第十三章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法ppt

用满足(13-10)及余下的边条定系数 综合逆法、半逆法或正解法 解决复杂边条复杂荷载的板问题
5. 有限元法 6. 差分法 7. 变分法
二、逆法解题算例
1.分析边条 2.满足边条选取w(x,y) （含待定系数） 3.满足方程定系数 4.欲求内力把w代入(13-12)
一.建立问题的边界条件
1）边界方程
板壳力学
Mechanics of Plate and Shell
§ 13-2 弹性曲面的微分方程
wq
三个位移 六个应变 六个应力
u(w), v(w), w
x (w), y (w), xy (w) z xz yz
x (w), y (w), z (w), xy (w), xz (w), yz (w)
z


x y
2 xy

z
板壳力学
3
则


x y



x y


z

xy

2

xy

几何方程
板壳力学
4
关于 x 的说明：
x


2w x2

0
x向近似曲率
板壳力学
5
（二）用w表示应力分量
主要应力
2w
x2 a2

y2 b2
1
2）边界条件
w 0 x2
a2

y2 b2
1
w n
0
x2 a2

y2 b2
1
二.选取满足边条的挠度表达式
选取
w

m

x2 a2

y2 b2
2 1

检验
x2 y2 1 a2 b2
时
w m02 0
w w w


x y
xy


E
1 2
1

0


1
0

0 0
1


Leabharlann Baidu
x y


xy



1
Ez

2
1

0
2

1 0
0 0
1


x2 2w y 2
2w

x2 a2b2

1 b2



3y2 a4

y2 a2b2

1 a2

§13-6 双正弦级数解法—Navier
法
（逆法经
典解法之一）
适用范围 优点 缺点
慢
四边简支 矩形 任意横向荷载 思路明确 解法简洁 只适用于四边简支矩形薄板收敛
解法步骤
一 建立问题的边条
课程回顾
1.Navier法把挠度设为什么形式？
2.Navier法的适用范围？
3.Navier法所设的挠度预先满足什么？
w中的
如何确定？
4.如果遇到的不是四边简支的矩形薄板
而是对边简支对边为任意边界的矩形薄 板
怎样选取挠度函数呢
q(x,y)
边界条件 对边简支 对边任意 矩形 荷载条件 任意横向 优点 思路明确 适用面较Navier略宽 缺点 确定边条更加复杂的薄板仍力不从心
O
bz
a
写出x=a边界条件
C x 及B点和C点角点条件
A
B
y
O
b
z
A y
a
C
B

x 写出x=a边界条件 BC边
B点
§13-5 解法概述 逆法算例
一、解法概述
*1.正解法
*2.逆解法
*3.半逆法 的w
4. 迭加法
从方程解出含有待定系数的w 满足边界条件确定系数 预先满足边条选取具有待定系数w 用满足(13-10)定系数 预先满足部分边条选取有待定系数
n x y

2m

x2 a2

y2 b2
1

2x a2

2m

x2 a2

y2 b2
1

2y b2
0
三.确定待定系数m
D4w q
4w

4w x4

2
4w x2y
2

4w y 4
4w
24 a4
m

2
a
8 2b2

24 b4 m
代入方程
w代入（13-12）求内力
Mx


2
3 a4

q0 2
a2b2

3 b4


3x2 a4

y2 a2b2

1 a2




3y2 b4

x2 a2b2

1 b2

Mx


2
3 a4

q0 2
a2b2

3 b4


3x2 b4
轴对称弯曲条件 几何 材料 边条 载荷均关于z轴对称
则挠度
弹性曲面微分方程为
齐次解 解
特解
外域解
内域解
关于解的说明
1.(13-36)是环形薄板的解 四个待定系数分别由内、外两个边条定解
2.若为圆板则解中的 解为
，导致 实际
实际
，导致
不符合 不符合
3.若圆板中心有集中力p作用或有支撑则 应保留 项
二 满足边条选取 wx, y, Am
w

m1
n1
Am
sin
m
a
x
sin
n
b
x
三 确定待定系数 Am 将w代入(13-10)令其满足以下推导
D 4
Am

m2 a2

n2 b2
2
sin
m x sin
a
n y
b

q x,
y
q

x,
y


1.体现薄板内力特征(只有弯曲内力) 截面三个弯曲内力 截面三个弯曲内力
2.弯曲内力量纲 弯矩、扭矩为[力] 剪力为[力][长度]
3.弯曲内力与挠度的关系
是w的二阶偏导数 是w的二阶偏导数 是w的三阶偏导数
5.内力与应力的显式关系
例
梁与板的对照
A
A
M
y
AA
z
x
M
A yA
二.建立(13-10)的第二条路径 ——内力与横向载荷平衡
板壳力学
2
（一）用w表示应变


x y
xy



u x v y u y
v x



2
2w x2 2w y 2
2w xy

方程 边条
问题2
解答
图示
原问题 问题1 问题2 问题3
方程 边条
解答
图示
原问题 问题1 问题2 问题3
方程 边条
解答
例 原问题 = 问题1 + 问题2
为定 需满足原问题的边界条件
满足转角条件确定 由 及
分别对 及 求y的一阶偏导代入边条
将 代入 中
问题的解为
§13-8 圆形薄板弯曲
（分离变量）
中心不开孔，为了不至中心挠度无限大
则全解为


xy
板壳力学
6
次要应力

w x yx zx X 0
x y z
zx
w y zy xy Y 0
zy
y z x


z
z
得到 (13-10)
板弯曲问题基本方程
(1310)
板的边界条件分类
板的边界 支撑情况 图示
条件分类
固支边
抗弯抗扭 刚度均很大
简支边
抗弯刚度大 抗扭刚度小
自由边
抗弯抗扭 刚度均小
强自由边 抗弯适中
抗扭小
讨论
若y=b分布 扭矩转换产 生角点力 方向 量纲
关于定解条件的说明
1.角点力 角点条件 角点力产生——自由边扭矩等效转换为 横向剪力时未被抵消的

xz
x
yz
y

Z
z w z t 2
0
定Fz x, y
板壳力学
7
（三）薄板的弹性曲面微分方程
下面就利用薄板上板面的边界条件建立挠 曲面w(x,y)与外荷载的关系式，设板的顶 面承受荷载q(x.y)，并规定荷载向下为正， 而底面不承受荷载。
板壳力学
8
在薄板的上表面有边界条件 z z t q 2 q x, y
弹性曲面微分方程
矩形板 直极坐标转换
圆形板
内力（弯曲内力）
矩形板
圆形板
边界条件
固支
矩形板
简支
自由
强自由 角点 条件
圆形板
无 扇形板有
说明： 1.分类相同 2.自由边扭矩转换为等效横向剪力
相同
3.用内力和位移表示边条相同 4.圆板没有角点条件
扇形板有角点条件
§13-9 圆形薄板轴 对称弯曲问题
一 边界条件
支）
任意边界（固支或自由或简 任意边界（固支或自由或简
二 选取w(x,y)
原则 1.满足部分边条 x=const 2.含有待定系数（为y的函数）
满足（13-10）
定
满足
边条
三 定w中的函数
将所设w带入(13-10)得
荷载展开
代回 四 求内力
由
边条定
§13-补充叠加法
图示
原问题
问题1
（3）能量原理
板壳力学
11
3． 关于D，是薄板的抗弯刚度，单位 （力*长度）
4． 关于q，单位（力*长度 ），沿着 z方向为正
t
q z 2 zdz
面力
t2
体力
板壳力学
12
§13-3 薄板应力和内 力相互关系
复习
薄板弹性曲面微分方程
一.应力 内力
(13-12)
关于(13-12)的说明

2
4w x2y2

4w y4


q
(13-10)
板壳力学
10
关于 D4w q 的几点说明
1．是严格从弹力平衡方程导出的，其本质是 板的静力平衡方程，方程的右边是单位面 积上的横向载荷，左边是单位面积上的弹 性抗力。
2．推导途径有三条：（1）课程所述
（2）建立内力与荷载
平衡关系
力
角点条件 两个自由边相交必须提出一个角点条
件 三个自由边则要提出两个角点条件
角点条件类型 （1）若B点有支撑 （2）若B点有支撑沉陷 （3）若B点无支撑 （4）若B点有集中力
2.角点力能否与弯曲内力 叠加？ 3.角点力能否与 叠加？ 4.自由边扭矩转换为等效横向剪力与 合
并为
5.写出下列板的边界条件
0
§13-10 圆形板 轴对称问题算例
序 算例 号 1
2
3
4
载荷 解答
定解条件 特解
序 算例 号 5 6
7
8
载荷 解答
无均 布载 荷 无均 布载 荷
上 下
定解条件 特解
§13-11 圆形薄板在 静水压力下的弯曲
一.问题的提出
二.求解反对称荷载作用下的
1.载荷函数
2.方程
3.特解
求出
4.齐次解


Cmn
sin
m
a
x
sin
n
b
y
Cmn

4 ab
a 0
b q x, y sin m x sin n y dxdy
0
a
b
Amn
Cmn
D 4

m2 a2

n2 b2
2

四 Amn 回代w定解
五w (13 12)
§13-7 单正弦级数解 —levy法及叠加法
8Dm

3 a4

2 a2b2
3 b4


q0
m
q0
8D

3 a4

2 a2b2

3 b4

四.m代入所设w
w

8D

3 a4
q0

2 a2b2

3 b4


x2 a2

y2 b2
2
1

这是周边固支椭圆板 在均布荷载下的挠度表达式
六.求内力
x
t
2
y
t
2
z
板壳力学
9

t
2

t
代入(13-9)得到：
Et 3
6 1 2

1 2

2 t

1
2 t

4
w


q


Et3 4w q
12 1 2
(13-10)
或 D4w q
(13-10)
或
D

4w x4