诱导公式2PPT课件
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诱导公式(2)-课件
cosα=x，
cos(π+α)=−x，
tanα= ；
tan(π+α)=
−
−
= ；
x
对称轴
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
诱导公式？
y
O
P1(x,y)
x
问题1：作P1关于直线 y=x的对称点P5，以OP5为
终边的角 与角 有什么关系？
2.公式五和六的作用是什么？
知识上，又学会了两组诱导公式；
思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的
化归思想；诱导公式所揭示的是终边
具有某种对称关系的两个角三角函数
之间的关系.主要体现了化归和数形结
合的数学思想.
公式五和六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
课后作业
课本P194 练习2,3.
tan(−)＝−tan . tan(−)＝−tan .
tan(＋)＝tan .
结合诱导公式一和二、三、四我们就可以将
π
任意范围内的角的三角函数值转化到 [0, ) 间的
2
角的三角函数值求解，而这三组诱导公式的应用
也是今后我们解决三角函数问题的重要手段.
回顾这三组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以
诱导公式（2）
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
公式三
公式四
公式二
课件4：5.3 诱导公式(二)
由同角三角函数关 → 系式求cos α，tan α → 用诱导公式化简 → 求值
[解] 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 因为－1≤sin α≤1，所以 sin α＝－35. 又 α 是第三象限角，所以 cos α＝－45，tan α＝csoins αα＝34， 所以sinco－sα2π－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)＝sinπ2s－inααccoossαπ2＋α·tan2α ＝cossinαα－cossinαα·tan2α＝－tan2α＝－196.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________. 1 [因为 11°＋79°＝90°，所以 sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简 sin32π＋α＝________. －cos α [sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边，所以原等式成立． θ
(2)左边＝cocsosθsπ2i＋n－θsθintaπ2n＋－θθ＝co－s sθisninθcθotasnθθ
＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
【规律方法】 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左 边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法， “1”的代换法.
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
[解] 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 因为－1≤sin α≤1，所以 sin α＝－35. 又 α 是第三象限角，所以 cos α＝－45，tan α＝csoins αα＝34， 所以sinco－sα2π－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)＝sinπ2s－inααccoossαπ2＋α·tan2α ＝cossinαα－cossinαα·tan2α＝－tan2α＝－196.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________. 1 [因为 11°＋79°＝90°，所以 sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简 sin32π＋α＝________. －cos α [sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边，所以原等式成立． θ
(2)左边＝cocsosθsπ2i＋n－θsθintaπ2n＋－θθ＝co－s sθisninθcθotasnθθ
＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
【规律方法】 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左 边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法， “1”的代换法.
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
5.3 诱导公式 课件(34张PPT)(2024年)
所以 x4 x1 , y4 y1.
根据三角函数的定义，得
y
y
sin y1 , cos x1 , tan 1 ;
x1
sin( ) y4 , cos( ) x4 , tan( )
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
所以 x3 x1 , y3 y1.
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于x轴的对称点P3
所以 x3 x1 , y3 y1.
根据三角函数的定义，得
y1
sin y1 , cos x1 , tan ;
x1
y
y3
sin( ) y3 , cos( ) x3 , tan( ) .
x3
sin( ) sin
公式三： cos( ) cos
tan( ) tan
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于y轴的对称点P4
2k ( )(k Z ).
终边相同的角，即：
以OP4 为终边的角 都是与角
即对于正弦和余弦的诱导公式，
式， 的终边不能落在y轴上，即 k
2
(k Z ).
追问2
探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想
是什么？
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系；
形
第二步，形的关系代数化，建立坐标之间的关系；
数
第三步，等量代换，得到三角函数值的关系.
根据三角函数的定义，得
y
y
sin y1 , cos x1 , tan 1 ;
x1
sin( ) y4 , cos( ) x4 , tan( )
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
所以 x3 x1 , y3 y1.
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于x轴的对称点P3
所以 x3 x1 , y3 y1.
根据三角函数的定义，得
y1
sin y1 , cos x1 , tan ;
x1
y
y3
sin( ) y3 , cos( ) x3 , tan( ) .
x3
sin( ) sin
公式三： cos( ) cos
tan( ) tan
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于y轴的对称点P4
2k ( )(k Z ).
终边相同的角，即：
以OP4 为终边的角 都是与角
即对于正弦和余弦的诱导公式，
式， 的终边不能落在y轴上，即 k
2
(k Z ).
追问2
探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想
是什么？
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系；
形
第二步，形的关系代数化，建立坐标之间的关系；
数
第三步，等量代换，得到三角函数值的关系.
1.3 三角函数的诱导公式(二)课件(人教A版必修四)
【互动探究】本题1若改为cos21°+cos22°+cos23°+…+
cos288°+cos289°+cos290°，又如何求解呢？
【解题指南】利用sin2α+cos2α=1进行计算.
【解析】cos21°+cos289°=cos21°+sin21°=1, cos22°+cos288°=cos22°+sin22°=1, 即cos2x°+cos2(90°－x°)=cos2x°+sin2x°=1(1≤x≤44, x∈N), 所以原式=(cos21°+cos289°)+(cos22°+cos288°)+… +(cos244°+cos246°)+cos290°+cos245°
2
式不变名,而后一套公式必须变名.
【变式训练】化简
tan 3－ 3 3 sin － sin( －) sin( )cos 2 2 2
sin 2－ cos(－
7 ) 2 .
【解析】tan(3π－α)=－tan α，sin(π－α)=sin α，
(3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°-α及
-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.
(4)善于发现类似 －与 间的互余关系， －与 2
3 6 3 3
间的互补关系，利用角的变换结合诱导公式做题.
【变式训练】(2013²广东高考)已知 sin( 5 ) 1 ， 那么
1.3 三角函数的诱导公式(二)
诱导公式五、六
1.公式的表达形式
cos
sin
1.3三角函数的诱导公式2课件人教新课标
11
2
sin
9
2
.
原式=
sin
cos
sin
cos
5
2
=
cos sin
sin2 cos
cos
sin
2
=
sin 4 sin
2
tan
cos
sin
sin
sin
2
cos
填表:
α
4
5
5
7
8
11
3
4
3
4
3
4
sinα
3
2
3
2
2
2
cosα
1 2
2 2
1 2
2 3 2
填在题中横线上
1 cos 13 __co_s_94__;
9
2sin 1 __s_i_n_1_;
3
sin
5
sin
_____5_;
4 cos 70 6 c_o_s_7_0_1_6.
利用公式一～四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面或一
α P(y,x)
2
O
x
y=x
2
2
由公式四同公式五得
公式六
sin
2
cos ,
cos
2
sin .
公式五 公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin.
sin
2
cos ,
cos
2
sin .
的正弦
2
(余弦)函数值,分 别等于α的余弦 (正弦)函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号.
课件3：5.3 诱导公式(二)
＝－tacnoαsαsisninααcosα＝－tanα则 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或 从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定 义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练 掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
名师提醒 用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[针对训练] 1．已知 cosθ＝－35，则 sinθ＋2π＝________. [解析] sinθ＋2π＝cosθ＝－35. [答案] －35
[针对训练] 3．求证：ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1. [证明] 右边＝－2sin32π1－ －θ2s·in－2θsinθ－1＝2sinπ＋1－π2－ 2siθn2θsinθ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθnθ－1＝cos－2θ2＋cossinθ2sθin－θ－2si1n2θ
＝ssiinn2θθ＋－ccoossθ2θ2＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝左边，所以原等式成立.
题型三 诱导公式的综合应用 【典例 3】 (1)已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的值． (2)已知 cosα＝－45，且 α 为第三象限角． 求 f(α)＝tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sin2π－α的值． [思路导引] (1)6π－α＋56π＋α＝π；23π－α＝π－3π＋α；π3＋α＋6π－α ＝π2.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值．
5.3.2诱导公式(2)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
7 2
×1－38＝5167.
内容索引
内容索引
1. (2023·济南高一期末)已知 sinα＝45，则 cosπ2＋α等于(
)
A. －45
B. －35
C.
ห้องสมุดไป่ตู้
3 5
D.
4 5
【解析】 cosπ2＋α＝－sinα＝－45.
【答案】 A
12345
内容索引
2. 若 cosπ6＋α＝13，则 sinπ3－α等于(
内容索引
已知 tanθ＝2，则 ssiinnπ2π2＋－θθ－－csoinsππ－－θθ＝________. 【解析】 原式＝cocsθo－sθ－－sicnoθsθ＝cos2θc－ossθinθ＝1－2tanθ＝1－2 2＝－2. 【答案】 －2
内容索引
例 3 已知 cos(75°＋α)＝13，且－180°＜α＜－90°，求 cos(15°－α)的 值．
【答案】 BD
12345
内容索引
4.
(2023·石家庄一中高一练习)若
sin
θ＋π7
＝
7 14
，
则
cosθ－51π4＝
________.
【解析】
cosθ－51π4＝cosθ＋π7－π2＝sinθ＋π7＝
7 14 .
【答案】
7 14
12345
内容索引
5. (2023·绵阳高一开学考试)已知 f(α)＝2scinosπ23＋2πα－－α＋3sicnos3ππ－＋αα. (1) 化简 f(α)； (2) 已知 tanα＝2，求 f(α)的值．
内容索引
公式五与公式六的作用是实现正弦与余弦的相互转化，同时可以把区 间π2，π上的角的三角函数转化为锐角的三角函数．
三角函数诱导公式2名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
1、已知cos(75 ) 1，其中是第三象限角，
3
求 cos(105 ) sin( 105 )的值.
2、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
4
3、已知tan 1，求值
3
sin3( ) cos(2 ) tan(2 )
诱导公式
第二课时
诱导公式一:
sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα
诱导公式（二）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
Sinα=MP1,cosα=OM
Sin(π/2+α)=NP2;
π/2+α P2
cos(π/2+α)=ON
Rt△OP1M≌Rt△P2ON
∴ NP2=OM， ON=-MP1 Sin(π/2+α)=cosα
NO
cos(π/2+α)= -Sinα
P1 α M
函数名称变，符号看象限
思索：公式
Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα旳证明措施
sin( 2 ) cos( 3 ) tan( ) tan(3 )
2
2
4、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
3
求 cos(105 ) sin( 105 )的值.
2、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
4
3、已知tan 1，求值
3
sin3( ) cos(2 ) tan(2 )
诱导公式
第二课时
诱导公式一:
sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα
诱导公式（二）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
Sinα=MP1,cosα=OM
Sin(π/2+α)=NP2;
π/2+α P2
cos(π/2+α)=ON
Rt△OP1M≌Rt△P2ON
∴ NP2=OM， ON=-MP1 Sin(π/2+α)=cosα
NO
cos(π/2+α)= -Sinα
P1 α M
函数名称变，符号看象限
思索：公式
Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα旳证明措施
sin( 2 ) cos( 3 ) tan( ) tan(3 )
2
2
4、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
课件5：5.3 诱导公式(二)
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－－152＝－256，
所以
f(α)＝－cos
α＝2
5
6 .
(3)当 α＝－331π时，f(α)＝－cos α＝－cos－313π
＝－cos－10π－π3＝－cos3π＝－12.
【规律方法】 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、 相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可 对分子分母同乘一个式子变形．
【解】 (1)因为 cos(π＋α)＝－cos α＝－12，
所以 cos α＝12，又 α 为第一象限角．
则 cos2π＋α＝－sin α＝－ 1－cos2α
＝－
1－122＝－
3 2.
(2)cosπ6＋α＝cosπ2－3π－α＝sin3π－α＝12.
[互动探究] (变问法)若本Fra bibliotek(2)条件不变，如何求 cos56π－α的值． 解：cos56π－α＝cos2π＋π3－α ＝－sinπ3－α＝－12.
【规律方法】 解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α 与π6＋ α，3π＋α 与6π－α，4π－α 与4π＋α 等互余，3π＋θ 与23π－θ，π4＋θ 与34π －θ 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用 角的变换来解决问题．
【跟踪训练】
1．若 cos(α＋π)＝－23，则 sin(－α－32π)＝( )
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)
A．23
B．－23
C．
5 3
D．－
5 3
答案：A
已知 sin(α＋2π)＝13，α∈(－2π，0)，则 sin α 等于( )
5.3 诱导公式 课件(2)(共29张PPT)
2
37π 5π
(4)tan
·sin－ 3
6
π
π
＝tan6π＋ ·sin－2π＋
6
3
π
π
3
3 1
＝tan ·sin ＝ × ＝ .
6
3 3
2 2
解题方法（利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：）
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：
[跟踪训练一]
.
α 直线 y＝x 对称.
六、诱导公式六
π
＋α 型诱导公式(公式六)：
2
π
sin ＋α＝
2
cos α
π
cos ＋α＝
2
－sin α
；
.
小试牛刀
25π
1．(1)sin
＝________；
6
7π
(2)tan－ ＝________.
π 1
tan(α＋2kπ)＝
(k∈Z)；
tan α (k∈Z)．
提醒 1：α＋2kπ 与 α 终边相同角.
二、诱导公式(二)
终边关于 x 轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin(－α)＝ －sin α
cos(－α)＝
；
cos α ；
tan(－α)＝ －tan α
.
提醒 2：-α 与 α 关于 x 轴对称.
π
(2)cos－ ＝cos－6π＋ ＝cosπ－
6
6
6
π
3
37π 5π
(4)tan
·sin－ 3
6
π
π
＝tan6π＋ ·sin－2π＋
6
3
π
π
3
3 1
＝tan ·sin ＝ × ＝ .
6
3 3
2 2
解题方法（利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：）
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：
[跟踪训练一]
.
α 直线 y＝x 对称.
六、诱导公式六
π
＋α 型诱导公式(公式六)：
2
π
sin ＋α＝
2
cos α
π
cos ＋α＝
2
－sin α
；
.
小试牛刀
25π
1．(1)sin
＝________；
6
7π
(2)tan－ ＝________.
π 1
tan(α＋2kπ)＝
(k∈Z)；
tan α (k∈Z)．
提醒 1：α＋2kπ 与 α 终边相同角.
二、诱导公式(二)
终边关于 x 轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin(－α)＝ －sin α
cos(－α)＝
；
cos α ；
tan(－α)＝ －tan α
.
提醒 2：-α 与 α 关于 x 轴对称.
π
(2)cos－ ＝cos－6π＋ ＝cosπ－
6
6
6
π
3
人教版高中数学必修第一册5.3诱导公式 第2课时 诱导公式(2)【课件】
因为sin （ − ）＝ ，
【方法规律】
抓住角 -x与 +x互余的特征进行角的变换,灵活地运用诱导公式将所求角用已知角
所以cos （3 − ）＝±
− （ − ）＝± .
6
表示,从而解决问题.解题时,要学会抓住角的特征分析,发现已知角与所求角的和、差
A.
B.
C.
－
D.
－
2.已知sin（ + ）＝ ，那么cos (π＋α)的值为(
A.
－
B.
－
C.
D.
A
)
B)
3. (多选)下列四个结论中正确的有( CD )
A. sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B.
C.
若cos (nπ－α)＝ (n∈Z)，则cos α＝
α.代入α＝ ，可得f( )＝cos
＝ .
【方法规律】
观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异,灵
活运用诱导公式进行角的转化和化归,先化简,再计算求值.运用诱
导公式时,要抓住两点:一是函数名是否要改变,怎么改变;二是符号
怎样确定.从角的特征分析,灵活地运用诱导公式是实现解题的关键
纹样式的剪纸，将其放入直角坐标系中，如图2，
我们可以发现这个图案具有四条对称轴，它们可以
5.3诱导公式(第二课时)-课件(人教版)
因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜ 323°．
由sin β＝1 ＞0，得143°＜β＜ 180°．
5
所以cos β＝ 1 sin2 θ ＝ 1 (1)2 ＝ 2 6 ．
5
5
所以sin（37°＋α）＝sin γ＝ 2 6 ． 5
立德树人 和谐发展
计算或化简：
（1）cos
65π 6
y 的终边
2
P2 y, x
提示: 横、纵坐标互换 公式五
α的终边
O
P1(x，y)
sin(
)
cos
x
2
y=x
cos( ) sin
2
诱导公式五
探究(二 )
诱导公式六
公式六
sin(
立德树人 和谐发展
) cos
思考4： 与 有什么内在联系？
2
2
2
提示: ( )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
cos( ) sin
sin( ) cos cos 2sin sin cos
sin sin cos
tan tan 1
2
立德树人 和谐发展
必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角” 答：
角 α 0° 30° 45° 60°
角α的 0
弧度数
π 6
π 4
π 3
90°
π 2
(
3 2
)
cos
cos(32 ) sin
奇变偶不变，符号看象限.
例2已知：tan(3 ) 2 ，求值；
立德树人 和谐发展
sin( 3 ) cos( ) sin(2 ) 2 cos(2 ) sin( ) cos( )
5.3诱导公式：公式二、公式三和公式四课件(人教版)
当堂达标
6.计算下列各式的值：
(1)cosπ5＋cos25π＋cos35π＋cos45π；
(2)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)原式＝cosπ5＋cos45π＋cos25π＋cos35π ＝cosπ5＋cosπ－π5＋cos25π＋cosπ－25π ＝cosπ5－cos5π＋cos25π－cos25π＝0. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)
＝cosπ5－cos5π＋cos25π－cos25π＝0.
(2)原式＝－sin 60°＋cos (180°＋45°)＋tan (180°－45°)
＝－
3 2
－cos 45°－tan 45°＝－
3 2
－
2 2
－1＝－
3＋ 2＋2
2
.
经典例题
题型二 利用诱导公式化简
例 2 化简下列各式． (1)sinco－sπα＋－απ··scions2－π＋π－αα；(2)cocso－s139500°·°si·nta－n－21508°5 °. 解： (1)原式＝－sin－ π＋coαsα··csoinsαπ＋α ＝csionsαα··csoinsαα＝1. (2)原式＝cocso－ s138600°°＋＋1100°°··[[－－stiann138600°°＋＋3202°5]°] ＝cos10－°·[c－ost1a0n°·1s8in03°＋ 0°45°]＝－ －tsainn3405°°＝12.
诱导公式中角 α 可以是任意角， 要注意正切函数中要求 α≠kπ＋2π，k∈Z.
自主学习
思考 2：诱导公式一～四改变函数的名称吗？
诱 导 公 式(二) 课件(41张)
【解析】 当k＝2n，n∈Z时， 原式＝cos kπ＋π3＋α ＋cos kπ－π3－α ＝cos 2nπ＋π3＋α ＋cos 2nπ－π3－α ＝cos π3＋α ＋cos －π3－α ＝cos π3＋α ＋cos π3＋α ＝2cos π3＋α ；
当k＝2n＋1，n∈Z时， 原式＝cos （2n＋1）π＋π3＋α ＋ cos （2n＋1）π－π3－α ＝cos π＋π3＋α ＋cos π－π3－α ＝－cos π3＋α －cos π3＋α ＝－2cos π3＋α . 所以化简所得的结果为(－1)k2cos π3＋α .
5．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________．
【解析】f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－
3 2
.
答案：－
3 2
＝2si2nsαicno2αs＋α＋sincoαs α
＝cos sin
α（1＋2sin α（1＋2sin
α） α）
＝tan1 α
，
所以 f－263π
＝ tan
1 －263π
＝ tan
1 －4π＋6π
＝1 tan
π 6
＝
3.
答案： 3
诱导公式在三角形中的应用
【典例】在△ABC中，sin
A＋B－C 2
C．±(sin θ－cos θ)
D．sin θ＋cos θ
【解析】选A.因为 1－2sin （π＋θ）sin 32π－θ ＝ 1－2sin θcos θ ＝ （sin θ－cos θ）2 ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈2π，π ，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.
2．sin 105°＋cos 165°的值为________． 【解析】sin 105°＋cos 165°＝sin (90°＋15°)＋cos (180°－15°)＝cos 15°－cos 15° ＝0. 答案：0
当k＝2n＋1，n∈Z时， 原式＝cos （2n＋1）π＋π3＋α ＋ cos （2n＋1）π－π3－α ＝cos π＋π3＋α ＋cos π－π3－α ＝－cos π3＋α －cos π3＋α ＝－2cos π3＋α . 所以化简所得的结果为(－1)k2cos π3＋α .
5．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________．
【解析】f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－
3 2
.
答案：－
3 2
＝2si2nsαicno2αs＋α＋sincoαs α
＝cos sin
α（1＋2sin α（1＋2sin
α） α）
＝tan1 α
，
所以 f－263π
＝ tan
1 －263π
＝ tan
1 －4π＋6π
＝1 tan
π 6
＝
3.
答案： 3
诱导公式在三角形中的应用
【典例】在△ABC中，sin
A＋B－C 2
C．±(sin θ－cos θ)
D．sin θ＋cos θ
【解析】选A.因为 1－2sin （π＋θ）sin 32π－θ ＝ 1－2sin θcos θ ＝ （sin θ－cos θ）2 ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈2π，π ，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.
2．sin 105°＋cos 165°的值为________． 【解析】sin 105°＋cos 165°＝sin (90°＋15°)＋cos (180°－15°)＝cos 15°－cos 15° ＝0. 答案：0
5.3诱导公式(二)课件(人教版)
sin( + ) = −sin
cos( + ) = − cos
tan( + ) = tan
高中数学必修第一册
知识巩固
公式三：终边关于轴对称的角
sin(−) = −sin
cos(− ) = cos
tan(−) = − tan
高中数学必修第一册
知识巩固
公式四：终边关于轴对称的角
高中数学必修第一册
典例精析
例1 证明：
3
（1）(
2
− ) = − ；
3
（2）(
2
高中数学必修第一册
+ ) = .
典例精析
变式1 证明：
5
（1）(
2
− ) = ；
7
（2）(
2
高中数学必修第一册
+ ) = ；
典例精析
变式1 证明：
与角有什么关系？
y
P5
O
高中数学必修第一册
P1
x
问题探究
探究：3.直角坐标系中关于直线 = 对称的两个点的坐标之
间有什么关系？
y
y
P5
P1
P1
O
O
x
P5
y
y
x
P5
O
x
O
x
P5
P1
高中数学必修第一册
P1
知识小结
公式五：终边关于 = 对称的角
sin( − ) = cos
2
教材P195综合运用T7
在△ABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由：
（1）( + ) = ； （2）( + ) = ；
cos( + ) = − cos
tan( + ) = tan
高中数学必修第一册
知识巩固
公式三：终边关于轴对称的角
sin(−) = −sin
cos(− ) = cos
tan(−) = − tan
高中数学必修第一册
知识巩固
公式四：终边关于轴对称的角
高中数学必修第一册
典例精析
例1 证明：
3
（1）(
2
− ) = − ；
3
（2）(
2
高中数学必修第一册
+ ) = .
典例精析
变式1 证明：
5
（1）(
2
− ) = ；
7
（2）(
2
高中数学必修第一册
+ ) = ；
典例精析
变式1 证明：
与角有什么关系？
y
P5
O
高中数学必修第一册
P1
x
问题探究
探究：3.直角坐标系中关于直线 = 对称的两个点的坐标之
间有什么关系？
y
y
P5
P1
P1
O
O
x
P5
y
y
x
P5
O
x
O
x
P5
P1
高中数学必修第一册
P1
知识小结
公式五：终边关于 = 对称的角
sin( − ) = cos
2
教材P195综合运用T7
在△ABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由：
（1）( + ) = ； （2）( + ) = ；
5.3诱导公式第2课时课件(人教版)
即 =
2
2
+2k , k Z
+2k , k Z。
可知，角
2
（2）诱导公式五
sin（ ） cos
2
cos（ ） sin
2
与角α的终边关于直线y=x对称(如图所示).
P点的坐标为（x,y）
y
P1 （y , x )
P1点的坐标为（y,x）
O
P（x, y )
第五章
5.3
三角函数
诱导公式
一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
（1）正弦sinα＝ y
（2）余弦cosα＝
x
（3）正切tanα＝
y
x
诱导公式（一）
sin( k 360 ) sin
sin( 2k ) sin
－cos α
－sin α
＝－2sin α.又
π
1
cos2＋α＝3，所以－sin
2
所以原式＝－2sin α＝3.
3.
sin
α=
·sin
cos
1
α＝3.
例1.
练习
1.
2.已知 cos(
3.
6
)
3
5
，求 cos(
)的值.
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan
其中
k Z
tan( 2k ) tan
2
2
+2k , k Z
+2k , k Z。
可知，角
2
（2）诱导公式五
sin（ ） cos
2
cos（ ） sin
2
与角α的终边关于直线y=x对称(如图所示).
P点的坐标为（x,y）
y
P1 （y , x )
P1点的坐标为（y,x）
O
P（x, y )
第五章
5.3
三角函数
诱导公式
一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
（1）正弦sinα＝ y
（2）余弦cosα＝
x
（3）正切tanα＝
y
x
诱导公式（一）
sin( k 360 ) sin
sin( 2k ) sin
－cos α
－sin α
＝－2sin α.又
π
1
cos2＋α＝3，所以－sin
2
所以原式＝－2sin α＝3.
3.
sin
α=
·sin
cos
1
α＝3.
例1.
练习
1.
2.已知 cos(
3.
6
)
3
5
，求 cos(
)的值.
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan
其中
k Z
tan( 2k ) tan
5.3诱导公式(第二课时)课件(人教版)
终边过点
12
5
P13，13.
(1)求sin(α＋π)的值；
根据题意，得 sin α＝
cos α＝
5
13
5
5
12 ＝13，
2
2
＋
13
13
12
13
12
sin α 5
5
12 ＝13，tan α＝cos α＝12，
2
2
＋
13
2. 通过
∆
看∆的奇偶性，奇变偶不变：
∆为奇数则变函数名（sin变为cos，cos变为sin）
∆为偶数则不变函数名.
3. 将α看做第一象限的角，判断符号正负
（一全正、二正弦、三正切、四余弦）
化简求值
典 型 例 题 1
例1.
化简求值问题
11
(2−)(+)( +)(
作P1关于y=x轴的对称点P5，以OP5为终
边的角β与角α有什么关系？角β，α的三
角函数值之间有什么关系？
5
角α与角α的终边关于
诱导公式五
(y,x)
(x,y)
y=x
对称
？ 思考2
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终
边与单位圆交于点P1
作P5关于y轴的对称点P6，以OP6为终边的
角与角α有什么关系？
1
，且 −270°
5
< < −90° ，
跟 踪 训 练 2
已知( − )
3
(1)( + )
12
5
P13，13.
(1)求sin(α＋π)的值；
根据题意，得 sin α＝
cos α＝
5
13
5
5
12 ＝13，
2
2
＋
13
13
12
13
12
sin α 5
5
12 ＝13，tan α＝cos α＝12，
2
2
＋
13
2. 通过
∆
看∆的奇偶性，奇变偶不变：
∆为奇数则变函数名（sin变为cos，cos变为sin）
∆为偶数则不变函数名.
3. 将α看做第一象限的角，判断符号正负
（一全正、二正弦、三正切、四余弦）
化简求值
典 型 例 题 1
例1.
化简求值问题
11
(2−)(+)( +)(
作P1关于y=x轴的对称点P5，以OP5为终
边的角β与角α有什么关系？角β，α的三
角函数值之间有什么关系？
5
角α与角α的终边关于
诱导公式五
(y,x)
(x,y)
y=x
对称
？ 思考2
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终
边与单位圆交于点P1
作P5关于y轴的对称点P6，以OP6为终边的
角与角α有什么关系？
1
，且 −270°
5
< < −90° ，
跟 踪 训 练 2
已知( − )
3
(1)( + )
5.3.2 诱导公式(第二课时课件)
2
函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
函数名改变，符号看象限
作用：实现正弦函数与余弦函数的互相转化.
2 诱导公式(二)
思考：诱导公式可统一为 k (k Z) 的三角函数与α的
2
三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限
3 典型例题
例.证明： (1)
c
α
b
（ − ） =
2
2 诱导公式(二)
思考：若α为一个任意给定的角，那么
的终边与角α
的终边有什么关系？
y
2
的终边
α的终边
思考：点P1（x，y）关于
直线 y=x 对称的
点P2的坐标是什么？
O
yx
x
2 诱导公式(二)
思考：设角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），
思考：你能用简洁的语言概括一下公式五、六吗？
它们的作用是什么？
sin(
诱导公式五
诱导公式六
cos(
2
2
) cos
) sin
sin(
2
) cos
cos( ) sin
2
2 诱导公式(二)
公式概括：
的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）
2
sinα
7π
(3)cos( ＋α)＝________；
2
tanα
(4)tan(α－11π)＝________.
练一练
3π
3
2.已知 cos(
＋α)＝－ ，且α是第四象限角，
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6
引申:求值 (1)sin3150 sin(12600)cos5700 sin(8400)
(2)若tan( ) 3,求 2cos( )3sin( ) 4cos()sin(2 )
2020年10月2日
7
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：
任 意 负 角 00 ～ 3600 的 角 2 锐角三角函数 的三角函数
2020年10月2日
1
创设情境 公式一：
sin(k2)sin
函
cos(k2)cos
数 名
tan(k2)tan 其中 kZ
不 变
公式二
，
符
sin1(800 )sin
tan(180)tan
cos1(800 )cos
cot(180)cot
号 看 象
诱导公式(三)
限
sin() sin， tan()tan
cos)(cos co2s()cos
ta n)(tan tan2()tan
函数名不变，符号看象限。
注：符号是将 2020年10月2日
看成锐角时原函数的符号。 5
典例探究 例1、求下列三角函数的值：
(1) cos(1500 )(2) sin 11
6
(3)cos5100(4) tan(17 )
3
2020年10月2日
用公式 三、一
任意正角的三角函数
用公式 一
0°—360°间角的三角函数
用公式 二、四、五
0°—90°间角的三角函数
查表
求值
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汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
13
cos() 2020年10月2日 cos.
cot()cot 2
探索研究
探究 1.角1800与角 的三角函数关
s i n ( 1 8 0 ) s i n [ 1 8 0 ( ) ] s i n ( ) s i n
c o s ( 1 8 0 ) c o s [ 1 8 0 ( ) ] c o s ( ) c o s
10
诱导公式小结
公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式．
概括如下：+k360(kZ)；360；；
180, 的三角函数值，等于的同名函数值，前 面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。简化 成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
2020年10月2日
11
总结：利用诱导公式求任意角的三角函数值一般步骤
任意负角的三角函数
2020年10月2日
8
例2、化简：
(1)sin2()sin( )cos() cos()sin3()
(2)co1s 500cos(5700)tan(3300) cos(4200)sin(6900)
2020年10月2日
9
引申 :若kZ,化简
sink( )cosk()
sin(k1)co(sk1)
2020年10月2日
诱导公式(四)
sin(180 )sin
cos(180 )cos
tan(180 ) tan
cot(180 ) cot
2020年10月2日
3
探究 2.角3600与角 的三角函数
sin(360 )s in [3 6 0 ()] s in () s in cos(360 )c o s [3 6 0 ( )] c o s ( ) c o s
诱导公式(五)
sin(360)sin
cos(360)cos
tan(360 ) tan
cot(360 ) cot
2020年10月2日
4
诱导公式的记忆方法如下：
sin ()sin sin2()sin
cos ()cos tan ()tan
co2s()cos
tan2()tan
sin ()si n sin2()sin