5.9无穷限反常积分

∫a
+∞
f (x) dx = F(x)
= F(+∞) − F(a) = F(b) − F(−∞) = F(+∞) − F(−∞)
∫−∞ f (x) dx = F(x) ∫−∞ f (x) dx = F(x)
+∞
b
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例1. 计算反常积分 解:
(P297 例3)
+∞
= [ arctan x] −∞
c b
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 第一类反常积分. 第一类反常积分 说明: 说明 上述定义中若出现 ∞ − ∞ , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散 .
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引入记号
F(+∞) = lim F(x) ; F(−∞) = lim F(x)
x→+∞
x→−∞
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
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1 = ∫ 2
1 +1 +∞ x2 0 1 + x2 x2
dx
1 +∞ 1 1 = ∫ d (x − ) 2 2 0 (x − 1) + 2 x
x
1 = arctan 2 2
x−1 x 2
+∞ 0+
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=
y
y=
π
− (− ) = π 2 2
π
1 1+x2
o
x
思考: 思考 分析: 分析 原积分发散 !
注意: 注意 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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例2. 证明第一类 p 积分 时发散 . (P296 例2) 证:当 p =1 时有
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f (x) ∈C(−∞, b], 则定义
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若 f (x) ∈C(−∞, + ∞), 则定义
lim ∫a f (x) dx + b→+∞ ∫c f (x) dx a→−∞ lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
0
分别讨论每一区间上的反常积分.
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(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为
v.p.∫
f (x) dx = lim −∞
b
+∞
∫−a f (x) dx a→+∞
a
v.p.∫ f (x) dx (c为 点, a < c < b) 瑕
a
c−ε f (x) dx + b f (x) dx = lim ∫ ∫c+ε + a ε →0
第五章 五
5.9无穷限反常积分
常义积分
推广
积分限有限 被积函数有界
反常积分 (广义积分)
无穷限的反常积分
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无穷限的反常积分
引例. 引例 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx −1 A = lim ∫ 2 = lim b→+∞ x 1 b→+∞ 1 x
1
A= ∫
+∞ dx
1 y= 2 x A
1
b
1− 1 = lim =1 b→+∞ b
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ห้องสมุดไป่ตู้
定义1. 定义 设 f (x) ∈C[a, + ∞), 取b > a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分 记作 反常积分, 反常积分
这时称反常积分 就称反常积分
p ≤1
p >1
+∞,
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q ≥1
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说明: 说明 (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 . 例如 ,
=∫
1 x2 0 x2 + 1 x2
1 1+
dt = ∫
1
d(x − 1) x +2
0 (x − 1)2 x
dt =∫ −∞ 2 + t 2 (2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
注意: 注意 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反 常积分收敛 .
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备用题 试证
解:
∫0
+∞
dx x d x , 并求其值 . =∫ 4 4 0 1+ x 1+ x
令 t =1 x
+∞
+∞
2
1 1 ∫+∞1+ 1 (−t 2 ) d t 4
0 t
t2 =∫ dt 4 0 1+ t +∞ d x +∞ x2 1 +∞ d x ∴ ∫ = ∫ + dx 4 4 4 ∫0 0 1+ x 2 0 1+ x 1+ x 1 +∞1+ x2 = ∫ dx 4 2 0 1+ x
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例3. 计算反常积分
t − pt 式 解: 原 = − e p
1 +∞ − pt + ∫ e dt p 0
1 − pt =− 2 e p 1 = 2 p
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内容小结
1. 反常积分 积分区间无限 常义积分的极限
2. 两个重要的反常积分
+∞, 1 , p−1 ( p −1) a
当 p >1 时收敛 ; p≤1
= [ ln x ]
当 p ≠ 1 时有
1− p
+∞ a
= +∞
+∞,
a1− p , p −1
x = 1− p a
+∞
p <1
p >1
a1− p ; 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 p −1 当 p≤1 时, 反常积分发散 .