大学物理16 量子力学基础2

2 2 n 2 2 n ( x) sin x ( x) sin x L L L L 在 0 x L / 4 区域中出现的概率 L/ 4 L/4 2 1 1 n 2 n sin P dx sin xdx 0 0 4 2n 2 L L
2. 在 L /4 处的概率密度：
1982年，宾尼（G.Binnig）和罗雷尔(H.Rohrer)利用电子的隧道 效应，研制了扫描隧道显微镜（STM)。
The Nobel Prize in Physics 1986 Scanning Tunneling Microscopy (STM)的出现，使人类第一 次能够实时观察单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面 电子行为有关的性质，在表面科学、微电子技术、材料科学、 生命科学等领域的研究中具有重大的意义和应用前景。
n L 2 2 n L 概率密度最大对应 sin 1 ( ) sin 4 4 L L 4 n 2k 1 概率密度最大的量子态 n 2,6,10, 4 2
四.隧道效应（势垒贯穿）
势垒 Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区 U(x) =0 U ( x ) = U0 U(x) =0 x≤0 0≤ x ≤ a x≥a Ⅰ
nπ k a 2mE 2 k 2
粒子能量
h 2 En n n E1 2 8ma
2
2
E3 32 E1
能量是量子化的
E2 22 E1
量子数为 n 的定态波函数为
nπ Ψn x An sin x a
由归一化条件
E1
0 波函数 概率分布
a
x

可得

| Ψn ( x) |2dx 1
4. 单个粒子在哪一处出现是偶然事件；
大量粒子的分布有确定的统计规律。
电 子 双 缝 干 涉 图 样
出现概率小
N=7 N=100 N=3000 N=20000 电子数 N=70000
出现概率大
二. 薛定谔方程 (1926年)
描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 。 质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ，薛 定谔方程为
第16章 量子物理基础
第五次索尔维会议与会者合影 (1927年)
N.玻尔、M.玻恩、 W.L.布拉格、L.V.德布罗意、A.H.康普顿、 M.居里、P.A.M 狄喇克、A.爱因斯坦、W.K.海森堡、 郞之万、W.泡利、普朗克、薛定谔 等
§16.5 微观粒子的波粒二象性 不确定关系
一. 德布罗意假设(1924年)
U0 Ⅱ Ⅲ
E
0
a
定态薛定谔方程： Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
d 2Ψ1 ( x) 2 k1 Ψ1 ( x) 0 2 dx 2 d Ψ2 ( x) 2 k 2Ψ2 ( x ) 0 2 dx d 2Ψ3 ( x) 2 k 1 Ψ3 ( x ) 0 2 dx
2mE k 2
2 1
2m ( E U 0 ) k 2
x i 2π ( t ) i ( Et px )
Ψ( x, t ) Ψ0e
Ψ0e
2 dW | Ψ ( r , t ) | dV
波函数的物理意义：
2 | Ψ(r , t ) | —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度 1. 时刻 t , 粒子在空间
2 2
k12
2mE 2
三个区域的波函数分别为 Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
U0
ik1x ik2 x
Ψ1 ( x) A1e
ik1x
B1e
Ⅰ E
Ⅱ
Ⅲ
Ψ2 ( x) A2e
ik2 x
B2e
Ψ3 ( x) A3eik1x B3e ik1x
0
B3 = 0 a
x0
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续 x = 0 处： x = a 处：
(3) 透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化， 随着势垒的加宽、加高透射系数减小。 粒子类型 粒子能量 1eV 电子 1eV 质子 1eV 2eV 2eV 2×10-10m 2×10-10m 0.51 3×10-38 势垒高度 势垒宽度 透射系数 2eV 5×10-10m 0.024
p h/
x
sin x
p sin
px 0
电 子 束 △x
电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 △x ； 动量分量 px 的不确定量为
px p sin h / x
减小缝宽 △x, x 确定的越准确
x p x h
px的不确定度, 即△px越大
例 原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度的不确定量。 解 原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系
电 子 束 衍射图样 （波长相同）
X 射 线
电子双缝干涉图样
杨氏双缝干涉图样
例 计算经过电势差 U1 =150 V 和 U2 =104 V 加速的电子的德布 罗意波长（不考虑相对论效应）。
1 解 根据 m0v 2 eU ，加速后电子的速度为 v 2
2 eU m0
根据德布罗意关系 p = h /λ，电子的德布罗意波长为
假设: 实物粒子具有 波粒二象性。
h p mv
E mc2 h
h h h 2 2 1 v / c 波长 p mv m0v
E mc2 m0c2 频率 h h h 1 v 2 / c2
物质波的实验验证： 革末—戴维孙电子散射实验(1927年)，观测到电子衍射现象。
0
入射粒子一部分透射到达III 区，另一部分被势垒反射回I 区 讨论 (1)E > U0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并 非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。 (2)E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍 可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应
x 、 p x 分别是 x、 px 的不确定量，其乘积
x p x 2
一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就越大。 下面借助电子单缝衍射实验加以说明。
p h/
x
sin x
px 大部分 电子落在 中央明纹
电 子 束 △x
电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 △x ；
d 2Ψ( x) 2m 2 E V Ψ x 0 2 dx
描 述 外 力 场 的 势 能 函 数
说明 (1)求解 E （粒子能量） ( r ) （定态波函数）
注意：波函数的连续、单值、有限性以及归一化条件 (2)当粒子处于定态时，粒子在空间出现的概率是稳定不变的
(r ,t) (r )
2
(3) 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设。是量子力学的动 力学方程，它的地位就同经典力学中的牛顿运动定律一样。 其正确性依靠实验来检验。
三. 一维无限深势阱中的粒子
势能函数 V (x) = 0 V (x) = ∞ 0<x<a 0>x或x>a

V(x)
Ψ( x ) 0
Ψ( x) 0
0
五.一维谐振子
1.势能函数
2 2 2 1 1 U ( x) kx x 2 2
m — 振子质量， — 固有频率，x — 位移 2.定态薛定谔方程
3.能量量子化 说明
2m ' ' ( x) 2 ( E 1 m 2 x 2 ) ( x) 0 2
En ( n 1 )h 2
2 2m 2 2 2 x 2 y 2 z 2 (r , t ) V ( r , t ) ( r , t ) i t
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V (
r ) 、能量 E
不随时
间变化，粒子处于定态，定态波函数写为
h h 1 1.225 nm m0v 2m0e U U
波长分别为 说明 电子波波长 << 光波波长 电子显微镜分辨率 远大于 光学显微镜分辨率
1 0.1 nm
2 0.0123 nm
D 观测仪器的分辨本领 R 1.22
二. 不确定关系
1. 动量 — 坐标不确定关系 微观粒子的位置坐标 x 、 动量 分量 px 不能同时具有确 定的值。
电子速度的不确定量为
x px 2
34
p x 6.63 10 v x m 2mx 4 3.14 9.1 1031 1010 5.8 105 m s
说明 氢原子中电子速率约为 106 m/s。速率不确定量与速率本身 的数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时 完全确定，也没有确定的轨道。
波函数
An a / 2
2 nπ Ψn ( x) sin x a a
例: 设质量为m 的微观粒子处在宽度为L 的一维无限深势阱中， 试求：1 粒子在 0 x L / 4 区域中出现的概率？ 2 在哪些量子态上，L /4 处的概率密度最大？ 解：1. 已知粒子的定态波函数 概率密度为
a
x
0 > x 或 x > a 区域
Ψ( x) 0
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为
d 2Ψ x 2mE 2 Ψ x 0 2 dx
令 k
2
2 mE 2
d 2Ψ x 2 k Ψ x 0 2 dx
解为


V(
r)
Ψ( x ) 0
( x)
r
处 dV 体积内出现的概率
2 * dW | Ψ(r , t ) | dV Ψ(r , t )Ψ (r , t )dV
2. 归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为1)
2 | Ψ(r , t ) | dxdydz 1
3. 波函数必须单值、有限、连续 概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续
(n 0, 1, 2, )
2. 能量 — 时间不确定关系
E E
E 2 E 2
寿命△t
Et 2
反映了原子能级宽度△E 和原子在 该能级的平均寿命 △t 之间的关系。
E
光辐射 基态
激发态
~ 10-8 s 8 能级宽度 E ~ 10 eV 2t
平均寿命
△t
基态
平均寿命 能级宽度
△t ∞ △E 0
Ψ( x) 0
Ψ x Asin kx B cos kx
波函数在 x = 0 处连续，有 0 a
x
Ψ0 Asink 0 Bcosk 0 0
B0
因此
Ψa A sin ka 0
所以 其中
Ψ x A sin kx
在 x = a 处连续，有
分别为
2 2 (k12 k2 ) sin 2 (k2 a) R 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k2 a) 4k12 k2
2 4k12 k2 T 2 2 2 2 2 (k1 k2 ) sin (k2 a ) 4k1 k2
U0 Ⅰ E B3 = 0 a Ⅱ Ⅲ
T R 1
Ψ1 (0) Ψ2 (0)
Ψ2 (a ) Ψ3 (a )
dΨ1 dΨ2 dx x 0 dx dΨ2 dx
x a
d Ψ3 dx
xa
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从
2 2 2 2 而得到反射系数 R | B1 | / | A1 | 和透射系数 T | A3 | / | A1 |

E h

E h
辐射光谱线固有宽度
§16.6 波函数 一维定态薛定谔方程
一. 波函数及其统计解释
微观粒子 具有波动性
1925年薛定谔
用物质波波函数描述 微观粒子状态
波函数 —— 描写微观粒子运动状态的函数 例如 自由粒子沿 x 轴正方向运动，由于其能量、动量为常 量，所以 v 、 不随时间变化，其物质波是单色平面 波，波函数为
Ψ( r , t ) Ψ(r )e
由上两式得
E i t
定态薛定谔方程
粒子能量
2 2 2 2m x 2 y 2 z 2 Ψ(r ) 2 E V Ψ(r ) 0
一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)