曲线积分与路径无关性的应用

曲线积分与路径无关性的应用

摘要：本文介绍了第二型曲线积分与路径无关的四个等价条件，并结合实例说明了此定理的应用：计算曲线积分、求原函数、求微分方程的解、求微分方程中的未知函数，特别是在求未知函数的例子中，解决了与之相关的一系列利用曲线积分与路径无关性求微分方程中的未知函数的问题。

关键词：曲线积分全微分全微分方程路径

对于第二型曲线积分，一般来说其积分值不仅与积分曲线的起点和终点位置有关，而且即便是同样的起点和终点，若沿的路线不同，其积分值也可能不同。但是在一定的条件下，第二型曲线积分完全可以做到与积分曲线的路线无关，只与曲线的起点和终点位置有关，这就是下面介绍的定理：

定理设是单连通闭区域，函数在区域内连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：

(1) 沿内任一按段光滑的闭曲线，有；

(2)对内任一按段光滑的曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点和终点有关；

(3)是内某一函数的全微分；

(4)在内每一点处有。

此定理的主要应用是在求第二型曲线积分中，若在单连通闭区域内可以做到，则沿内任一按段光滑的曲线，曲线积分只与的起点和终点有关，从而可以选择合适的路线（一般是折线）。但是由于在定理的条件下，还等价于是内某一函数的全微分，故此定理还可以运用于与全微分方程相关的一些微分方程的求解。现将此定理的应用总结如下：

1 此定理可用来求曲线积分

例1 设为圆周的上半圆，顺时针方向。求曲线积分。

解：令，，则在不包含曲线的任何区域都有

由定理知，在曲线的上方或下方区域内沿任何按段光滑曲线的曲线积分与路径无关，而在曲线的上方，故只要起点和终点与相同，则沿曲线的上方任一按段光滑曲线的曲线积分都与所求积分相同。

设的起点为，终点，，，由上面的讨论可知，原曲线积分与沿折线上的曲线积分相同。故

因在区间上是奇函数，故，从而。

注意：虽然沿直线上的曲线积分计算量要少，但是与所求曲线

积分值却不同，这是因为直线含曲线上的点。因此运用此定理时要特别注意定理的条件：是单连通闭区域，在内且有一阶连续偏导数。

2 此定理可以用来求原函数

例2 应用曲线积分求的原函数。

解：这里，，所以在整个平面上有。

由定理知，沿内任一按段光滑的曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点和终点有关。为此，取的起点，终点，设，求沿折线的曲线积分得

3 此定理可以用来求微分方程的解

例3 求全微分方程的通解。

解：这里，所以在整个平面上有。因此是某一函数的全微分，类似例2的方法可知

。此时微分方程变为，因此微分方程的通解为。

例4 求微分方程的通解。

分析：此微分方程并不是全微分方程，故不能像例3那样直接运用定理。但是经过观察知，方程两边同除以后，此微分方程可变为，此方程的左端是某一函数的全微分。

解：方程两边同除以，微分方程可变为。令，则，故方程左端是某一函数的全微分。类似例2的方法可知，因此方程变为，故微分方程的通解为，即。

4 此定理可以用来求全微分方程中的未知函数

例5 设，且。为全微分方程，求未知函数。

解：这里，，由全微分方程的定义知，即，从而可得到常系数线性微分方程

。

我们只需要求出上面常系数线性微分方程的通解就求出了未知函数。下面求微分方程的通解。

此方程对应的齐次方程的特征方程为，故，因此对应的齐次方程的通解为。

又因为不是特征方程的根，故应设特解为，把它带入微分方程易得特解为，因此微分方程的通解为。

最后再由可得，由可得，故。

注：从上面的解题过程容易看出此定理可以求这样一类全微分方程中的未知函数：为全微分方程，其中，为次多项式，为常数且。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系.《高等数学》第五版.高等教育出版社.2002.7.

[2] 华东师范大学数学系.《数学分析》第二版.高等教育出版社.1991.10.