高中数学《一元二次方程的根与系数的关系》学案
一元二次方程根与系数的关系教案
一元二次方程根与系数的关系教案文章标题：深入探讨一元二次方程根与系数的关系一、引言在数学学科中，一元二次方程是一种常见的代数方程，其解的求解过程在学生中常常引起困惑。
为了帮助学生更好地理解一元二次方程根与系数之间的关系，本文将进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章。
二、一元二次方程的定义与性质1.1 一元二次方程的定义一元二次方程一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0，x为未知数。
在解一元二次方程时，通常可以利用求根公式或配方法等方式进行。
1.2 一元二次方程根的性质一元二次方程在解的过程中会涉及到根的概念。
一元二次方程的根可以是实数根或复数根，其性质在数学中有着重要的意义。
三、一元二次方程根与系数的关系2.1 一元二次方程根的判别式一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac可以根据其大小判断一元二次方程的根的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程有共轭复数根。
2.2 一元二次方程根与系数的关系通过一元二次方程的根与系数的关系，可以得出许多有趣的结论。
一元二次方程的两个根的乘积等于常数项c与二次项系数a的比值，而两个根的和等于-b/a。
这种根与系数的关系不仅在数学中有着很好的应用，还可以帮助学生更深入地理解一元二次方程的性质。
四、个人观点与结论从深度和广度上来看，一元二次方程根与系数的关系是数学学科中一个重要而有趣的主题。
通过本文的全面评估，我们不仅可以更好地理解一元二次方程的性质，还能够在教学中更灵活地运用这些知识，并引发学生对数学的兴趣和探索欲望。
五、总结与回顾本文主要讨论了一元二次方程根与系数的关系，通过对一元二次方程的定义与性质、根的性质和与系数的关系进行探讨，帮助读者更好地理解了这一主题。
在教学中，我们应当注重引导学生深入探究，帮助他们建立起完整而灵活的数学知识体系。
在撰写本文的过程中，我对一元二次方程根与系数的关系有了更深入的理解，这也将有助于我在未来的教学工作中更好地帮助学生解决问题。
根与系数的关系导学案
2560x x -+=1x 2x 12x x +一元二次方程的根与系数的关系姓名______________学号_____________________学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并掌握公式：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a . 2.会用根的判别式及根与系数关系解决实际问题。
活动一，温故知新( 1 ) 一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的求根公式： 活动二，探究新知探究1：完成下列表格问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ②x 2+px +q =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
___________________________。
探究2：完成下列表格 问题：上面发现的结论在这里成立吗？ 请完善规律；①用语言叙述发现的规律； ② a x 2+bx +c =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
________________________________。
探究3、（验证）利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）a x 2+bx +c =0的两根1x = , 2x =_________21=+x x __________.21=x x 归纳：通过以上的推导，于是我知道了1．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=____，x 1x 2=____．2．如果方程x 2+px+q=0（p 、q 为已知常数，p 2－4ｑ≥0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=_____，x 1x 2=________；反之以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是____________． 注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________活动三，运用新知：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：2310x x --= 22350x x +-= 21203x x -= 5x-1=4x 2.活动四，巩固练习 1.已知方程2290x kx +-=的一个根是 -3 ，求另一根及K 的值。
一元二次方程的根与系数的关系导学案
一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1、 知道一元二次方程的根与系数的关系。
2、 能运用一元二次方程的根与系数的关系进行已知一根求另一根的简便运算。
学习重点、难点：重点：一元二次方程的根与系数关系的推导和它的运用。
难点：灵活运用一元二次方程的根与系数的关系。
学习流程： 一、旧知回顾：（独立完成，组长检查指导） 1、 写出一元二次方程的一般式和求根公式。
2、 已知232+=x ，232-=y 求22y xy x ++的值。
二、合作交流：（独学、互学，交流归纳）1、 仔细观察一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个实数根a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=它们有什么相同点和不同点。
试求222121x x x x ++的值。
归纳：一元二次方程的根21,x x 与系数c b a ,,之间有什么关系呢？=+21x x ， =⋅21x x2、若方程4522=-x x 的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。
3、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一个根和k 的值。
三、课堂检测：1、若方程x x 4322=-的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。
2、已知方程0322=-+kx x 的一个根x 1=3，求它的另一个根x 2和k 的值。
3、关于x 的方程01622=+-+m x x 的两个根互为倒数，则m= 。
四、课堂整理1、 熟记一元二次方程的根与系数的关系，你记住了吗？请写下来：2、这节课你学了什么？会了什么？还有不会的吗？五、拓展延伸（挑战自我）1、当k 取何值时，013)13(2322=-++-k x k x（1）有一根为零？（2）有两个互为相反数的根？（3）两根互为倒数？2、已知关于x 的方程0)1(2=-+-a a x x 有两不等的正数根，求a 的取值范围。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标:1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系,培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现(每小题10分，共30分)(自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视,随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案,观察、对比、发现问题，逐步由易到难,探索出一元二次方程的根与系数的关系;小组长检查小组成员完成情况;分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】:1、方程:X 2+3X –4=0（1)二次项系数是_____ ,一次项系数是______，常数项是______.（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ .(3）则X 1+X 2=_______， 方程中（）二次项系数一次项系数=- (4） X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1)二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
高中数学新人教B版必修第一册 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学案
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系素养目标·定方向课程标准学法解读掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程．求解一元二次方程的方法：利用等式性质及恒等关系式求解，进而探求解方程的方法.必备知识·探新知基础知识1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解集 判别式的符号 解集Δ＝b 2－4ac >0 __⎩⎨⎧⎭⎬⎫－b ＋b 2－4ac 2a ，－b －b 2－4ac 2a __ Δ＝b 2－4ac ＝0 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－b 2a Δ＝b 2－4ac <0∅思考1：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac适合用于所有的一元二次方程吗？提示：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即：当根的判别式Δ＝b 2－4ac ≥0时适用．2．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝－ba ；x 1x 2＝c a.思考2：利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？提示：先把方程化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，然后验证，是否满足a ≠0，Δ＝b 2－4ac ≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题．基础自测1．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( C ) A ．(x ＋1)2＝6 B ．(x ＋2)2＝9 C ．(x －1)2＝6D ．(x －2)2＝9解析：因为x 2－2x －5＝x 2－2x ＋1－6＝0，所以(x －1)2＝6. 2．解下列方程，最适合用公式法求解的是( D ) A ．(x ＋2)2－16＝0 B ．(x ＋1)2＝4 C ．12x 2＝8D ．x 2－3x －5＝0解析：公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程． 3．一元二次方程x 2－x ＝12的根的判别式的值是__3__.4．若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是__(－∞，4]__.解析：因为一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k ≥0，即k ≤4. 5．已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝__－2__.解析：因为x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2.关键能力·攻重难类型 求一元二次方程的解集 ┃┃典例剖析__■典例1 用适当的方法求下列方程的解集．(1)x 2－2x －8＝0；(2)2x 2－7x ＋6＝0； (3)(x －1)2－2x ＋2＝0.思路探究：根据方程的特征，合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程． 解析：(1)方法一：移项，得x 2－2x ＝8， 配方，得(x －1)2＝9，由此可得x －1＝±3， ∴x 1＝4，x 2＝－2，∴方程的解集为{－2,4}． 方法二：原方程可化为(x －4)(x ＋2)＝0， ∴x －4＝0或x ＋2＝0，∴x 1＝4，x 2＝－2， ∴方程的解集为{－2,4}．(2)原方程可化为(x －2)(2x －3)＝0， ∴x －2＝0或2x －3＝0，∴x 1＝2，x 2＝32，∴方程的解集为{2，32}．(3)原方程可化为(x －1)2－2(x －1)＝0. 因式分解，得(x －1)(x －1－2)＝0，∴x －1＝0或x －3＝0，∴x 1＝1，x 2＝3，∴方程的解集为{1,3}． 归纳提升：一元二次方程的常见解法(1)开平方法：如果方程能化成x 2＝p 或(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的形式，那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p ，从而通过降次转化为一元一次方程．(2)配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1：用二次项系数去除方程两边，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式； ②移项：把常数项移至方程右边，将方程化为x 2＋px ＝－q 的形式；③配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使方程左边成为含有未知数的完全平方形式，右边是一个常数，把方程化为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程． (3)因式分解法 ①平方差公式法； ②完全平方公式法； ③提取公因式法； ④十字相乘法．(4)公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式为：当b 2－4ac ≥0时，x 1，x 2＝－b ±b 2－4ac 2a.┃┃对点训练__■ 1．求下列方程的解集：(1)4x 2－4x －1＝0；(2)x 2－7x ＋10＝0.解析：(1)方程的两边同时加上2，得4x 2－4x ＋1＝2， 即(2x －1)2＝2，∴2x －1＝±2， ∴x 1＝1＋22，x 2＝1－22.∴方程的解集为{1－22，1＋22}．(2)∵x 2－7x ＋10＝(x －2)(x －5)， ∴原方程可化为(x －2)(x －5)＝0， 从而可知x －2＝0或x －5＝0， 即x ＝2或x ＝5.∴方程的解集为{2,5}． 类型 一元二次方程根与系数关系的应用 ┃┃典例剖析__■典例2 已知关于x 的一元二次方程x 2－mx －3＝0.(1)对于任意的实数m ，判断方程根的情况，并说明理由；(2)若x ＝－1是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．思路探究：(1)根据判别式的意义判断根的情况；(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根．解析：(1)Δ＝m 2－4×1×(－3)＝m 2＋12， ∵m 2≥0，∴Δ>0，∴方程有两个不相等的实根． (2)设方程的另一个根为x 2， ∴－1×x 2＝－3，解得x 2＝3. ∵－1＋3＝m ，∴m ＝2.归纳提升：一元二次方程根的情况 1．一元二次方程的判别式方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为实数，且a ≠0)： 当Δ＝b 2－4ac >0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＝b 2－4ac <0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系(1)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实数根分别为x 1，x 2，则有：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .(2)以两个实数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. ┃┃对点训练__■2．(1)已知实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是( A ) A ．x 2－7x ＋12＝0 B ．x 2＋7x ＋12＝0 C ．x 2＋7x －12＝0 D ．x 2－7x －12＝0(2)已知方程x 2－5x －7＝0的两根分别为x 1，x 2，求下列式子的值：①x 21＋x 22；②x 1x 2＋x 2x 1. 解析：(1)因为一元二次方程中， x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12， 又因为x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，令a ＝1，则b ＝－7，c ＝12， 所以原方程为：x 2－7x ＋12＝0. (2)由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝－7.①x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝52－2×(－7)＝25＋14＝39. ②x 1x 2＋x 2x 1＝x 21＋x 22x 1x 2＝－397. 易混易错警示 忽略Δ＝b 2－4ac ≥0而导致错误┃┃典例剖析__■典例3 已知关于x 的方程x 2－(k －1)x ＋k ＋1＝0的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值．错因探究：本题在求出k ＝5或k ＝－1后，容易忽略对Δ＝b 2－4ac 的检验．解析：设方程的两实根分别为x 1，x 2，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝k －1，x 1·x 2＝k ＋1.又x 21＋x 22＝4，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，∴(k －1)2－2(k ＋1)＝4，即k 2－4k －5＝0， ∴k ＝5或k ＝－1.当k ＝5时，b 2－4ac ＝[－(k －1)]2－4(k ＋1)＝－8<0，不符合题意，舍去； 当k ＝－1时，b 2－4ac ＝[－(k －1)]2－4(k ＋1)＝4>0，∴k 的值为－1.误区警示：一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根为前提条件的．利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下才有意义，所以求得的字母的值要代入Δ＝b 2－4ac 来验证．学科核心素养 运用一元二次方程根与系数关系的变形公式解题 ┃┃典例剖析__■与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形：(1)x 21＋x 22＝(x 21＋2x 1x 2＋x 22)－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； (3)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2； (4)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；(5)|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2； (6)(x 1＋k )(x 2＋k )＝x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋k 2.[特别提醒] 应用这几个代数式的变形进行求解时，勿忘记两个前提条件：(1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；(2)方程有实数根，即Δ≥0.典例4 已知：关于x 的方程x 2－(m －1)x －2m 2＋m ＝0.(1)求证：无论m 为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根x 1，x 2，且x 21＋x 22＝2，求m 的值．思路探究：(1)证明根的判别式Δ≥0，即可证明方程有实数根；(2)由根与系数的关系把x 21＋x 22用含有字母m 的代数式表示出来，然后组成新的含有m 的一元二次方程，求解即可得m .解析：(1)证明：∵Δ＝[－(m －1)]2－4×1×(－2m 2＋m )＝(3m －1)2≥0， ∴无论m 取何值，方程总有实数根．(2)由(1)可知无论m 取何值，方程总有实数根，由方程的根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m －1，x 1x 2＝－2m 2＋m ，∵x 21＋x 22＝2，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(m －1)2－2(－2m 2＋m )＝5m 2－4m ＋1＝2，∴5m 2－4m －1＝0，即(m －1)(5m ＋1)＝0， 解得m 1＝1，m 2＝－15，即m 的值为－15或1.课堂检测·固双基1．已知x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，则m 的值为( A ) A ．2 B ．0 C ．0或2D ．0或－2解析：因为x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，所以4－4m ＋4＝0，所以m ＝2.2．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( C )A ．a >2B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2解析：Δ＝4－4(a －1)＝8－4a >0，得a <2.又a －1≠0，所以a <2且a ≠1. 3．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝__2__. 解析：依题意，得2×12－3k ×1＋4＝0，即2－3k ＋4＝0.解得，k ＝2.4．若x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝__－1__，x 21＋x 22＝__3__.解析：∵x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两个根， ∴x 1＋x 2＝－b a ＝－11＝－1，x 1·x 2＝c a ＝－11＝－1，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝(－1)2－2×(－1)＝1＋2＝3.5．已知关于x 的方程x 2－2x ＋m －1＝0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； (2)若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 解析：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4(m －1)>0， 即4－4m ＋4>0，解得m <2. (2)设方程的另一个实数根为x 2， ∵5＋x 2＝2，∴x 2＝－3.∴当方程有一个实数根是5时，另一个根为－3.。
一元二次方程的根与系数的关系优秀教案
课题：一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
（一）知识与技能
1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
（二）过程与方法
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
（三）情感态度与价值观
通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养孩子观察、分析和综合、判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
二、重点难点
1、重点一元二次方程根与系数的关系
2、难点对根与系数关系的理解和推导
三、教学过程。
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教案一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标(一)知识与技能通过观察、归纳、类比、讨论等活动，探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系．(二)过程与方法通过对方程的求解过程进行回顾，渗透从特殊到一般的数学思想，并培养学生的观察、探究能力．(三)情感态度与价值观通过一元二次方程根与系数的关系的探究，培养学生初步形成对数学整体性的认识以及前后一致的逻辑推理能力．二、教学重难点教学重点：掌握一元二次方程的根与系数的关系．教学难点：将根的判别式由数值计算推广到字母运算，正确理解判别式的意义．三、教学过程(一)导入新课，明确目标师：同学们，上一节课我们学习了如何解一元二次方程，并且通过几道例题对解法进行了具体的阐述。
今天我们将在此基础上，探究一元二次方程的根与系数的关系。
那么什么是一元二次方程的根与系数呢？如何用数学语言描述呢？带着这些问题，我们一起学习今天的课题“一元二次方程的根与系数的关系”。
(二)自主探究，掌握新知定义一元二次方程的根与系数。
师：首先请同学们思考一下，一元二次方程的根是什么？系数又是什么？他们之间存在什么样的关系呢？现在我们一起来探讨一下。
假设ax²+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，那么x1,x2是它的两个实数根。
其中a、b、c分别是方程的系数。
那么，根与系数之间存在什么样的关系呢？我们可以通过以下步骤进行探究：(1)分别计算出x1+x2和x1x2的值；(2)根据计算结果，总结根与系数的关系。
通过实例探究根与系数的关系。
师：现在我们通过一个具体的实例来探究一元二次方程的根与系数的关系。
例如，方程2x²-4x-6=0的两个根分别为x1=x2=1，则x1+x2=2，x1x2=-3。
那么我们可以发现，对于任何一个一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，它的根与系数之间都满足以下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
根与系数的关系导学案
清大《一元二次方程的根与系数的关系》导 学 案学习目标：（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系（3）根据一元二次方程方程根与系数的关系，求关于两根的代数式的值。
教学重点：一元二次方程根与系数的关系及应用。
教学难点：正确应用根与系数的关系解决问题。
学习过程：一、导入1、一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程的求根公式是什么？设1x 、2x 是下列一元二次方程的两个根，填写下表二 、新课问题1、1.根据所填写的表格，请你猜想出1x +2x ，1x •2x 与方程的系数有什么关系吗？2. 你的猜想是否正确呢?请用求根公式加以验证3、归纳：如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根分别是1x 、2x ，那么：1x +2x =ab - 1x •2x =a c这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
问题2：一元二次方程的根与系数的关系应用1.例1 、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根1x 、2x 的和与积：（1）26150x x --= （2）23790x x +-=（3）2514x x -=2.例2 、已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值：3.例3、 利用根与系数的关系，求一元二次方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和 （2）倒数和三、训练1、写出下列方程的两根之和与两根之积：（1）2310x x ++= （2）2322x x -=（3）2230x x += （4）231x =2.已知方程的两根之和与两根之积相等，那么m 的值为（ ）A. 1B.C. 2D.3.方程的两根和为4，积为，则_________，________。
4.已知方程23190x x m -+=的一个根是1，它的另一个根是______m 的值是_________5.设1x 2x 是方程22430x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案一、教学目标
知识与技能：
掌握、运用一元二次方程的根与系数关系。
在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值
过程与方法：
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程，体会由特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观：
1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合
作交流的学习习惯。
2、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
二、教学重难点
重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
三、教学用具
普通教学工具、多媒体工具
四、教学过程。
根与系数的关系1(导学案)
课题：一元二次方程的根与系数的关系（1）学生学案教师教案学习目标1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
1、能推论根与系数的关系2、利用根与系数的关系解决问题学习重点重点：掌握根与系数的关系难点：根与系数的关系的应用重点：掌握根与系数的关系难点：根与系数的关系的应用预习一、独学：1．阅读教材33-35页，解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x1x2x1+x2x1·x22x+6x-16=02x-2x-5=022x-3x+1=052x+4x-1=0填写表格，探索、猜测两个根与一元二次方程系数之间的关系，然后发现规律。
二、对学群学【探究】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知x1=aacbb242-+-，x2=aacbb242---，能得出以下结果：x1＋x2=ab-，即：两根之和等于x1•x2=ac，即：两根之积等于特殊的：若一元二次方程2x+px+q=0的两根为1x、2x，则：x1＋x2== -p x1•x2= q如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x2＋（）x＋（）＝0(a≠0)，则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（x1+x2）x＋x1x2＝0(a≠0经历探索一般形式的一元二次方程根与系数的关系，验证前面的猜测，从而发现一般规律。
展示三、组内小展示求下列方程的两根之和与两根之积.（1）2x-6x-15=0 （2）5x-1= 42x（3）2x-(k+1)x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）通过组内展示，充分体会运用根与系数之间的关系解决问题四、班内大展示1、已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的（1）平方和（2）倒数和进一步运用根于系数的关系解决问题，并进一步深化其运用反馈小结：学生总结，教师点评指导学生归纳总结1．若方程20ax bx c++=(a≠0)的两根为1x，2x则12x x+= ，12.x x= __2 ．方程22310x x--=则12x x+= ，12.x x= __4：已知方程2290x kx+-=的一个根是-3 ，求另一根及K的值。
一元二次方程根与系数的关系(2)导学案(新版新人教版)[工作范文]
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一元二次方程根与系数的关系（2）导学案（新版新人教版）第7课时一元二次方程根与系数的关系一、学习目标1.已知一元二次方程两根的关系求参数的取值范围；.已知一元二次方程两根的关系会求参数；.会求含有一元二次方程两根的代数式的值^二、知识回顾1 . 一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？判另U式与一元二次方程根的情况：是一元二次方程的根的判别式，设，则当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根.一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1 , x2与系数a,b,c的关系是什么？三、新知讲解几种常见的求值：四、典例探究.已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围【例1】已知关于x的方程设方程的两个根为x1,x2 ,若求的取值范围总结：如果x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则有.这是著名的韦达定理.已知一元二次方程两根x1 , x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件^ 练1.已知x1, x2是关于x的一元二次方程x2 - x+2+2=0 的两个实数根，且x1 , x2满足x1?x2 - x12 - x22>0,求的取值范围.【例2】已知关于x的方程x2 - 2x+2 - 3=0当取何值时，方程有两个实数根？设x1、x2是方程的两根，且2 - x1x2=26,求的值.总结：一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况与判另U式△的关系如下：△> 0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△v 0?方程没有实数根.一元二次方程ax2+bx+c=0两实数根x1 , x2 乂有如下关系：，所以已知关于x1 , x2的关系等式可以求原方程中的字母参数.注意使用的前提是原方程有根，所以必须保证判别式△> 0.练2已知x1、x2是一元二次方程2x2 - 2x++1=0的两个实数根.求实数的取值范围；如果x1、x2满足不等式7+4x1x2 > x12+x22,且为负整数，求出的值，并解出方程的根..根据一元二次方程求含两根的代数式的值【例3】已知实数a, b是方程x2 - x - 1= 0的两根，求+ 的值.总结：在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值.注意中两根之和、两根之积的符号，即和是-，积是，不要记混.如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下：练3已知：关于x的方程x2+2x - =0有两个不相等的实数根.求的取值范围；若以，6是这个方程的两个实数根，求的值 .五、课后小测一、选择题已知3是关于x的方程x2 — 5x + c = 0的一个根，则这个方程的另一个根是-2B.2C.5D.6关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是A. 1B. - 1c. 1 或一1D. 2设是方程的两个实数根，则的值为A. 5B. - 5c. 1D. - 1二、填空题.设x1、x2是一元二次方程x2 - 5x - 1=0的两实数根，则x12+x22的值为..已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是如果，n是两个不相等的实数，且满足2 - =3, n2 - n=3,那么代数式2n2 - n+2+XX=:三、解答题.已知关于x的方程x2+2x+a - 2=0.若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根.已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数的值. .已知关于x的一元二次方程=p2, p为实数.求证：方程有两个不相等的实数根；p为何值时，方程有整数解.0 .已知，n是方程x2+3x+1= 0的两根求-的值求+的值.1 .已知x1, x2是一元二次方程x2+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由..已知关于x的方程x2 - 2x+2=0有两个实数根x1、x2 .求的取值范围；求证：x1+x2=2,;求？的最小值.3.已知方程x2 - 2x++2=0的两实根x1 , x2满足|x1|+|x2| < 3,试求的取值范围.已知关于x的方程x2 - 3x+18=0有两个正整数根.△ ABc 的三边a、b、c 满足，2+a2- 8a=0, 2+b2- 8b=0.求：的值；△ ABc的面积.典例探究答案：【例1】分析：先考虑判别式>0,根据题意得，这说明取任意实数，方程都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得x1+x2=3 , x1x2=-6 ,代入即可求得的取值范围解：根据题意，得，所以为任意实数，方程都有两个不相等的实数根^.. x1+x2=3 , x1x2=-6 ,且，二，解得>-1.综上，的取值范围是>-1.点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意: 对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式^ 练1 .【解析】根据根与系数的关系得出x1+x2=2+1,x1?x2=2+2,变形后代入即可得出关于的不等式，求出不等式的解集即可.解：,••关于x的一元二次方程x2 - x+2+2=0有两个实数根x1 , x2 ,x1+x2=2+1 , x1?x2=2+2,.. x1?x2 - x12 - x22 > 0 成立，x1?x2 - A 0,即x1?x2 - [2 - 2x1 ?x2] >0,2+2 - [2 - 2] > 0,< -或 > 1.点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于的不等式.【例2】【解析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到42 - 4>0,然后解不等式即可;根据根与系数的关系得x1+x2=2, x1x2=2 - 3,代入2 - x1x2=26,计算即可求解.解：根据题意，得^ =42 - 4 > 0,解得A - 2;当2 时，x1+x2=2 , x1x2=2 - 3.则2 - x1x2=2 - 5x1x2=[2]2 - 5=26,即2- 8+7=0,解得1=1 >- 2, 2=7>- 2,所以1=1, 2=7.点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式.练2.【解析】根据判别式的意义得到^ =2 - 4X 2X > 0, 然后解不等式；先根据根与系数的关系得x1+x2=1 , x1?x2=,把7+4x1x2 >x12+x22 变形得7+6x1?x2>2,所以7+6X > 1,解得〉-3, 于是得到的取值范围- 3VV-，由于为负整数，所以=-2 或=-1,然后把的值分别代入原方程，再解方程.解：根据题意得△=2- 4X 2X > 0,解得V -；根据题意得x1+x2=1 , x1?x2=,.. 7+4x1x2 >x12+x22,7+6x1 ?x2 >2,... 7+6X> 1,解得〉-3,•,- - 3v v —,•••为负整数，... = -2 或=-1,当=-2时，方程变形为2x2 - 2x - 1=0,解得x1 = , x2=;当=-1时，方程变形为x2 - x=0,解得x1=1, x2=0.点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0的根与△ =b2 - 4ac有如下关系：当^> 0时，方程有两个不相等的两个实数根；当^=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△< 0时，方程无实数根.也考查了根与系数的关系.【例3】【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1, ab=-1，再利用完全平方公式变形得到+==,然后利用整体代入的方法进行计算.解：•••实数a, b是方程x2 - x - 1= 0的两根，二a+b=1, ab=— 1,+=== - 3.点评：本题考查了根与系数的关系：若x1 , x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根时，x1+x2=-, x1x2=.练3 .【解析】由方程x2+2x - =0有两个不相等的实数根，可以求出△ > 0,由此可求出的取值范围;欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.解：△ =4+4,•.•方程有两个不等实根，. .△> 0,即4+4>0. .> 一 1由根与系数关系可知以+6 = - 2,以6 =一,二=,点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.课后小测答案：一、选择题BB【解析】由已知得x1+x2 = — 3, x1 X x2 = — 3,贝U 原式===-5.故选B.点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法.二、填空题.【解析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5 , x1x2= -1,然后把x12+x22转化为x12+x22=2 - 2x1x2,最后整体代值计算.解：L x1、x2是一元二次方程x2 - 5x - 1=0的两实数根，二x1+x2=5 , x1x2= - 1,x12+x22=2 - 2x1x2=25+2=27 ,故答案为：27.点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大.【解析】将x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可.解：x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，... 12+a+b=0,•,- a+b= — 1,a2+b2+2ab=2=2=1.故答案为：1 .点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值.【解析】由于，n是两个不相等的实数，且满足2 - =3, n2 -n=3,可知，n是x2 - x - 3=0的两个不相等的实数根. 则根据根与系数的关系可知：+n=2, n= - 3, 乂n2=n+3,利用它们可以化简2n2 - n+2+XX=2- n+2+XX=2n+6- n+2+XX=2- n+2021,然后就可以求出所求的代数式的值.解：由题意可知：，n是两个不相等的实数，且满足2-=3, n2 - n=3,所以，n是x2 - x - 3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：+n=1, n=- 3,乂n2=n+3,贝U 2n2 - n+2+XX=2 - n+2+XX=2n+6 - n+2+XX=2 - n+2021=2 X 1 - +2021=2+3+2021=2026.故答案为：2026 .点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值.三、解答题.【解析】关于x的方程x2 - 2x+a - 2=0有两个不相等的实数根，即判别式△ =b2- 4ac > 0 .即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围.设方程的另一根为x1 ,根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根.解：.. b2 - 4ac=2 - 4X 1 X =12 - 4a>0,解得：av 3.a的取值范围是av 3;设方程的另一根为x1,由根与系数的关系得：解得：，则a的值是-1,该方程的另一根为-3.点评：本题考查了一元二次方程根的判另U式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△> 0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△v 0?方程没有实数根.【解析】：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于的方程，从而得到的值，但前提条件是方程得有实数根.解：原方程可变形为：.•••、是方程的两个根，. .△A 0,即：42-42 > 0, ... 8+4 > 0, > .乂、满足，二=或=-,即^ =0或+=0,由^ =0,即8+4=0,得=.由+=0,即:2=0,得=-1,所以，当时，的值为.点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值 ..【解析】要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明^ > 0即可；要是方程有整数解，那么x1 ?x2=4 - p2为整数即可，于是求得当p=0, ± 1时，方程有整数解.解；原方程可化为x2 - 5x+4 - p2=0,△ =2- 4X =4p2+9>0,不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；•.•方程有整数解，x1 ?x2=4 - p2为整数即可，.••当p=0, ± 1时，方程有整数解.点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判另"式^ 的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键.0.【解析】首先求出和n的值，进而判断出和n均小于0,然后进行分式的化简，最后整体代入求值；艰据和n小于0化简+为，然后根据+n=- 3, n=1整体代值计算.解：L, n是方程x2+3x+1= 0的两根,n=,二 < n< 0,原式=?-=-6-2-L , n是方程x2+3x+1=0的两根，/. 2+3+1 =0,原式=0;. V 0, n<0,「• +=——n=+=,/+n= - 3, n=1,原式=9-2=7.点评：本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出和n的判断出和n均小于0,此题难度一般.1.【解析】由x1 , x2是一元二次方程x2+2ax+a=0的两个实数根，可得x1+x2= - , x1 ?x2= , A =2- 4a=24a>0, 乂由-x1+x1x2=4+x2 ,即可求得a的值.解：存在./ x1 , x2是一元二次方程x2+2ax+a=0的两个实数根，x1+x2=-, x1?x2=, △ =2 - 4a=24a > 0,•. a> 0,- x1+x1x2=4+x2 ,x1x2=4+x2+x1 ,即=4 -,解得：a=24.点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式.此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为1, x1 , x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根时，x1+x2=, x1x2=..【解析】根据判别式的意义得到^ =[ - 2]2 - 4X 1 X 2> 0,然后解不等式即可；利用求根公式得到x1= - 1 +, x2= - 1 -,然后分另U计算x1+x2 , x1x2的值即可；利用中的结论得到？=x1?x2 - +1=2- 2+1,然后利用配方法确定代数式的最小值.解：依题意得△ =[ - 2]2 - 4X 1 X 2> 0,解得V；证明：L △ =4 - 8,• • x=,x1= - 1 +, x2= - 1 -x1+x2= - 1++- 1 - =2;x1?x2==2 - 2=2;解：？=x1?x2 - +1=2 - 2+1=2+2,.. 2> 0,2+2 > 2,... ?的最小值为2.点评：本题考查了根与系数的关系：若x1 , x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2= , x1x2=.也考查了根的判别式.3.【解析】由于方程x2 - 2x++2=0的有实根，由此利用判别式可以得到的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x1|+|x2| < 3就乂可以得到的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出的取值范围.解：根据题意可得△ =b2 - 4ac=4 - 4X 1 X > 0,解得v- 1,而x1+x2=2, x1x2=+2,①当V - 2时，x1、x2异号，设x1为正，x2为负时，x1x2=+2 < 0,|x1|+|x2|=x1 — x2== < 3,而 v —2,. . — v v — 2;②当-2vv - 1 时，x1、x2 同号，而x1+x2=2,x1、x2 都为正，那么|x1|+|x2|=x1+x2=2 < 3, 符合题意，的取值范围为- 2vv- 1.故的取值范围为：—V<- 1.【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.同时也利用分类讨论的思想方法.【解析】本题可先求出方程x2 - 3x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出的值.由得出的的值，然后将2+a2- 8a=0, 2+b2- 8b=0.进行化简，得出a, b的值.然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a, b 的值，进而得出三角形的面积.解：,••关于x的方程x2 - 3x+18=0有两个正整数根... a=2 - 1 , b=- 9+3, c=18,b2 - 4ac=2 - 72=92 > 0,设x1 , x2是此方程的两个根，x1?x2==,二也是正整数，即 2 - 1=1或2或3或6或9或18, 乂为正整数， (2)把=2代入两等式，化简得a2 - 4a+2=0, b2 - 4b+2=0 当a=b时，当a^ b时，a、b是方程x2 - 4x+2=0的两根，WA> 0,由韦达定理得a+b=4>0, ab=2>0,贝U a>0、b>0.①a^b,时，由于a2+b2=2 - 2ab=16 - 4=12=c2故AABc为直角三角形，且Z c=90 , SAABc=②a=b=2 - ? c=2时，因v,故不能构成三角形，不合题意，舍去.③a=b=2+, c=2时，因＞,故能构成二角形.SA ABc=x X =综上，△ ABc的面积为1或.点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a, b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键.。
一元二次方程根与系数的关系学案
一元二次方程根与系数的关系1、知识准备( 1 ) 一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：2、探究1：完成下列表格问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x 2+px +q =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
探究2：完成下列表格问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；② ax 2+bx +c =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）ax 2+bx +c =0的两根1x = , 2x =12x x + 12.x x= == == == =注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________活动1：典型例题例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）x 2－6x －15=0 （2）3x 2+7x －9=0 （3）5x －1=4x 2练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）21203x x -=例2：已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及k 的值。
练习2：若关于x 的方程x 2＋mx －6=0有一个根是2，则m 的值为例3:已知α,β是方程x 2－3x －5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 βα11)1(+ 22)2(βα+ )3)(3)(2(++βα βα-)4(练习3：错误辨析已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有实数根，请判断下列结论的正确 （1）当21=k 时方程两根互为相反数（ ） （2）当0=k 时方程的根是1-=x （ ） （3）当1±=k 时方程两根互为倒数（ ） （4）当41≤k 时方程有实数根（ ） 例4:已知关于x 的方程3x 2－5x －2=0,且关于y 的方程的两根是x 方程的两根的平方,则关于y 的方程是__________练习4：已知一元二次方程2x 2+3x-5=0，不解方程，求以该方程的两根的相反数为根的一元二次方程．活动2：随堂训练1．如果方程x 2+px+q=01+1，那么p=_____，q=_____．2．已知一元二次方程x 2－5x －6=0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12+x 22=_______．3．已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为______．4．已知方程x 2+3x －1=0的两个根为α、β，那么a βαβ+=_______．5．设方程x 2+x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则1211x x +的值为___________.6.已知一元二次方程3x 2-kx-1=•0•的一根为3,则该方程的另一根为_____，•k=_______．7.已知一元二次方程的两根为_______ ．8．若方程x 2+6x+3a=0-3，则a 的值为_______，方程的另一根为________．9．设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x 1+1）（x 2+1）； （2）x 12x 2+x 1x 22； （3）2112xx x x +； （4）（x 1－x 2）2．10. 已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。
一元二次方程根与系数的关系复习学案
一元二次方程根与系数的关系复习学案【复习目标】1、会求一元二次方程的两根之和与两根之积2、学会用根与系数的关系求代数式的值。
3、理解并掌握应用根与系数的关系求待定系数。
【旧知回顾】1、对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ， 那么x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ 。
【课内探究】活动1: 不解一元二次方程求两根和与积（1）x 2-9x ＋10＝0；（2）4x 2-7x ＋1＝0；（3）2x 2-9x ＝5；（4）2x 2-5x ＝0；（5）x 2-1＝0活动2:利用根与系数关系验根判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．（1）6x 2-10x ＝4；（- 13， 12） （2）2x 2-5x-3＝0；（12， 3） （3）2x 2-8x ＝0；（0， 4）注意：做这两类题要先把一元二次方程化成___________活动3:已知一元二次方程的一个根求另一根及字母值例：已知方程5x 2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k 的值。
练习：已知方程x 2-4x+c ＝0 的一个根是2－5， 求它的另一个根和c 的值。
活动4:计算有关两根的代数式的值例、已知一元二次方程2x 2+3x-1=0的两根为x 1，x 2求下列代数式的值。
（1）2212x x + （2）1211x x + （3）221211x x + （4）12(1)(1)x x --练习; 设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x 1+1）（x 2+1）；（2）x 12x 2+x 1x 22；【课堂检测】1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____.3、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A、3 C 、6 D 、94、已知关于x 的一元二次方程x 2-(k+1)x-6=0的一个根是2，求方程的另一根和k 的值。
《一元二次方程的根与系数的关系》教案
教学文档
（一元二次方程的根与系数的关系）教案
一、教学目标
（知识与技能）
学生了解一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。
（过程与方法）
学生能够借助问题的引导，发觉、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特别到一般地认识事物的规律。
（感情态度价值观）
通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养观察分析和综合、推断的能力。
激发发觉规律的积极性，鼓舞勇于探究的精神。
二、教学重难点
（教学重点）
一元二次方程根与系数的关系的证明。
（教学难点）
发觉一元二次方程根与系数的关系。
三、教学过程
(一)引入新课
提出问题：一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系呢
师生活动：复习回忆一元二次方程的一般形式以及求根公式。
(二)探究新知
.。
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2、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根
1x =
，2x =， 则有
122
2b b b b x x a a a
-+---+=+==-； 221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a
-+----====．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0的两根．因此有
以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．
例2 已知方程2560x
kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
例3 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根。
（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求2212
11x x +的值；（3）x 1
3＋x 23 。
说明：一元二次方程的
两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则
12b x a -=，22b x a --=，韦达定理：x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a
．
∴| x 1－x 2|===． 也可
由韦达定理推导：| x 1－
x 2|=212214x x x x -+）（=a c a b 42--）（||
a == 于是有下面的结论：
若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||
a Δ＝
b 2
－4ac ）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．。