Gauss型积分公式

Gauss型积分公式

摘要

求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度

1、实验目的

1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提

高代数精度这一问题中的思想方法。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的

编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程

下面介绍三种常见的Gauss型积分公式

1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式

勒让德（Legendre）多项式

如下定义的多项式

称作勒让德多项式。由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式

的系数相同。也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且

这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为

此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。

其中Gauss-Legendre求积公式的系数

1

其中k的取值范围为

Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表

即可。

n x A n x A

1 0

2 6

1.2386191816 0.17132449

2

0.36076157

3

0.46791393

4

2 1

7

0 0.12948496

6

0.27970539

1

0.38183005

0.41795918

3

3

0 0.555555555

6

0.888888888

9

4 0.347854845

1

0.652145154

9

8

0.7966664774

0.5255324099

0.1834346425

0.10122853

6

0.22238103

4

0.31370664

5

0.36268378

3

5

0 0.236926885

1

0.478628670

5

0.568888888

9

2)高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）积分公式

拉盖尔（Laguere）多项式

2

称为拉盖尔多项式。其首项系数为,且具有性质：

正交性，在区间上关于权函数正交，而且

积分区间为，权函数为的Gauss型积分公式称为高斯-拉盖尔积分公式，其中Gauss点为拉盖尔多项式的零点，高斯-拉盖尔积分公式为

同样高斯-拉盖尔积分公式的Gauss点和求积系数如下表所示：

n x A n x A

2 0.5857864376

3.4142135624

0.853*******

0.1464466094

5

0.2635603197

1.4134030591

3.5964257710

7.0858100058

12.6408008442

0.5217556105

0.3986668110

0.0759424497

0.0036117587

0.0000233700

3 0.4157745567

2.2942803602

6.2899450829

0.7110930099

0.2785177335

4 0.3225476896

1.7457611011

4.5366202969

9.3950709123

0.6031541043

0.3574186924

0.0388879085

0.0005392947

6

0.2228466041

1.1889321016

2.9927363260

5.7751435691

9.8374674183

15.9828739806

0.4589646793

0.4170008307

0.1133733820

0.010*******

0.0002610172

0.0000008985

3)高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite）积分公式

埃尔米特（Hermite）多项式

被称作埃尔米特多项式，其首项系数为，具有性质如下

正交性，在区间上关于权函数正交，而且

积分区间为，权函数为的Gauss型积分公式称为

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