第24讲 相似与锐角三角函数(含答案)

第六章 相似与锐角三角函数

第一节 图形的相似与位似

【回顾与思考】

【例题经典】

辨别图形相似与位似

例1．下列说法中不正确的是（ ）

A．位似图形一定是相似图形; B．相似图形不一定是位似图形;

C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比; D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行

点评:本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C正确，因为一对位似对应点与位似中心共线，所以D错误．

会用定义判定相似多边形

例2．在AB=20m，AD=30m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．

（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．

（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．

点评：因为矩形每个角都为90°，所以判断矩形A′B′C′D′和矩形ABCD是否相似关键在它们的长和宽之比是否相等．灵活应用相似与位似的性质．

例3．（2006年河北省）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ 于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．

（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）；

（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m．求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．

点评：位似形的图形必相似但相似的图形不一定位似，位似对应点与位似中心共线．

【考点精练】

一、基础训练

1．如图1所示，E、F分别是平行四边形的边BC、AD的中点，且平行四边形ABFE∽平行四边形ADCB，则=_______．

(1) (2) (3)

2．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，那么最短边分别为5cm和_______cm．

3．在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图2中的阴影部分），若留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是

_________．

4．下列说法正确的是（ ）

A．矩形都是相似的 B．有一个角相等的菱形都是相似的

C．梯形的中位线把梯形分成两个相似图形 D．任意两个等腰梯形相似

5．如图3所示，内外两个矩形相似，且对应边平行，则下列结论中正确的是（ ）

A．=1 B．= C．= D．以上答案都不对

6．（2006年扬州市）如图4所示，有两个形状相同的星星图案，则x的

值为（ ）

A．15 B．12 C．10 D．8

7．如图5所示，小明将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能推算出整张报纸的长与宽的比是下面哪一个答案吗（ ）

A．：1 B．4：1 C．1：4 D．1：

(4) (5) (6)

8．下列说法正确的是（ ）

A．分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形;

B．两位似图形的面积之比等于位似比;

C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比;

D．位似图形的周长之比等于位似比的平方

9．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（ ）

A．每对对应点所在的直线相交于同一点;B．两个图形上的对应线段之比等于位似比

C．两个图形上对应线段必平行 D．两个图形的面积比等于位似比的平方

10．下列说法正确的是（ ）

A．所有的矩形都是相似形 B．所有的正方形都是相似形

C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似

11．如图6所示，有三个矩形，其中是相似形的是（ ）

A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙

二、能力提升:

12．按如下方法将△ABC的三边缩小来原来的：如图所示，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法中正确的个数是（ ）

①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；

③△ABC与△DEF是周长的比为2：1; ④△ABC与△DEF面积比为4：1

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

13．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼和小鱼是位似图形（如图所示），则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点．（ ）A．（-2a，-2b）

B．（-a，-2b）

C．（-2b，-2a）

D．（-2a，-b）

14．如图所示，点E为矩形ABCD的边AB的黄金分割点（AE>EB），且AEFD 为正方形．

问：矩形ABCD和矩形EFCB相似吗？为什么？

15．（2006年淮安市）如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，-1），（2，1）．

（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的位似比为2），画出图形；

（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；

（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．

三、应用与探究:

16．印刷一张矩形的张贴广告，如图所示，它的印刷面积是32分米2，上下空白各1分米，两边空白各0.5分米．设印刷部分从上到下的长是x 分米，四周空白处的面积为5分米．

（1）求S与x的关系式．

（2）当要求四周空白处的面积为18分米2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？

（3）在（2）的条件下，内外两个图形是位似图形吗？