复数的几何表示

o
xx
此时， tan(Argz) y x
幅角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为幅角Argz的主值，
记作θ0=argz .
y
z=0时，幅角无意义。
o
x
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
arctan y x
2
arctan
y x
x 0, y R
故 z = z1 + t (z2 - z1 ) （-∞ < t < + ∞）
(2) z (i) 2 x i( y 1) 2 x 2 ( y 1)2 4
y (z)
O
x
2
(0, -1)
例3 方程 Re( iz ) 3 表示什么图形？
解 设 z x iy i z i(x iy) y ix Re(i z) y y 3
1. 点的表示
易见，z x iy 一对实数( x, y), 在平面上取定直角坐标系，点P 一对实数(x, y) z x iy 平面上的点P(x, y)
复数 z x iy 可用平面上坐标为(x，y) 的点P表示.
此时，
y
y
x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
平面 — 复平面或z平面
o
点的表示：
x 0, y 0 x 0, y 0 x 0, y 0
由向量表示法知
z z — 点z 与z 之间的距离
21
12
三角不等式
由 此 得:
y
(z)
z z z z
21
2
1
z1
z z z z
21
2
1
o
z2
x
3. 三角表示法
由
x y
r r
cos sin
得
4. 指数表示法
再由Euler公式 :
ei cos i sin得
y
(z)
y
P
z r
o
xx
引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；
反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确 定它所表示的平面图形。
例1 设 z 3 2i, 求 （1）求 arg z 及 Argz； （2）将其化成三角表示式和指数表示式.
解：（1） Argz arg z 2k (k 0,1,2, )
数z与点z具有相同意思
(z) P
xx
2. 向量表示法
称向量的长度为复数 z= x+ iy 的模或绝对值；
非零向量与 x 轴正向的
夹角θ，称为复数
z=x+iy 的幅角.
y
(z)
y
P
z r
o
xx
模：| z || op | r
2
2
x y ,
记作
幅角 : Argz (op, x)
y
(z)
P y
z r
y (z) Re(iz) 3
O
x
故 图形为// 实轴的直线
且 z 在第三象限，故
arg z arctan 2 arctan 2
3
3
Argz arctan 2 2k (k 0,1,2, ).
3
2
2
(2) r z (3) (2) 13
三角式为
z
13
cos(arctan32
)
i
2 sin(arctan
3
)
或z
Fra Baidu bibliotek
13
cos(arctan32
2k
)
i
sin(arctan2 3
2k
)
(k 0,1,2, ).
指数式为
i(arctan2 )
3
z 13 e
.
例2 用复数方程表示:
y
(z)
（1）过两点 zj=xj+iyj
(j=1,2)的直线；
L
z1
z
z2
（2）中心在点(0, -1),
半径为2的圆。
o
x
解 （1） 由 z - z1 = t (z2 - z1 )