高中数学《一元二次方程的根与系数的关系》学案

2、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根

1x =

，2x =， 则有

122

2b b b b x x a a a

-+---+=+==-； 221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a

-+----====．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0的两根．因此有

以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．

例2 已知方程2560x

kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

例3 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根。 （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求2212

11x x +的值；（3）x 1

3＋x 23 。

说明：一元二次方程的

两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则

12b x a -=，22b x a --=，韦达定理：x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a

．

∴| x 1－x 2|===． 也可

由韦达定理推导：| x 1－

x 2|=212214x x x x -+）（=a c a b 42--）（||

a == 于是有下面的结论：

若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||

a Δ＝

b 2

－4ac ）．

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．