第二章 点集

第二章 点集

教学目的

1.欧氏空间R n 上的测度与积分是本课程的主要研究对象.熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础.

2.掌握直线上的开集，闭集及完备集构造.

3.理解点、集之间的距离概念.

重点难点

1.由R n 上的距离给出邻域，内点，聚点的定义，从而给出开集，闭集的定义.Cantor 集是一个重要的集，它有一些很特别的性质.应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观,帮助理解本章的内容.

2.直线上开集构造定理尤为重要，由它演绎出闭集，完备集构造定理.

§2.1 度量空间·n 维欧氏空间（简介）

§2.2 聚点·内点·界点

一、邻域

若R x ∈，0>ε，则

{}εε<∈=),(:),(y x d R y x V

称为x 的ε邻域.

若R x ∈,R E ⊂,并且有0>ε,使E x V ⊂),(ε,则E 称为x 的一个邻域. 定理2.2.1 ),(εx V 是其每一点的邻域.

证明：若∈y ),(εx V ，则),(y x d <ε.取

=δ-ε),(y x d 0>.

则对任何∈z ),(δy V ,由距离所满足的三角不等式知

εδ=+<+≤),(),(),(),(y x d y x d y z d x z d

即∈z ),(εx V .由此),(δy V ⊂),(εx V .由定义),(εx V 是y 的邻域.

二、内点、聚点、孤立点

设R E ⊂,R x ∈.

若E 是x 的邻域，则称x 是E 的内点；E 的内点全体称为E 的内核，记为0E ；若x 的任一邻域与E 有非空交，则x 称为E 的附着点；，E 的附着点全体称为E 的闭包，记为E .

若对x 的任何邻域V 都有{}≠-E x V )(φ，则x 称为E 的聚点；E 的聚点全体称为E 的导集，记为E '；若E x ∈但x 不是E 的聚点，则x 称为E 的孤立点.

定理 2.2.2 ∈x E '的充分必要条件是有E 中点列{}n x ，使x x n ≠且

x x n →.

证明：充分性由聚点定义立即可知.

现证必要性.首先证明：若∈x E '，则对0>∀ε，),(εx V 中必含有E 的无穷多个点.事实上，如果对某个00>ε，),(0εx V 只含有E 的有限多个点x x k ≠，n k ,,2,1 =，令{}||,|,||,|min 21n x x x x x x ---= ε，则{}()=-E x x V ),(εφ，与∈x E '矛盾. 其次，设n

n 1=ε，取{}()E x x x x x V x n n n 121,,,,),(--∈ε，则有E x n ∈使x x n ≠且x x n →.

容易证明，对任何R E ⊂，E E E '= .

定理2.2.3 E x ∈的充分必要条件是有E 中点列{}n x ，使x x n →. 证明：充分性由闭包的定义是显然的.现证必要性.因E x ∈，则对0>∀ε，≠E x V ),(εφ，若E x ∈，则取x x n =；若E x ∉，则∈x E '，由定理2.2.2得证.

例题2.2.1 设E 是]1,0[中全体有理点.则在R 中]1,0[='E ，=0E φ，]1,0[='=E E E .

如果在2R 中考察点集E ，那么E '、0E 、E 分别是怎样的点集？ 定理2.2.4 (i)设B A ⊂，则B A '⊂'，00B A ⊂，B A ⊂；

(ii) B A B A ''=' )(

证明：只证(ii)式.因B A A ⊂，由(i)知)('⊂'B A A ，同理)('⊂'B A B ，从而)('⊂''B A B A .另一方面，设)('∈B A x ，则由定理

2.2.2，存在B A 中点列{}n x ，使x x n ≠且x x n →.若A x '∈，则B A x ''∈ ；若A x '∉，则{}n x 中至多有有限多个点属于A ，其余无限个点属于B ，即B x '∈.故B A x ''∈ .这样又有B A B A ''⊂' )(.所以B A B A ''=' )(.

例题2.2.2 B A B A =

证明：因B A A ⊂，B A B ⊂，由定理4(i)得B A A ⊂，B A B ⊂，从而B A B A ⊂.

另一方面，由定理2.2.4(ii)式知，B A B A ''=' )(，又由闭包定义得B A B A ⊂.所以B A B A =.

下面的定理告诉我们，在什么情况下≠'E φ.

定理2.2.5 (Bolzano-Weierstrass)R 中任一有界无限点集至少有一个聚点.

证明方法与数学分析中相同.

§2.3 开集·闭集·完备集

一、开集与闭集

设R G ⊂.若G 是其每一点的邻域，则G 称为开集.由定理1.6.1，对

任何R x ∈和0>ε，),(εx V 是开集.我们规定：空集φ是开集.

定理2.3.1 (i) R 和φ是开集；(ii)任何两个开集的交是开集；(iii)任何一族开集的并是开集.

证明：只证(ii).设21,G G 为开集.令G =1G 2G .设G ≠φ.任取G x ∈，则1G x ∈且2G x ∈，于是有1ε，2ε使⊂),(1εx V 1G ，⊂),(2εx V 2G .令ε={}21,min εε,则G x V ⊂),(ε.这就证明了G 是开集.

设R F ⊂.若F R F c -=是开集，则F 称为闭集.由De Morgan 公式，对应定理1，我们有

定理2.3.2(i) R 和φ是闭集；(ii)任何两个闭集的并是闭集；(iii)任何一族闭集的交是闭集.

注意，定理2.3.1可以推广到(i)有限个开集之交是开集，(ii)任意多个开集之并是开集；定理2.3.2可以推广到(i)有限个闭集之并是闭集，(ii)任意多个闭集之交是闭集.但无限多个开集之交不一定是开集.例如⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∞=n n n 1,11 ={}0，而{}0不是开集；同样，无限多个闭集之并也不一定是闭集.例如，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞=1,11n n =]1,0(，不是闭集.因此，上述两定理中的限制是必要的.

此外我们有

定理2.3.3 R F ⊂是闭集的充分必要条件是对F 中任何点列{}n x ，若x x n →，则F x ∈.

证明：设F 是闭集，F x n ∈且x x n →.若F x ∉，则c F x ∈.但c F 是开集，从而有0>ε使c F x V ⊂),(ε.这样对任何n ，),(εx V x n ∉，此与x x n →矛盾.这样F x ∈.必要性得证.反之设条件满足，要证F 是闭集，或等价地证c F 是开集.假设c F 不是开集，则有c F x ∈，使c F 不是x 的邻域.于是对任何1≥n ，)1,(n

x V 中有F 的点n x .显然x x n →.由条件得知F x ∈，此与c F x ∈矛盾.因此c F 是开集，F 是闭集.

显然R 中的开区间),(b a 是开集.

没有孤立点的闭集称为完备集.

定理2.3.4 (i)E E ⊂0,0E 是开集而且是E 中最大开集； (ii)E E ⊃，E 是闭集而且是包含E 的最小闭集.

证明：(i)显然E E ⊂0.现证0E 是开集.设0E x ∈，即E 是x 的邻域.从而有0>ε使E x V ⊂),(ε.由§2定理1知E 也是),(εx V 中所有点的邻域.即),(εx V 中所有点都是E 的内点.因此0),(E x V ⊂ε.从而0E 是开集.其次若开集G 满足E G E ⊂⊂0，则G 中所有点都是E 的内点，从而0E G ⊂.于是0E G =.这就是说0E 是E 中最大开集.

(ii)显然E E ⊃.现任取E x n ∈，x x n →.由E x n ∈知n x 的任何邻域与E