微积分下册期末试卷及答案

中南民族大学06、07微积分（下）试卷
及参考答案
06年A 卷
1、已知22
(,)y
f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.
2、已知,则=
⎰
∞+--dx e x x
0 21
___________.
π
=⎰
∞
+∞
--dx e
x 2
3、函数
22
(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.
4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.
5、以x
e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是
____________________.
二、选择题(每小题3分,共15分)
6 知dx e x p ⎰∞
+- 0 )1(与⎰-e p x
x dx 1 1ln 均收敛,
则常数p 的取值范围是( ).
(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >
7 数⎪⎩
⎪⎨
⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222
22
2y x y x y x x y x f 在原点间断,
是因为该函数( ).
(A) 在原点无定义
(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义
(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值
8
、若
2
211
x y I +≤=
⎰⎰
,22212
x y I ≤+≤=⎰⎰
,
22324
x y I ≤+≤=
⎰⎰
,则下列关系式成立的是( ).
(A) 123I I I >> (B) 213I I I
>>
(C) 123I I I << (D) 213I I I
<<
9、方程x
e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).
(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=
(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x
e bx ax y 323)(+=
10、设∑∞
=12n n
a
收敛，则∑∞
=-1)
1(n n
n
a ( ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定
三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求由2
3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.
12、求二重极限 1
1lim
22220
0-+++→→y x y x y x .
13、),(y x z z =由xy e z z
=+确定，求y x z
∂∂∂2.
14、用拉格朗日乘数法求22
1z x y =++在条件1=+y x 下的极值.
15、计算⎰
⎰1 2
1
2dx
e dy y
y
y
x .
16、计算二重积分
22()D
x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周
22
1x y +=所围成的在第一象限内的区域.
17、解微分方程x y y +'
=''.
18、判别级数)
11(
133∑∞
=--+n n n 的敛散性.
19、将函数x -31
展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.
.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
2
2
2121211028321415x x x x x x R ---++=， 求最优广告策略.
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设113
3
ln()z x y =+，证明：
13z z x
y x y ∂∂+=
∂∂.
22、若∑=12n n
u
与∑∞
=1
2n n
v
都收敛,则∑∞
=+1
2
)(n n n
v u
收敛.
答案
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、2(1)1x y y -+. 23、)
32
,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)
6、(C ).
7、 (B).
8、(A ) .
9、(D). 10、(D).
三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求由2
3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：
32
y x =的反函数为23
,0x y y =>。

且4=x 时，8=y 。

于是
)6()
3(分分
248
8
2
2
33
8
3
7
7
30
(4)16(80)33
128128(80)
775127V y dy y dy
y ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰
12、求二重极限
1
1lim
22220
0-+++→→y x y x y x .
解：原式
11)11)((lim 2222220
0-++++++=→→y x y x y x y x (3分)
2
)11(lim 220
=+++=→→y x y x (6分)
13、),(y x z z =由
xy e z z
=+确定，求y x z
∂∂∂2. 解：设
(,,)z
F x y z z e xy =+-，则 x F y
=-， y F x =- ，1z
z F e =+
11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++， 11y z z z F z x x
y F e e ∂-=-=-=∂++ (3分)
2
22
111(1)1(1)z z z z z z z z e y e z y e xy y
x y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭ (6分)
14、用拉格朗日乘数法求
22
1z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：
222
(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得
12x =
,"40z =>,1
2x =
为极小值点. (3分) 故22
1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32 (6分)
15、计算
⎰
⎰1 2
1
2dx
e dy y
y
y
x .
解：
21
1
2
123182x y
y
y I dy e dx e e ==-⎰⎰ (6分)
16、计算二重积分22()D x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周
22
1x y +=所围成的在第一象限内的区域.
解：22()D x y dxdy +⎰⎰＝13200d r dr πθ⎰⎰＝8π (6分)
17、解微分方程x y y +'=''.
解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是
)(1
)1()1(C dx e x e p dx
dx +⎰⎰=---⎰
)
(1
C dx e x e x x +=-⎰
])1([1C e x e x
x
++-=-x
e C x 1)1(++-= (3分)
⇒2121)1(21
])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ (6分)
18、判别级数)
11(
133∑∞
=--+n n n 的敛散性.
解：
-=
(3分)
因为lim 1
1n n →∞== (6分)
19、将函数x -31
展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.
解：由于
311
3131x x -⋅=-,已知 ∑∞
==-011n n
x x ,11<<-x , (3分) 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n n
n n n x
x x ,33<<-x . (6分)
20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
2
2
2121211028321415x x x x x x R ---++=， 求最优广告策略.
解：公司利润为
2
2212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--= 令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,
13842121x x x x
得驻点)
25.1,75.0()45
,43(),(21==x x ,而 (3分)
0411<-=''=x x
L A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C ,
064802>-=-=B AC D , 所以最优广告策略为：
电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元). (6分)
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设11
33
ln()z x y =+，证明：13z z x y x
y ∂∂+=∂∂. 证：22331133
11113333
,x y z z x y x y x y --∂∂==∂∂++ (3分)
2
23311
331133
1111333
3
11331133x y z z x y x y x y x y x y x x x y --∂∂+=⋅+⋅∂∂++⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝
⎭
(6分)
22、若∑∞
=12n n
u
与∑∞
=12n n
v
都收敛,则∑∞
=+12
)(n n n
v u
收敛.
证：由于
)(22)(02
2222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, (3分) 并由题设知∑∞
=12n n
u
与∑∞
=1
2n n
v
都收敛,则)
(221
2n n n v u
∑∞
=+收敛,
从而∑∞
=+1
2
)(n n n
v u
收敛。

(6分)
06年B 卷
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设22
(,)y
f x y x y x -=-，则
=),(y x f _____________.
2、已1()2Γ=知，则5()2Γ＝___________.
3、设函数
22
(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数 ________a = .
4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则='
)0,1(x f ________.
5、以x
x e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是
__________________.
二、选择题(每小题3分,共15分)
6、已知dx e p x
⎰∞
+- 0 与
⎰e
p x x dx
1
ln 均收敛,
则常数p 的取值范围是( ).
(A) 0>p (B) 0<p (C) 1<p (D) 10<<p
7、对于函数22
(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).
(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点 (C) 是极大值点 (D) 是极小值点
8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为
22
(2)(1)1x y -+-≤,则( ).
(A) 12I I = (B) 12I I > (C) 12
I I < (D) 2212I I =
9、方程x
xe y y y 265=+'-''具有特解( ).
(A) b ax y += (B) x e b ax y 2)(+=
(C) x e bx ax y 22)(+= (D)
x
e bx ax y 223)(+=
10、级数∑∞
=-12)1(n n
n
n
a
收敛，则级数∑∞
=1n n
a
( ). (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定
三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求3
x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.
12、求二重极限)1sin 1sin
(lim 0
0x
y y x y x +→→.
13、设
xy y x z -+=1arctan
,求22x z ∂∂.
14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.
15、计算⎰
⎰0
1
d e d y
x x xy .
16、计算二重积分D
,其中D 是由y 轴及圆周
22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.
17、解微分方程0='
+''y y x .
18、判别级数∑
∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛12!n n
n n 的敛散性.
19、将函数x x f 1
)(=
展开成)3(-x 的幂级数.
20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x单位甲产品,生产y单
位乙产品的总费用为
22
20300.1(223)100
x y x xy y
++-++,试求出甲、乙两种产品各生
产多少时该工厂取得最大利润.
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设
2
22ln z y x u ++=,证明
222222z u
y u x u ∂∂+
∂∂+∂∂=2221x y z ++.
22、若
∑=1
2n n
a
与
∑∞
=1
2n n
b
都收敛,则
∑∞
=1
n n
n b
a 收敛.
07年A 卷
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z
=，则=z .
2、计算广义积分⎰
∞
+ 1
3x dx
= .
3、设xy
e z =，则
=
)1,1(dz .
4、微分方程x
xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.
5、设14n n u ∞==∑，则11
12
2n n n u ∞
=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑_________
二、选择题(每小题3分,共15分)
6、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为( ).
(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D)不存在
7、),(00y x f x 和)
,(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的( ).
(A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件
8、由曲面z x y =--422
和z =0及柱面x y 22
1+=所围的体积是( ).
(A)
d d θπr r r
42
2
02-⎰⎰
(B)
2
4d r
π
θ⎰⎰
(C) 20
d r
π
θ⎰
⎰
(D)
4420
1
2d d θπ
r r r
-⎰⎰
9、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1，x
e y =2，
x
e y 23=，则其通解为( ).
(A) x
x e C e C x 221++ (B) x x e C e C x C 2321++
(C) )()(221x x x e x C e e C x -+-+ (D)
)()(2221x e C e e C x
x x -+-
10、无穷级数∑∞
=--11)1(n p
n n (p 为任意实数) ( ).
(A) 收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 无法判断
三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求极限0x y →→.
12、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.
13、求由xyz e z
=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数
,z z x y ∂∂∂∂.
14、求函数322
(,)42f x y x x xy y =-+-的极值.
.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
2
2
2121211028321415x x x x x x R ---++=.
若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.
16、计算积分⎰⎰D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域.
17、已知连续函数)(x f 满足⎰+=x
x x xf dt t f 0
)(2)(，且0)1(=f ，求)(x f .
18、求解微分方程
2
12
y y y '-+
''=0.
19、求级数1
n n ∞
=的收敛区间.
20、判定级数∑∞
=⋅1!)2sin(n n n x 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是
条件收敛.
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设正项级数1n
n u
∞
=∑收敛,证明级数1
n ∞
=也收敛.
22、设
)(22y x f y
z -=
,其中)(u f 为可导函数, 证明
2
11y z
y z y x z x =∂∂+∂∂.
07（A ）卷参考答案
（可能会有错误大家一定要自己核对）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设)(y x f y x z -++=，且当
0=y 时，2x z =，则=z 。

（2222x xy y y -++）
2、计算广义积分
⎰
+∞
1
3x dx = 。

（1
2）
3、设xy
e z =，则
=
)1,1(dz 。

（)(dy dx e +）
4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.（x
e bx ax 22)(+）
5、设1
4
n n u ∞
==∑，则
11122n n n u ∞
=⎛⎫
-=
⎪⎝⎭∑_________。

（1）
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、222200
3sin()lim x y x y x y →→++的值为 （ A ）
A.3
B.0
C.2
D.不存在
2、)
,(00y x f x 和)
,(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点)
,(00y x 可微的 （ A ）。

A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件；
D.即非充分又非必要的条件。

3、由曲面z x y =--422
和z =0及柱面x y 22
1+=所围的体积是 （D ）。

A.
d d θπr r r
42
2
02-⎰⎰
；
B.
20
4d r
π
θ⎰⎰
；
C
、
20
d r
πθ⎰⎰
； D.
4420
1
2d d θπ
r r r
-⎰⎰
4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1，x
e y =2，
x
e y 23=，则其通解为 （C ）。

A.x
x e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；
C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；
D.
)()(2221x e C e e C x
x x -+- 5、无穷级数∑∞
=--11
)1(n p
n n (p 为任意实数) （D ）
A 、收敛
B 、绝对收敛
C 、发散
D 、无法判断
三、计算题(每小题6分,共60分)
1
、求下列极限：
00
x y →→。

解：
0x y →→
00
x y →→= …（3分）
00
1)112
x y →→==+= …（6分）
2、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。

解：
4
21
d x V x
π=⎰ …（4分）
7.5π= …（6分）
3、求由xyz e z
=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂。

解：方程两边对x 求导得:
x z xy
yz x z e z
∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z x z xy e yz x z z …（3分）
方程两边对y 求导得:
y z xy xz y z e z
∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z y z xy e xz y z z …（6分）
4、求函数322
(,)42f x y x x xy y =-+-的极值。

解：322
(,)42f x y x x xy y =-+-，则
2(,)382x f x y x x y
=-+，
(,)22y f x y x y
=-，
(,)68
xx f x y x =-，
(,)2xy f x y =，
(,)2yy f x y =-，
求驻点，解方程组2
3820220x x y x y ⎧-+=⎨
-=⎩，
，得
)0,0(和(2,2). …（2分）
对
)0,0(有
(0,0)80xx f =-<，
(0,0)2xy f =，
(0,0)2
yy f =-，
于是2120B AC -=-<，所以
)0,0(是函数的极大值点，且(0,0)0f = …（4分） 对(2,2)有
(2,2)4
xx f =，
(2,2)2
xy f =，
(2,2)2
yy f =-， 于是2120B AC -=>， (2,2)不是函数的极值点。

…（6分） 5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
2
2
2121211028321415x x x x x x R ---++=.若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策
略.
解：显然本题要求:在条件05.1),(2121=-+=x x x x ϕ下,求R 的最大值.
令
)5.1(1028311315212
2212121-++---++=x x x x x x x x F λ, …（3分） 解方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+='
=+--='=+--='0,
5.1,020831,0481321211221x x F x x F x x F x x λλλ …（5分）
得:01=x ,5.12=x
所以,若提供的广告费用为5.1万元,应将
5.1万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略. …（6分）
6、计算积分⎰⎰D d x y
σ,其中D 是由直线
x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；
解：221x x D
y y d dx dy x x σ=⎰⎰⎰⎰. …（4分）
2139
24xdx =
=⎰ …（6分）
7、已知连续函数)(x f 满足⎰+=x
x x xf dt t f 0
)(2)(，且0)1(=f ，求)(x f 。

解：关系式两端关于x 求导得：
1)(2)(2)(+'+=x f x x f x f 即
x x f x x f 21)(21)(-=+
' …（2分）
这是关于f )(x 的一阶线性微分方程，其通解为：
)
)21(()(22⎰+⎰
-⎰=-
c e x e x f x
d x
x
d x
=1
)(1-=+-x c c x x …（5分）
又0)1(=f ，即01=-c ，故1=c ，所以1
1
)(-=x x f …（6分）
8、求解微分方程2
12y y y '-+''=0 。

解：令y p '=，则
dp y p
dy ''=，于是原方程可化为：22
1dp p p dy y +=- …（3分）
即201dp p dy y +=-，其通解为2
2111(1)dy y
p c e c y --⎰==- …（5分）
21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12
)1(=-
故原方程通解为：
211
1c x c y +-
= …（6分）
9
、求级数
1n n ∞
=的收敛区间。

解：令2t x =-,
幂级数变形为1
n n ∞
=
1lim 1
n t n n n a R a →∞+===. …（3分）
当1-=t 时,
级数为0(1)
n
n ∞
=-∑收敛；
当1=t 时,
级数为1
n ∞
=∑
.
故1
n n ∞
=)1,1[-=t I , …（5分）
那么n n ∞
=的收敛区间为[1,3)x I =. …（6分）
10、 判定级数∑∞
=⋅1!)2sin(n n n x 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。

解：因为
sin(2)1
!!
n x n n ⋅≤ …（2分）
由比值判别法知11!n n ∞
=∑收敛(Q 1(1)!lim 01!n n n →∞+=)， …（4分）
从而由比较判别法知
1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数
1
sin(2)!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …（6分）
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、设正项级数1n
n u
∞
=∑收敛,
证明级数n ∞
=
证：
)(21
11+++≤
n n n n u u u u ， …（3分）
而由已知∑++)(21
1n n u u 收敛，故由比较原则，∑+1n n u u 也收敛。

…（5分） 2、设
)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y z
y z y x z x =
∂∂+∂∂. 证明：因为22f f xy x z '
-=∂∂, …（2分）
2
22f f y f y z '+=∂∂ …（4分）
所以2
22212211y z
yf yf f y f f f y y z y x z x =='++'-=∂∂+∂∂. …（5分）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设()z x y f y x =++-，且当0x =时，2
z y =，则=z .
2、计算广义积分=⎰∞+ 1 2x dx
.
3、设)1ln(22y x z ++=，则(1,2)dz = .
4、微分方程x
e x y y y 3)1(596+=+'-''具有 形式的特解.
5、级数∑∞
=+1913n n
n 的和为 .
二、选择题(每小题3分,共15分)
6、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为( ).
(A) 0 (B) 3 (C) 2 (D)不存在
7、),(y x f x 和)
,(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的( ).
(A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件
8、由曲面z x y =--
422
和z =0及柱面
224x y +=所围的体积是( ).
(A) 24
0d r
πθ⎰⎰
(B)
2
20
04d r
π
θ⎰⎰
(C)
20
d r
πθ⎰
⎰
(D)
2
4d r
πθ⎰⎰
9、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =，x e y =2，
x
e y 23=，则其通解为( ).
(A) 22212()()x x x C e e C e x -+- (B) 22123x x
C x C e C e ++
(C) 2212x x x C e C e ++ (D)
)()(22212x
x x e x C e e C x -+-+
10、无穷级数121(1)n p
n n -∞
=-∑(p 为任意实数) ( ).
(A) 无法判断 (B) 绝对收敛 (C) 收敛 (D) 发散
三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求极限
x
y
→
→.
12、求由在区间
]
2
,0[
π
上,曲线x
y sin
=与直线2
π
=
x
、0
=
y所围图形绕x轴旋转的旋
转体的体积.
13、求由xy xyz z
=-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数
,z z x y ∂∂∂∂.
14、求函数3
3812),(y xy x y x f +-=的极值.
.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
2
2
2121211028321415x x x x x x R ---++=. 若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.
16、计算二重积分⎰⎰+D d y x σ
)2(,其中D 是由x y =,
x y 1=
及2=y 所围成的闭区域.
17、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0
=++⎰x
x x f dt t f ，求)(x f .
18、求微分方程02)1(2
='-''+y x y x 的通解.
19、求级数∑∞
=
-
1
)3
(
n
n
n
x
的收敛区间.
20、判定级数1cos()
!
n
n x n
∞=⋅
∑
是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设级数21n
n a
∞
=∑收敛，证明1(0)n
n n a a n ∞
=>∑
也收敛.
22、设)
2(cos 22
t
x z -=,证明:02222=∂∂∂+∂∂t x z t z .
07年（B ）卷参考答案
（可能会有错误大家一定要自己核对）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设()z x y f y x =++-，且当0x =时，2
z y =，则=z 。

（22
22x xy x y -++）
2、计算广义积分
21
dx
x +∞
⎰
= 。

（1）
3、设)1ln(2
2
y x z ++=，则(1,2)dz = 。

（1233dx dy +）
4、微分方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有 形式的特解.（x
e bx ax 323)(+）
5、级数∑∞
=+1913n n
n 的和为 。

（58）
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、222200
3sin()lim x y x y x y →→++的值为 （ B ）
A 、0
B 、3
C 、2
D 、不存在 2、)
,(y x f x 和)
,(y x f y 在)
,(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 （ B ）
A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件；
D.即非充分又非必要的条件。

3、由曲面
z x y =--422
和z =0及柱面
22
4x y +=所围的体积是 （ B ）
A.
24
00
d r πθ⎰⎰；
B.
2
20
4d r
π
θ⎰⎰；
C
、
20
d r
πθ⎰⎰
；
D.
20
4d r
π
θ⎰⎰
4、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =，x e y =2，
x
e y 23=，则其通解为 （D ） A 、22212()()x x x C e e C e x -+-； B 、22123x x
C x C e C e ++；
C 、 2212x x x C e C e ++；
D 、
)()(22212x
x x e x C e e C x -+-+ 5、无穷级数121(1)n p
n n -∞
=-∑(p 为任意实数) （A ）
A 、无法判断
B 、绝对收敛
C 、收敛
D 、发散
三、计算题(每小题6分,共60分)
1
、求下列极限：
00
x y →→。

解：
000x x y y →→→→= …（3分）
011
224x y →→-===-
+ …（6分）
2、求由在区间]2,0[π上,曲线x y sin =与直线
2π
=
x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。

解：
220
sin d x V x x
π
π=⎰ …（4分）
2
14π= …（6分）
3、求由xy xyz z
=-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数
,z z x y ∂∂∂∂。

解：（一）令
=),,(z y x F xy xyz z
--e 则 y yz x F --=∂∂， x xz y F --=∂∂， xy
z F z -=∂∂e
利用公式，得
xy y
yz xy y yz z F x F
x
z
z
z -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …（3分） xy x xz xy x xz z F y
F
y
z z
z -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …（6分）
（二）在方程两边同时对x 求导，得
y x z xy yz x z z
=∂∂--∂∂e
解出
xy y yz x z z
-+=∂∂e ， …（3分） 同理解出
xy x xz y z z
-+=∂∂e …（6分）
4、求函数3
3812),(y xy x y x f +-=的极值。

解：3
3812),(y xy x y x f +-=，则
y
x y x f x 123),(2-=，
x
y y x f y 1224),(2-=，
x y x f xx 6),(=，12),(-=y x f xy ，，
y y x f yy 48),(=
求驻点，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-，，01224012322
x y y x 得
)0,0(和)1,2(. …（2分）
对
)0,0(有
0)0,0(=xx f ，
12)0,0(-=xy f ，
)0,0(=yy f ，
于是01442
>=-AC B ，所以
)0,0(点不是函数的极值点. …（4分）
对
)1,2(有12)1,2(=xx f ，12)1,2(-=xy f ，48)1,2(=yy f ，
于是
048121442<⨯-=-AC B ，且012>=A ，所以函数在)1,2(点取得极小值,
33
(2,1)21221818f =-⨯⨯+⨯=- …（6分） 5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
22
2121211028321415x x x x x x R ---++=.若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策
略.
解：显然本题要求:在条件05.1),(2121=-+=x x x x ϕ下,求R 的最大值.
令
)5.1(1028311315212
2212121-++---++=x x x x x x x x F λ, …（3分） 解方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+='
=+--='=+--='0,
5.1,020831,0481321211221x x F x x F x x F x x λλλ …（5分）
得:01=x ,5.12=x
所以,若提供的广告费用为5.1万元,应将
5.1万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略. …（6分）
6、计算二重积分
⎰⎰+D
d y x σ
)2(,其中D 是由
x y x y 1
,=
=及2=y 所围成的闭区域；
解：
2
11(2)(2)y
y
D
x y d dy x y dx
σ+=+⎰⎰⎰⎰ …（4分）
2
221
119(21)6y dy y =--
=⎰ …（6分）
7、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0
=++⎰x
x x f dt t f ，求)(x f 。

解：关系式两端关于x 求导得：
01)(2)(=+'+x f x f 即
21)(21)(-=+
'x f x f …（2分）
这是关于f )(x 的一阶线性微分方程，其通解为：
)
)21(()(22
⎰+⎰
-⎰=-
c e e
x f d x
d x
2
2
2
1)(x x x ce c e e -
-
+-=+-= …（5分）
又
0)0(=f ，即c +-=10，故1=c ，所以1)(2
-=-x
e
x f …（6分）
8、求微分方程02)1(2
='-''+y x y x 的通解。

解 这是一个不明显含有未知函数y 的方程
作变换 令 dy p dx =，则22d y dp dx
dx =，于是原方程降阶为2(1)20dp x px dx +-= …（3分） ， 分离变量221dp x dx p x
=+，积分得 21ln ln(1)ln p x C =++
即
21(1)p C x =+，从而 21(1)dy C x dx =+ …（5分）
再积分一次得原方程的通解 y ＝
312()3x C x C ++ …（6分）
9、求级数∑∞=-1)3(n n n x 的收敛区间。

解：令3-=x t ,幂级数变形为∑∞=1
n n n t ,11lim 1n t n n n a n R a n →∞++===. …（3分） 当1-=t 时,级数为∑∞=-0
1)1(n n n 收敛； 当1=t 时,级数为∑∞=1
1n n 发散. 故∑∞=1n n n t 的收敛区间是)1,1[-=t
I , …（5分） 那么∑∞=-1
)3(n n n x 的收敛区间为)4,2[=x I . …（6分） 10、 判定级数1cos()!n n x n ∞
=⋅∑是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：。

解：因为
cos()1!!n x n n ⋅≤ …（2分） 由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛(Q 1
(1)!lim 01!n n n →∞+=)， …（4分）
从而由比较判别法知1cos()!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …（6分）
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、设级数21n n a ∞=∑收敛，证明1(0)n n n a a n ∞
=>∑也收敛。

证：由于
)1(21||
22n a n a n n +≤， …（3分） 而∑2n a ,∑21n 都收敛，故∑+)1(2122n a n 收敛，由比较原则知 n a n ∑收敛.。

…（5分） 2、设)2(cos 22
t
x z -=,证明:0
2222=∂∂∂+∂∂t x z
t z 。

证明： 因为
)
2sin()21
()2sin()2cos(22t x t x t x t z
-=-⋅--⋅-=∂∂,
…（2分） )2cos(22t x t z --=∂∂, 22
222)2cos(2t z t x x t z t x z ∂∂-=-=∂∂∂=∂∂∂, …（4分） 所以0
22
22=∂∂∂+∂∂t x z
t z
…（5分）。