人教版高中数学推理与证明演绎教案

新知探究
【证明】 设x1<x2，则x2－x1>0， f(x2)－f(x1)＝(x23＋x2)－(x13＋x1) ＝(x23－x13)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x12)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x12＋1) ＝(x2－x1)x12＋1(3). 因为2(x1)＋4(3)x12＋1>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1). 于是根据“三段论”，得f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数.
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例3 用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数. 【思路分析】 证明本例所依据的大前提是增函数的定义，即函数y＝f(x)满足：在给定区间内任 取自变量的两个值x1，x2，若x1<x2，则有f(x1)<f(x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.小前提是f(x)＝x3＋x，x∈(－∞，＋∞)上 满足增函数的定义，这是证明本例的关键.
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题型二 应用三段论证明数学问题
例2 已知a，b，c∈R.求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
【思路分析】 应用三段论推理，掌握逻辑推理过程. 【证明】 (1)一个实数的平方是一个非负数.(大前提) a∈R，b∈R.(小前提) 所以，(a－b)2≥0.(结论) (2)不等式两边同加上一个数或式，不等式仍成立.(大前提) (a－b)2≥0，2ab＝2ab.(小前提) 所以，a2＋b2≥2ab.(结论) (3)同理b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
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证明通常简略地表述为a∈R，b∈R⇒(a－b)2≥0 c2＋a2≥2ca(同理b2＋c2≥2bc) ⇒(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca ⇒2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca) ⇒a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
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探究2 通过演绎推理三段论式推理的练习，掌握严格的逻辑推理过程，正确认识演绎推理的特 点.明白演绎推理是一种收敛性的思维方法，及其在科学建设中的理论化和系统化的作用.
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【解析】 (1)一切奇数都不能被2整除.(大前提) 75不能被2整除.(小前提) 75是奇数.(结论) (2)三角形的内角和为180°.(大前提) Rt△ABC是三角形.(小前提) Rt△ABC的内角和为180°.(结论) (3)平行四边形对角线互相平分.(大前提) 菱形是平行四边形.(小前提) 菱形对角线互相平分.(结论)
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(4)同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.(大前提) a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.(小前提) 所以，(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥ 2ab＋2bc＋2ca， 即2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca).(结论) (5)不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立.(大前提) 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca).(小前提) 所以，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(结论)
复习导入
合情推理 归纳推理 类比推理
从具体问题 出发
观察、分析 比较、联想
归纳、 类比
提出猜想
复习导入
归纳推理的一般步骤： ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。 类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出
一个猜想； ⑶ 检验猜想。
观察思考
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 因y=tan 是三角函数, 所以y=tan 是周期函数 4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.
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(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，那么{an}为等差数列.(大前提) 通项公式an＝3n＋2，若n≥2时，则 an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数).(小前提) 通项公式为an＝3n＋2的数列为等差数列.(结论)
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探究1 (1)应用三段论时，若大前提是显然的，则可以省略.如本例中，第二个三段论证明过 程中，大前提及小前提均可省略. (2)在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，其结论必然是正确的. (3)重视演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用.养成言之有理、论证有据的 好习惯.
大前提 小前提
结论 大前提
小前提 结论
大前提 小前提
结论 大前提 小前提
结论
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从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
注： １．演绎推理是由一般到特殊的推理； ２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
每人举一个“三段论”的例子。
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题型一 用三段论的形式表示演绎推理 例1 将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数； (2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°； (3)菱形对角线互相平分； (4)通项公式为an＝3n＋2的数列{an}为等差数列.
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3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
M
a •S
大前提:M 是P. 小前提:S是M. 结 论:S是P.
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想一想???判断下列推理对错 1.全等三角形面积相等
如果三角形ABC与三角形A1B1C1相似, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等. 2.相似三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1相似, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.
人教版高中数学选修1-2
第2章 推理与证明
2.1.2演绎推理
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 1-2
讲解人：xx 时间：2020.6.1
教学目标
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式， 并能运用它们进行一些简单推理。 教学重点： 掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。