八年级数学上册角度计算中的经典模型(举一反三)(含解析版)

角度计算中的经典模型【举一反三】

【模型1 双垂直模型】

【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.

【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.

【例1】（2019春•润州区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED＝55°．求∠A的度数．

【变式1-1】（2019秋•凉州区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，

求∠A的度数．

【变式1-2】（2019春•莲湖区期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．

（1）求证：∠ACD＝∠B；

（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．

【变式1-3】（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？

（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？

【模型2 A字模型】

【结论】∠BDE+∠CED=180°+∠A

【例2】（2019春•资中县月考）如图所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2等于多少度？

【变式2-1】（2019春•长沙县校级期中）如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．

【变式2-2】（2019春•盱眙县期中）我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

Ⅰ．尝试探究：

（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？

Ⅱ．初步应用：

（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．

【变式2-3】（2019春•盐都区期中）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于

A.90°

B.135°

C.270°

D.315°

（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝50°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝°．

（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．

（4）如图3，若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【模型3 双内角平分线模型】

【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.

1∠A.

【结论】∠P=90°+

2

【例3】（2018秋•开封期中）如图，△ABC中，

（1）若∠B＝70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．

（2）如果把（1）中∠B＝70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．

【变式3-1】（2018秋•徐闻县期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ． （1）如图1，已知∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数． （2）如图2，已知∠A ＝90°，求∠BOC 的度数． （3）如图1，设∠A ＝m °，求∠BOC 的度数．

【变式3-2】（2019春•南岗区期末）已知在△ABC 中，∠A ＝100°，点D 在△ABC 的内部连接BD ，CD ， 且∠ABD ＝∠CBD ，∠ACD ＝∠BCD ． （1）如图1，求∠BDC 的度数；

（2）如图2，延长BD 交AC 于点E ，延长CD 交AB 于点F ，若∠AED ﹣∠AFD ＝12°，求∠ACF 的度数．

【变式3-3】（2019春•东阿县期末）已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC 中， ∠ABC 的角平分线BO 与∠ACB 的角平分线CO 的交点为O （1）若∠A ＝70°，求∠BOC 的度数； （2）若∠A ＝a ，求∠BOC 的度数；

（3）如图2，若BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线，也就是∠OBC=3

1

∠ABC ，∠OCB=3

1∠ACB ，∠A ＝a ，求∠BOC 的度数．

【模型4 内外角平分线模型】

【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线.

1∠P.

【结论】∠A=

2

【例4】（2018秋•江岸区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E．

（1）已知∠A＝60°，求∠E的度数；

（2）直接写出∠A与∠E的数量关系：．

【变式4-1】（2019秋•卫滨区校级期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP 交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB的度数．

【变式4-2】（2019秋•莆田校级期中）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE 的平分线，且与BD交于点D；

（1）若∠ABC＝60°，∠DCE＝70°，则∠D＝°；

（2）若∠ABC＝70°，∠A＝80°，则∠D＝°；

（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）

【变式4-3】（2018秋•彭水县校级月考）如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE 的外角平分线，CD与BD交于点D．

（1）若∠A＝50°，则∠D＝；

（2）若∠A＝80°，则∠D＝；

（3）若∠A＝130°，则∠D＝；

（4）若∠D＝36°，则∠A＝；

（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．

【模型5 双外角平分线模型】