第十三章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法ppt
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薄板弯曲问题
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
说明任意根法线上,
z
w z
0
w
w( x,
y)
薄板全厚的所有各点 具有相同的挠度
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
2
xz
w x
u z
0
yz
w y
v z
0
结论：
u w z x
v w z y
弯曲变形前垂直于中面的法线，变形后仍为直线，且 长度不变，称为直法线假定，它和梁弯曲的平面假定 类似。
b、薄板弯曲时，垂直于板面的应力分量z很小，可以 忽略不计，纵向间无挤压，所以物理方程与平面问题
的物理方程完全一样。
z
xz
6 FSx t3
t2 (
4
z2)
yz
6FSy t3
(t2 4
z2)
z
2q( 1 2
z )2 (1 t
z) t
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
17
各应力最大值
x , y , xy
x z , yz
( x )z t 2
6M x t2
( y )z t 2
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
4
三、弹性曲面的微分方程
薄板的小挠度弯曲问题，采用按位移求解，所以，取 薄板挠度w为基本未知量
1、用w表示应力，应变和位移
u w
z
x
v w z y
v
w y
薄板屈曲1
x y
Ez 1 2 Ez 1 2
xy yx
Ez 2 w 1 xy
（5）
为了计算板中内力，取出板的单元体如图 2a 所示。微元体侧面上的应力的合力矩 就是板中的弯矩 M x 、 M y 和扭矩 M xy （图 2b）。分别按下列各式求得 M x 、 M y 和 M xy ：
图 2a
图 2b
Mx
t/2
t / 2
x zdz y zdz
t/2
My
t/2
t / 2
M xy M yx
t / 2
xy zdz
以式（5）表示的应力分量代入上式，因 w w( x, y ) ，不随 z 变化，积分后可得
2w 2w M x D x 2 y 2 2w 2w M y D y 2 x 2 M xy M yx D(1 ) 2w xy
m 4 4 m 2 n 2 4 n 4 4 p x m 2 2 2 4 0 D a2 a4 a 2b 2 b
7
即
D 2 px 2 b
mb n 2 a a mb
2
（f）
临界载荷应是使板发生微弯的最小载荷，因而设微弯时沿 y 方向的半波数 n 1 ，于是
Q x Q y x y dxdy
（g）
将式（f）和式（g）相加，化简后得平衡条件 z 0 为
5
Q x Q y 2w 2w 2w N x 2 2 N xy Ny 2 0 x y xy x y
由图 4b 所示微元体，对 x 轴的力矩平衡条件 M x 0 ，得
2
圆形薄板的弯曲问题
0
x x0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：
y0 0, M y y0 0
后者可表示为
2w
y 2
2w
x2
＝0
由于沿边界的挠度为常值0，故沿x后 的导数恒为零，边界条件又可表示为
2w ＝0
y 2
情况三：假设薄板具有简支边界。边界上具有力矩载荷M。这时，边界 处的挠度等于零，而弯矩等于力矩载荷。即：
（3）、薄板中面内的各点都没有 平行于中面的位移，即：
u z0 0, z0 0
所以由几何方程可以得出：
x z0 0,
y z0 0, 0 xy z0
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它 在xy面上投影的形状却保持不变。
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。
由于薄板不受横向载荷，所以特解可取零。内外两边界处有四个边界条件。 内边界处挠度和弯矩等于零，外边界处弯矩等于均布力矩载荷M，总剪力等于零。 即
a 0, M a 0 M b M , V b 0
其中，扭矩Mρφ可以变换成等效剪力
与横向剪力Qr合并而成总的剪力即：
V
Q
1
M
z
xy
u y
v x
2
2w xy
z
x
Ez
1
2
2w x 2
2w y 2
y
Ez
1
2
2w y 2
2w x 2
xy
Ez
1
2w xy
另由平衡方程可得
即 积分得
zx x yx
z
x y
zy y xyx
z
y x
zx
弹性薄板的小挠度弯曲课件
践指导。
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。
板壳理论chapter 弹性薄板弯曲的基本理论ppt课件
(1.3.1) (1.3.2)
(1.3.3)
3
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
固支边界
ww0 (y0) y
(1.3.4)
自由边界
边界上没有外载荷作用
M y M yx Q y 0(y b )
(1.3.5)
4
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
在薄板弯曲的近似理论中，可以将(1.3.5)中的 后两个条件合并为一个。
0
w y
4m b2
y
x2 a2
y2 b2
1
0
wwxwy n xn y n
(1.4.3) (1.4.4)
可见挠曲函数同样满足了在边界上 w 0的条件。 14
n
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
（4）确定挠度函数 将式(1.4.2)代入薄板的微分方程中，得
微分方程的解还需要满足角点条件,即在x=a, y=b
处 2w 0 xy
(1.3.12)
如果在B点处有支座可以对薄板施加反力，则有 下述角点条件,即在x=a, y=b处
w0
(1.3.13)
此时反力大小由(1.3.11)式给出。
9
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
边界条件
固支边界
ww0 (y0) y
a
x
b
y
图1.6 周边固支的椭圆板
12
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
解：（1）薄板的微分方程
D 2 2wD 4 x w 42x 2 4 w y2 4 yw 4 q
（2）边界条件 w w 0
n
（3）取满足边界条件挠度函数
其边界方程可以表示为
薄板弯曲1
2
x xy xz yz y
34
显然，沿着薄板的厚度，应力分量 x , y , xy的最大值
发生在板面， xz 和 yz的最大值发生在中面，而 z之最大值 发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中，
x , y , xy 在数值上较大，因而是主要应力； xz及 yz数值较
由几何方程得
x z0 0, y z0 0, xy z0 0
z 0
17
（4）应力 z 对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为
小挠度薄板
几何特征 载荷形式
变形特点
1/80≤d/b≤0.5 垂直于薄板中面的横向载荷
挠度小于厚度的五分之一
基尔霍夫假设
uz=0=0，vz=0=0，w=w(x, y)
W 0，从而有： z
W W x, y
即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的 挠度。 （2）中面法线保持不变假设
16
在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂 直于弯曲后的中面。即
xz 0,
（3）中面为中性层假设 即
yz 0
u z0 0, vz0 0
25
将应力分量用挠度 w 表示，得：
2w 2w x 2 y 2 z E 2w 2w 2 2 y z 2 1 y x E x 1 2
xy
E 2w z 1 xy
程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 w，可以给出各 应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。
12M y 12M x z, y z 3 3 t t 12M xy z 3 t 6Qx t 2 2 3 z t 4 6Q y t 2 2 3 z t 4 z 1 z 2q 1 t 2 t
x xy xz yz y
34
显然，沿着薄板的厚度，应力分量 x , y , xy的最大值
发生在板面， xz 和 yz的最大值发生在中面，而 z之最大值 发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中，
x , y , xy 在数值上较大，因而是主要应力； xz及 yz数值较
由几何方程得
x z0 0, y z0 0, xy z0 0
z 0
17
（4）应力 z 对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为
小挠度薄板
几何特征 载荷形式
变形特点
1/80≤d/b≤0.5 垂直于薄板中面的横向载荷
挠度小于厚度的五分之一
基尔霍夫假设
uz=0=0，vz=0=0，w=w(x, y)
W 0，从而有： z
W W x, y
即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的 挠度。 （2）中面法线保持不变假设
16
在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂 直于弯曲后的中面。即
xz 0,
（3）中面为中性层假设 即
yz 0
u z0 0, vz0 0
25
将应力分量用挠度 w 表示，得：
2w 2w x 2 y 2 z E 2w 2w 2 2 y z 2 1 y x E x 1 2
xy
E 2w z 1 xy
程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 w，可以给出各 应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。
12M y 12M x z, y z 3 3 t t 12M xy z 3 t 6Qx t 2 2 3 z t 4 6Q y t 2 2 3 z t 4 z 1 z 2q 1 t 2 t
薄板弯曲问题-浙江大学共36页PPT资料
从薄板内取出一个平行六面体，
它的三边长度分别为d x , d y和板的厚度
图（9－2）
在x为常量的横截面上，作用着 x , y , xz 在该截面的每单位宽度上，应力分量 x
a
对中面合成为弯矩 M x
2 a
z
x
dz
2
将式（9－4）中的第一式代入并对z进行积分，得
M x 1 E 2 2 x w 2 2 y w 2 a 2 a 2 z 2 d z 1 2 ( 1 E 32 ) 2 x w 2 2 y w 2
0 取 z
由几何方程的第三式得 w0wwx,y
z
结论：中面的任一根法线上的各点都有相同的横向位移，也就等于挠度
2）应力分量 xz , yz , z 远小于其余的3个应力分量
所引起的形变可以忽略不计
z 0,zx 0,yz 0
从而有 u w,v w z x z y
可见：中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线
x
12M 3
x
z,
y
12M 3
y
z,
xy
yx
12M 3
xy
z,
zx
6 FSx 3
2
4
z2
,
yz
6 FSy 3
2 4
z2
,
z
2
q
1 2
z
2
1
z
。
（9－11）
• 由内力表示的平衡微分方程
Qx Qy q0 x y
Mx x
M yyxQx
0
MxyMy x y
Qy
0
2M x2x22x M yxy 2M y2yq0
薄板的物
第十三章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法ppt
而是对边简支对边为任意边界的矩形薄 板
怎样选取挠度函数呢
q(x,y)
边界条件 对边简支 对边任意 矩形 荷载条件 任意横向 优点 思路明确 适用面较Navier略宽 缺点 确定边条更加复杂的薄板仍力不从心
一 边界条件
支）
任意边界（固支或自由或简 任意边界（固支或自由或简
二 选取w(x,y)
原则 1.满足部分边条 x=const 2.含有待定系数（为y的函数）
，导致 实际
实际
，导致
不符合 不符合
3.若圆板中心有集中力p作用或有支撑则 应保留 项
0
§13-10 圆形板 轴对称问题算例
序 算例 号 1
2
3
4
载荷 解答
定解条件 特解
序 算例 号 5 6
7
8
载荷 解答
无均 布载 荷 无均 布载 荷
上 下
定解条件 特解
§13-11 圆形薄板在 静水压力下的弯曲
件 三个自由边则要提出两个角点条件
角点条件类型 （1）若B点有支撑 （2）若B点有支撑沉陷 （3）若B点无支撑 （4）若B点有集中力
2.角点力能否与弯曲内力 叠加？ 3.角点力能否与 叠加？ 4.自由边扭矩转换为等效横向剪力与 合
并为
5.写出下列板的边界条件
O
bz
a
写出x=a边界条件
C x 及B点和C点角点条件
4． 关于q，单位（力*长度 ），沿着 z方向为正
t
q z 2 zdz
面力
t2
体力
板壳力学
12
§13-3 薄板应力和内 力相互关系
复习
薄板弹性曲面微分方程
一.应力 内力
(13-12)
板壳理论ppt课件
– 弯矩和扭矩： N – 剪力： N/m
26
§1.3 薄板的内力和应力
各应力分量与薄板内力及横向载荷的关系：
x
12M x t3
z
y
12M y t3
z
xy
yx
12M xy t3
z
xz
6Qx t3
t2 4
z2
yz
6Qy t3
t2 4
M
xy
M xy x
dx
dx
变换为一个力偶，力为
F点合M成xy为 向Mx下xy 的dx 合力
u z w v z w 由几何方程得应x变分量：y
x
u x
z
2w x2
y
v y
z
2w y2
xy
v x
u y
2z
2w yx
11
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由于是小挠度，所以弹性曲面的曲率和扭率用
w表示为：
x
2w x2
y
2w y2
xy
2
2w yx
应变分量用曲率和扭率表示为：
x zx y z y xy zxy x , y , xy 为板的广义应变。
12
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由物理方程得应力分量为：
x
E
1 2
x y
17
§1.2 薄板弯曲的基本方程
26
§1.3 薄板的内力和应力
各应力分量与薄板内力及横向载荷的关系：
x
12M x t3
z
y
12M y t3
z
xy
yx
12M xy t3
z
xz
6Qx t3
t2 4
z2
yz
6Qy t3
t2 4
M
xy
M xy x
dx
dx
变换为一个力偶，力为
F点合M成xy为 向Mx下xy 的dx 合力
u z w v z w 由几何方程得应x变分量：y
x
u x
z
2w x2
y
v y
z
2w y2
xy
v x
u y
2z
2w yx
11
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由于是小挠度，所以弹性曲面的曲率和扭率用
w表示为：
x
2w x2
y
2w y2
xy
2
2w yx
应变分量用曲率和扭率表示为：
x zx y z y xy zxy x , y , xy 为板的广义应变。
12
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由物理方程得应力分量为：
x
E
1 2
x y
17
§1.2 薄板弯曲的基本方程
板壳理论--薄板小挠度弯曲问题及经典解法 ppt课件
PPT课件
z2(E 1 4 w 2)t4 2(z2 t)1 3(z38 t3 6(1E t3 2)(1 2zt)21zt4w
在薄板的上边界代入外荷载q
z
q
zt 2
Et3
12(1 2
)
4w
q
D
Et3
12(1
2)
称为薄板的弯曲刚度，量纲为[力][长度]
D4w q
薄板的弹性曲面微分方程
24
PPT课件
z z 2 ( 1 E 2 )(z 2 t4 2 ) ( x 4 w 4 x 2 4 w y 2 ) ( y 2 4 w x 2 y 4 w 4 )
z E (z2 t2) (4 w 2 4 w 4 w ) z 2 (1 2) 4 x4 x2 y2 y4
u w v w 积分 z x z y
uwz x
f1(x,
y)
vwz y
f2(x,
y)
13
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
uwz x
f1(x,
y)
w
v y
z
f2(x,
y)
u 0, z0
u w z x
v 0 z0 v w z y
14
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
x ux,y yv,z wz,xyxvuy,
Ez2
1 2
x
2w
F1
x,
y
zy
2
Ez2
1 2
y
2
w
F2
x,
y
zy z t 0 2
zx z t 0 2
F1x,y81Et22
2w x
F2x,y81Et22
薄板的小挠度弯曲问题
薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。
二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。
首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。
对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。
5.薄板弯曲问题
w u z x v z w y
2w 分别表示薄板 u 2 弯曲曲面在x， x y方向的曲率 x x 2w v y z 2 z y y xy u v 2w 表示薄板弯曲 2 曲面在x，y方 xy y x 向的扭率
2 2 2 3
13
5-2 薄板弯曲的矩形单元
待定系数：利用12个节点位移值可待定12个系
数，整理w(x,y)为插值函数形式：
w( x, y ) Ni wi N xi xi N yi yi Nl wl N xl xl N yl yl
其中，
N
e
N m N l
7 x3 8 x 2 y 9 xy 2 10 y 3 11 x3 y 12 xy 3
12
5-2 薄板弯曲的矩形单元
另两个转角为：
z
u z y
y
x
w x
x w y y w x
变形后 的直线
3 5 x 2 6 y 8 x 2 2 9 xy 310 y 2 11 x3 312 xy 2 ( 2 2 4 x 5 y 3 7 x 2 8 xy 9 y 311 x y 12 y )
刚度矩阵 1）应变矩阵
w( x, y ) N
e
N yi ]
[ N ]112 N i N j
N m N l
N xi
[ N i ]13 [ N i
2w u 2 2 2 x x x 2w v 2 z 2 z 2 [ N ]{ e } y y y u v 2w 2 2 2 xy xy y x z Bi B j
薄板弯曲问题
M y zdzdx
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
扭矩
M
' yx
yx zdzdx
- h/2
h/2
内力与应力的关系
Mx 3 Eh M My 2 12 1 M xy 1 0
2
x y z xy
弯扭变形列阵
几何方程
2w 2 2 4 6 7 x 2 8 y 611xy x 2 w 2 2 6 2 9 x 610 y 612 xy x 2 w 2 x 2 y 3 x 2 3 y 2 5 8 9 11 12 xy
N x1 i 1 0
b2 c2 d 2 0 N x1 1 N x1 0 (2) y b i 2 a2 e2 N x1 最后利用本点1，确 0 (3) , (4) x i 4,1 定a2=b/8，代回
(1)
弹性薄板矩形（R12）单元
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的形函数可以用 广义坐标法，也可以用试 凑法得到。由于单元自由 度为12，因此可有12个广 义坐标，位移模式可设为 如下不完全四次多项式
Q1 1 Mx1 4
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 2 2 3 3 3 a8 x y a9 xy a10 y a11 x y a12 xy
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
扭矩
M
' yx
yx zdzdx
- h/2
h/2
内力与应力的关系
Mx 3 Eh M My 2 12 1 M xy 1 0
2
x y z xy
弯扭变形列阵
几何方程
2w 2 2 4 6 7 x 2 8 y 611xy x 2 w 2 2 6 2 9 x 610 y 612 xy x 2 w 2 x 2 y 3 x 2 3 y 2 5 8 9 11 12 xy
N x1 i 1 0
b2 c2 d 2 0 N x1 1 N x1 0 (2) y b i 2 a2 e2 N x1 最后利用本点1，确 0 (3) , (4) x i 4,1 定a2=b/8，代回
(1)
弹性薄板矩形（R12）单元
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的形函数可以用 广义坐标法，也可以用试 凑法得到。由于单元自由 度为12，因此可有12个广 义坐标，位移模式可设为 如下不完全四次多项式
Q1 1 Mx1 4
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 2 2 3 3 3 a8 x y a9 xy a10 y a11 x y a12 xy
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
弹性力学-第十三章 薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法
第十三章 薄板的小挠度弯曲问题及 其经典解法
要点：
（1）弹性薄板的挠曲面微分方程建立； （2）弹性薄板问题的解法：纳维（Navier C. L. ）
解法、李维（Levy, M.）解法等； （3）圆形薄板极坐标求解、变厚度板的近似求解等。
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-1 有关概念及基本假定 §13-2 弹性曲面的微分方程 §13-3 薄板横截面上的内力及应力 §13-4 边界条件 扭矩的等效剪力 §13-5 简单例题 §13-6 简支边矩形薄板的纳维叶解 §13-7 矩形薄板的李维解法及一般解
1 E
(
x
1 E
(
y
2(1
E
y
x ) xy
) )
(13-3)
——与平面应力问题
的物理方程相同
（1）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z
引起的形变；但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。
（2）薄板弯曲问题与平面应力问题的物理方程相同，但
沿板厚方向，对于 x , y , xy ，平面应力问题的
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-8 圆形薄板的弯曲 §13-9 圆形薄板的轴对称弯曲 §13-10 轴对称弯曲问题的实例 §13-11 圆形薄板在静水压力下的弯曲
§13-12 变厚度矩形薄板
§13-13 变厚度圆形薄板
§13-14 文克勒地基上基础板 §13-15 薄板的温度应力
和扭矩 M xy 。
（3）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z 引起的形变 zx , zy , z ，即
zx zy z 0
表明：中面法线在薄板弯曲时，保持不伸缩，并 成为弹性曲面的法线。
要点：
（1）弹性薄板的挠曲面微分方程建立； （2）弹性薄板问题的解法：纳维（Navier C. L. ）
解法、李维（Levy, M.）解法等； （3）圆形薄板极坐标求解、变厚度板的近似求解等。
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-1 有关概念及基本假定 §13-2 弹性曲面的微分方程 §13-3 薄板横截面上的内力及应力 §13-4 边界条件 扭矩的等效剪力 §13-5 简单例题 §13-6 简支边矩形薄板的纳维叶解 §13-7 矩形薄板的李维解法及一般解
1 E
(
x
1 E
(
y
2(1
E
y
x ) xy
) )
(13-3)
——与平面应力问题
的物理方程相同
（1）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z
引起的形变；但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。
（2）薄板弯曲问题与平面应力问题的物理方程相同，但
沿板厚方向，对于 x , y , xy ，平面应力问题的
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-8 圆形薄板的弯曲 §13-9 圆形薄板的轴对称弯曲 §13-10 轴对称弯曲问题的实例 §13-11 圆形薄板在静水压力下的弯曲
§13-12 变厚度矩形薄板
§13-13 变厚度圆形薄板
§13-14 文克勒地基上基础板 §13-15 薄板的温度应力
和扭矩 M xy 。
（3）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z 引起的形变 zx , zy , z ，即
zx zy z 0
表明：中面法线在薄板弯曲时，保持不伸缩，并 成为弹性曲面的法线。
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课程回顾
1.Navier法把挠度设为什么形式？
2.Navier法的适用范围？
3.Navier法所设的挠度预先满足什么？
w中的
如何确定？
4.如果遇到的不是四边简支的矩形薄板
而是对边简支对边为任意边界的矩形薄 板
怎样选取挠度函数呢
q(x,y)
边界条件 对边简支 对边任意 矩形 荷载条件 任意横向 优点 思路明确 适用面较Navier略宽 缺点 确定边条更加复杂的薄板仍力不从心
方程 边条
问题2
解答
图示
原问题 问题1 问题2 问题3
方程 边条
解答
图示
原问题 问题1 问题2 问题3
方程 边条
解答
例 原问题 = 问题1 + 问题2
为定 需满足原问题的边界条件
满足转角条件确定 由 及
分别对 及 求y的一阶偏导代入边条
将 代入 中
问题的解为
§13-8 圆形薄板弯曲
2
4w x2y2
4w y4
q
(13-10)
板壳力学
10
关于 D4w q 的几点说明
1．是严格从弹力平衡方程导出的，其本质是 板的静力平衡方程，方程的右边是单位面 积上的横向载荷，左边是单位面积上的弹 性抗力。
2．推导途径有三条：（1）课程所述
（2）建立内力与荷载
平衡关系
z
x y
2 xy
z
板壳力学
3
则
x y
x y
z
xy
2
xy
几何方程
板壳力学
4
关于 x 的说明：
x
2w x2
0
x向近似曲率
板壳力学
5
（二）用w表示应力分量
主要应力
2w
一 边界条件
支）
任意边界（固支或自由或简 任意边界（固支或自由或简
二 选取w(x,y)
原则 1.满足部分边条 x=const 2.含有待定系数（为y的函数）
满足（13-10）
定
满足
边条
三 定w中的函数
将所设w带入(13-10)得
荷载展开
代回 四 求内力
由
边条定
§13-补充叠加法
图示
原问题
问题1
轴对称弯曲条件 几何 材料 边条 载荷均关于z轴对称
则挠度
弹性曲面微分方程为
齐次解 解
特解
外域解
内域解
关于解的说明
1.(13-36)是环形薄板的解 四个待定系数分别由内、外两个边条定解
2.若为圆板则解中的 解为
，导致 实际
实际
，导致
不符合 不符合
3.若圆板中心有集中力p作用或有支撑则 应保留 项
（3）能量原理
板壳力学
11
3． 关于D，是薄板的抗弯刚度，单位 （力*长度）
4． 关于q，单位（力*长度 ），沿着 z方向为正
t
q z 2 zdz
面力
t2
体力
板壳力学
12
§13-3 薄板应力和内 力相互关系
复习
薄板弹性曲面微分方程
一.应力 内力
(13-12)
关于(13-12)的说明
n x y
2m
x2 a2
y2 b2
1
2x a2
2m
x2 a2
y2 b2
1
2y b2
0
三.确定待定系数m
D4w q
4w
4w x4
2
4w x2y
2
4w y 4
4w
24 a4
m
2
a
8 2b2
24 b4 m
代入方程
1.体现薄板内力特征(只有弯曲内力) 截面三个弯曲内力 截面三个弯曲内力
2.弯曲内力量纲 弯矩、扭矩为[力] 剪力为[力][长度]
3.弯曲内力与挠度的关系
是w的二阶偏导数 是w的二阶偏导数 是w的三阶偏导数
5.内力与应力的显式关系
例
梁与板的对照
A
A
M
y
AA
z
x
M
A yA
二.建立(13-10)的第二条路径 ——内力与横向载荷平衡
O
bz
a
写出x=a边界条件
C x 及B点和C点角点条件
A
B
y
O
b
z
A y
a
C
B
x 写出x=a边界条件 BC边
B点
§13-5 解法概述 逆法算例
一、解法概述
*1.正解法
*2.逆解法
*3.半逆法 的w
4. 迭加法
从方程解出含有待定系数的w 满足边界条件确定系数 预先满足边条选取具有待定系数w 用满足(13-10)定系数 预先满足部分边条选取有待定系数
板壳力学
Mechanics of Plate and Shell
§ 13-2 弹性曲面的微分方程
wq
三个位移 六个应变 六个应力
u(w), v(w), w
x (w), y (w), xy (w) z xz yz
x (w), y (w), z (w), xy (w), xz (w), yz (w)
x2 a2
y2 b2
1
2）边界条件
w 0 x2
a2
y2 b2
1
w n
0
x2 a2
y2 b2
1
二.选取满足边条的挠度表达式
选取
w
m
x2 a2
y2 b2
2 1
检验
x2 y2 1 a2 b2
时
w m02 0
w w w
w代入（13-12）求内力
Mx
2
3 a4
q0 2
a2b2
3 b4
3x2 a4
y2 a2b2
1 a2
3y2 b4
x2 a2b2
1 b2
Mx
2
3 a4
q0 2
a2b2
3 b4
3x2 b4
（分离变量）
中心不开孔，为了不至中心挠度无限大
则全解为
得到 (13-10)
板弯曲问题基本方程
(1310)
板的边界条件分类
板的边界 支撑情况 图示
条件分类
固支边
抗弯抗扭 刚度均很大
简支边
抗弯刚度大 抗扭刚度小
自由边
抗弯抗扭 刚度均小
强自由边 抗弯适中
抗扭小
讨论
若y=b分布 扭矩转换产 生角点力 方向 量纲
关于定解条件的说明
1.角点力 角点条件 角点力产生——自由边扭矩等效转换为 横向剪力时未被抵消的
力
角点条件 两个自由边相交必须提出一个角点条
件 三个自由边则要提出两个角点条件
角点条件类型 （1）若B点有支撑 （2）若B点有支撑沉陷 （3）若B点无支撑 （4）若B点有集中力
2.角点力能否与弯曲内力 叠加？ 3.角点力能否与 叠加？ 4.自由边扭矩转换为等效横向剪力与 合
并为
5.写出下列板的边界条件
x2 a2b2
1 b2
3y2 a4
y2 a2b2
1 a2
§13-6 双正弦级数解法—Navier
法
（逆法经
典解法之一）
适用范围 优点 缺点
慢
四边简支 矩形 任意横向荷载 思路明确 解法简洁 只适用于四边简支矩形薄板收敛
解法步骤
一 建立问题的边条
0
§13-10 圆形板 轴对称问题算例
序 算例 号 1
2
3
4
载荷 解答
定解条件 特解
序 算例 号 5 6
7
8
载荷 解答
无均 布载 荷 无均 布载 荷
上 下
定解条件 特解
§13-11 圆形薄板在 静水压力下的弯曲
一.问题的提出
二.求解反对称荷载作用下的
1.载荷函数
2.方程
3.特解
求出
4.齐次解
弹性曲面微分方程
矩形板 直极坐标转换
圆形板
内力（弯曲内力）
矩形板
圆形板
边界条件
固支
矩形板
简支
自由
强自由 角点 条件
圆形板
无 扇形板有
说明： 1.分类相同 2.自由边扭矩转换为等效横向剪力
相同
3.用内力和位移表示边条相同 4.圆板没有角点条件
扇形板有角点条件
§13-9 圆形薄板轴 对称弯曲问题
xz
x
yz
y
Z
z w z t 2
0
定Fz x, y
板壳力学
7
（三）薄板的弹性曲面微分方程
下面就利用薄板上板面的边界条件建立挠 曲面w(x,y)与外荷载的关系式，设板的顶 面承受荷载q(x.y)，并规定荷载向下为正， 而底面不承受荷载。