Gauss型积分公式

Gauss型积分公式
摘要
求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。

这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。

已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。

若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。

因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度
1、实验目的
1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提
高代数精度这一问题中的思想方法。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的
编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程
下面介绍三种常见的Gauss型积分公式
1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式
勒让德（Legendre）多项式
如下定义的多项式
称作勒让德多项式。

由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式
的系数相同。

也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且
这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为
此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。

其中Gauss-Legendre求积公式的系数
1
其中k的取值范围为
Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表
即可。

n x A n x A
1 0
2 6
1.2386191816 0.17132449
2
0.36076157
3
0.46791393
4
2 1
7
0 0.12948496
6
0.27970539
1
0.38183005
0.41795918
3
3
0 0.555555555
6
0.888888888
9
4 0.347854845
1
0.652145154
9
8
0.7966664774
0.5255324099
0.1834346425
0.10122853
6
0.22238103
4
0.31370664
5
0.36268378
3
5
0 0.236926885
1
0.478628670
5
0.568888888
9
2)高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）积分公式
拉盖尔（Laguere）多项式
2
称为拉盖尔多项式。

其首项系数为,且具有性质：
正交性，在区间上关于权函数正交，而且
积分区间为，权函数为的Gauss型积分公式称为高斯-拉盖尔积分公式，其中Gauss点为拉盖尔多项式的零点，高斯-拉盖尔积分公式为
同样高斯-拉盖尔积分公式的Gauss点和求积系数如下表所示：
n x A n x A
2 0.5857864376
3.4142135624
0.853*******
0.1464466094
5
0.2635603197
1.4134030591
3.5964257710
7.0858100058
12.6408008442
0.5217556105
0.3986668110
0.0759424497
0.0036117587
0.0000233700
3 0.4157745567
2.2942803602
6.2899450829
0.7110930099
0.2785177335
4 0.3225476896
1.7457611011
4.5366202969
9.3950709123
0.6031541043
0.3574186924
0.0388879085
0.0005392947
6
0.2228466041
1.1889321016
2.9927363260
5.7751435691
9.8374674183
15.9828739806
0.4589646793
0.4170008307
0.1133733820
0.010*******
0.0002610172
0.0000008985
3)高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite）积分公式
埃尔米特（Hermite）多项式
被称作埃尔米特多项式，其首项系数为，具有性质如下
正交性，在区间上关于权函数正交，而且
积分区间为，权函数为的Gauss型积分公式称为
3
Gauss-Hermite积分公式，其Gauss点就是Hermite正交多项式的零点。

Gauss-Hermite求积公式为
同样高斯-埃尔米特积分公式的Gauss点和求积系数如下表所示：
n x A n x A
2 0.886226925
5
7
0.724629595
2
0.157067320
3
0.004530009
9
3
0 0.295408975
1
1.816359000
6
4 0.804914090
0.081312835
4
8
1.6735516287
2.6519613563
0.425607252
6
0.054515582
8
0.000971781
2
0.810264617
5
5 0.393619323
1
0.019953242
1
0.945308720
4
0.568888888
9
3、算法实例
1)用3点Gauss型求积公式计算
4
解：根据积分限可以知道应该用Gauss-Legendre积分公式，具体程序如下所示
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
const int M(10);
void main()
{
int i=0;
int n=0;
int m=0;
int sign=0;
double sum=0;
double x[M]={0};
double A[M]={0};
double x1[]={0};
double x2[]={-0.57735502692,0.57735502692};
double x3[]={-0.77459666920,0.77459666920,0};
double
x4[]={-0.8611363116,0.8611363116,-0.3399810436,0.3399810436 };
double
x5[]={-0.9061798459,0.9061798459,-0.53846931010,0.538469310 10,0};
double
x6[]={-0.9324695142,0.9324695142,-0.6612093865,0.6612093865 ,-1.2386191816,1.2386191816};
double
x7[]={-0.9491079123,0.9491079123,-0.7415311856,0.7415311856 ,-0.40584515140,0.40584515140,0};
double
x8[]={-0.9602898565,0.9602898565,-0.7966664774,0.7966664774 ,-0.5255324099,0.5255324099,-0.1834346425,0.1834346425};
double A1[]={2};
double A2[]={1};
double A3[]={0.5555555556,0.8888888889};
double A4[]={0.3478548451,0.6521451549};
5。