证明)(x f 在（0， +∞）上是增函数。
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2.2.1直接证明学案（含答案）
2.2直接证明与间接证明
2.2.1直接证明学习目标
1.了解直接证明的特点.
2.掌握综合法.分析法的思维特点.
3.会用综合法.分析法解决问题知识点一直接证明思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点已知a，b0，求证
ab2c2bc2a24abc.证明因为b2c22bc，a0，所以ab2c22abc.又因为c2a22ac，b0，所以bc2a22abc.因此ab2c2bc2a24abc.答案利用已知条件a0，b0和基本不等式，最后推导出所要证明的结论梳理1直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明2直接证明的一般形式本题结论知识点二分析法和综合法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点已知a，b0，求证.证明方法一a，b0，20，2220，ab2，.方法二要证，只需证ab2，只需证ab20，又a，b0，只需证20，20显然成立，原不等式成立答案方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件梳理综合法和分析法定义比较直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义.公理.定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法称为综合法分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法称为分析法1综合法是执果索
因的逆推证法2综合法证明的依据是三段论3综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件4分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆类型一综合法的应用例1在ABC 中，三边a，b，c成等比数列求证acos2ccos2b.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.因为左边acacosCccosAacacbbb右边，所以
acos2ccos2b.反思与感悟综合法证明问题的步骤
第一步分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件包括隐含条件，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理.定理.公式.结论，确定恰当的解题思路
第二步转化条件.组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字.符号.图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路
第三步适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取跟踪训练1已知a，b，c为不全相等的正实数求证
3.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明因为3，又a，b，c为不全相等的正实数，而2，2，2，且上述三式等号不能同时成立，所以3633，即
3.类型二分析法的应用例2已知a，b，c都为正实数，求证.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证，只需证2，只需证3a2b2c2a2b2c22ab2bc2ca，只需证
2a2b2c22ab2bc2ca，只需证ab2bc2ca20，而这是显然成立的，所以成立反思与感悟分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知已知条件.已经学过的定义.定理.公理.公式.法则等这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的它的常见书写表达式是“要证只需”或“”跟踪训练2已知非零向量a，b，且ab，求证.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明abab0，要证，只需证|a||b||ab|，只需证
|a|22|a||b||b|22a22abb2，只需证|a|22|a||b||b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a||b|0，即证|a||b|20，上式显然成立，故原不等式得证类型三分析法与综合法的综合应用例3已知ABC中，ABC1
26.求证.证明要证，只需证a2abacabb2，即证aacb
2.由正弦定理，只需证sinAsinAsinCsin2
B.ABC126，A，B，C，即sinsin2，即sinsin2，即
sin2sincossin2，即2sincossin，显然成立成立反思与感悟综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练3已知a，b，c是不全相等的正数，且0x
1.求证logxlogxlogxlogxalogxblogxc.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明要证
logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需证logxlogxabc，由已知
0x1，只需证abc，由公式0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，abc.即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立.1设alg2lg5，bexx0，则a与b的大小关系为________答案ab解析alg2lg5lg101，bexe01，ab.2设0x1，则a，bx1，c中最大的是________答案c解析0x1，bx12a，x10，cba.3已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，且a2b2c2ab，则角C的值为
________考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案解析cosC，0C，
C.4欲证成立，只需证下列各式中的________填序号22；22；22；
22.答案解析根据不等式性质，当ab0时，才有a2b2，只需证，即证
22.5设x，y是正实数，且xy1，求证
9.证明方法一综合法左边421549，当且仅当，即xy时等号成立原不等式得证方法二分析法要证9成立，x，y是正实数，且
xy1，y1x，只需证明9，即证1x1x19x1x，即证2xx29x9x2，即证4x24x10，即证2x120，此式显然成立原不等式成立1综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”.“只需证”.“即证”等词语3在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用。