科氏力推导
科氏力效应
科氏力效应
摘要：
1.科氏力效应的定义
2.科氏力效应的产生原因
3.科氏力效应在现实生活中的应用
4.科氏力效应对人类生活的影响
5.科氏力效应的未来研究方向
正文：
科氏力效应，是指在旋转体系中，系统中的物体受到的一种惯性力。
这个力与物体的质量、旋转速度以及旋转半径有关。
科氏力效应在许多领域中都有应用，例如气象学、天文学、地球物理学等。
科氏力效应的产生原因主要来自于旋转体系对物体运动的影响。
当一个物体在一个旋转体系中运动时，旋转体系会对物体施加一个惯性力，这个力就是科氏力。
科氏力的方向垂直于物体的运动方向和旋转体系的旋转轴，大小与物体的质量、旋转速度以及旋转半径成正比。
在现实生活中，科氏力效应有许多应用。
例如，在气象学中，科氏力是大气环流和天气系统形成的重要原因之一。
在天文学中，科氏力是影响行星运动和星系结构的重要因素。
在地球物理学中，科氏力是地壳运动和地震产生的原因之一。
科氏力效应对人类生活也产生了重要影响。
例如，大气环流的形成和变化导致了天气的变化，影响了人类的农业生产和生活。
地球的自转和科氏力影响
了地球的形状，进而影响了地球的内部结构和地表形态。
未来，科氏力效应的研究方向将更加深入和广泛。
关于科氏力
O
Fic 2mv N =2mv cos
科氏参数 f =2sin
当M点相对地球的速度v在 水平面内时，由Z引起的科 氏惯性力为
Fic 2mv Z =2mv sin
地球赤道上的科氏力
在赤道上，水平方向的运 动引起的科氏力为零，而 铅直方向的运动引起的科 氏力最大，方向沿东西向。
二是要有低层大气向中心辐合、高层向外扩散 的初始扰动。 三是垂直方向风速不能相差太大，才能使初始 扰动中水汽凝结所释放的潜热能集中保存在台 风眼区的空气柱中，形成并加强台风暖中心结 构； 四是要有足够大的地转偏向力作用，地转偏向 力在赤道附近接近于零，台风发生在大约离赤 道5~20纬度的洋面上。
• •
Fc ma 2mv
第二类惯性力—科氏力
从静止坐标系看：
Fq m( v / R)2 R m 2 R 2mv mv 2 / R
o A v
从旋转坐标系看：
Fr mv2 / r
惯性力
Fr Fq m2 R 2mv
Fc 2mv
科氏力的一般公式
低压
高压
• 在南半球，气流沿顺时针旋转叫气旋，逆时 针旋转叫反气旋
副热带高压和贸易风
• 赤道附近空气受热上升并向低纬度 地区流动；在北半球高空，受科氏 力影响，气流逐渐偏东，并在北纬 附近形成西风。西风形成一堵墙， 阻挡了南来的气流继续向北流动。 空气在此堆积、冷却、下沉，形成 地面上的副热带高压带。 • 副热带高压控制的天气主要是高温 干燥。 • 在地面上，空气由此处向南流动， 去补充赤道带上升的空气，受科氏 力影响，逐渐右偏，形成稳定的东 北风。古代商船都是帆船，它们就 是靠着这种方向常年不变的风航行 于海上，故名贸易风(Trad wind )。 现在我国称为信风，也是指它的方 向不变，很守信用。同理，在赤道 到南纬附近形成东南信风。
科里奥利力
应用
气体质量流量计
•
质量流量计让被测量的流体通过一个转动或者振动
中的测量管，流体在管道中的流动相当于直线运动，测量
管的转动或振动会产生一个角速度，由于转动或振动是受
到外加电磁场驱动的，有着固定的频率，因而流体在管道
中受到的科里奥利力仅与其质量和运动速度有关，而质量
和运动速度即流速的乘积就是需要测量的质量流量，因而
通过测量流体在管道中受到的科里奥利力，便可以测量其
质量流量。 应用相同原理的还有粉体定量给料秤，
在这里可以将粉体近似地看作流体处理。
应用
• 2 陀螺仪 • 旋转中的陀螺仪会对各种形式的直线
运动产生反映，通过记录陀螺仪部件受到 的科里奥利力可以进行运动的测量与控制 。 • 陀螺仪实验
fcor 2mω v
F ma
fcor称为科里奥利力
2mω v mω (ω r)
式中F为科里奥利力；m为质点的质量；v'为相对于转 动参考系质点的运动速度（矢量）；ω为旋转体系的角速度 （矢量）；×表示两个向量的外积符号（ v'×ω ：大小等于 v*ω,方向满足右手螺旋定则）。
意义
1.在地球科学领域 由于自转的存在，地球并非一个惯性系，而是一个转动参照系，因
旋转体系中质点的直线运动科里奥利力 是以牛顿力学为基础的。1835年，法国气象 学家科里奥利提出，为了描述旋转体系的运 动，需要在运动方程中引入一个假想的力， 这就是科里奥利力。引入科里奥利力之后， 人们可以像处理惯性系中的运动方程一样简 单地处理旋转体系中的运动方程，大大简化 了旋系的处理方式。由于人类生活的地球本 身就是一个巨大的旋转体系，因而科里奥利
性系中引入牛顿定律。
推导
相对于k’系做匀速运 动的点具有科里奥
地球偏向力
基于三角函数求导的科里奥利力表达式推导
基于三角函数求导的科里奥利力表达式推导①杨照锐，何尚文*（郑州大学力学与安全工程学院，河南郑州450001）［摘要］理论力学中，科里奥利力是非常重要且相对抽象不容易理解的教学内容。
利用旋转坐标中做匀速直线运动物体的相对运动，通过向量在直角坐标系下的描述以及三角函数求导，用数学的概念描述了科里奥利力的产生，并根据向量方向的特征解释了科里奥利力方向的判断。
能够使学生更加清晰地认识科里奥利力的同时深度理解高等数学在实际力学中的应用，培养学生更加严密的数理逻辑能力。
［关键词］科里奥利力；动参考系；三角函数求导［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2021）28-0068-02科里奥利力（下文简称科氏力）是当动参考系发生旋转的同时质点相对于动系有相对运动而产生的惯性力，它是大学物理和力学专业课程中的重要组成部分[1]。
在点的运动合成中，动系的转动且质点有相对速度的运动状态比动系平移的情况要复杂而抽象，学生往往难以理解。
同时科氏力方向的判断给很多学生造成很大的困扰[2]。
尽管对于科氏力在生活和工程中应用的探讨和研究有很多，但是用较为严密的数学理论对科氏力的产生进行推导的讨论尚不多见[3][4]。
基于此，本文通过使用大学数学中最基本的坐标变换和三角函数求导对科氏力的产生进行数学描述。
采用该方法的讲解能够加深学生对低年级阶段学习的高等数学在实际力学问题中应用的理解，更深入地理解科氏力。
一、旋转坐标系中匀速运动的物体运动方程图1中圆盘以匀角速度ω沿逆时针方向旋转，xy坐标系为惯性系，XY系为随圆盘一起转动的随体坐标系。
质量为m的物体不受任何外力的情况下在圆盘上做匀速直线运动，速度为v。
当物体的运动方向沿惯性系的y轴时，在xy坐标下该物体的位置向量r→和速度v→分别表示为r→=（0，y）（1）v→=（0，v y）=（0，dy dt）（2）同时，该物体的运动在随体坐标XY下的描述为R→=（X，Y）=（y sinθ，y cosθ）（3）xyvmωθy sinθy cosθOXY图1旋转坐标下物体的运动V→=（V X，V Y）=（dX dt，dY dt）（4）转角θ为圆盘转动角速度关于时间的函数（ωt），则V X=dX dt=d dt（y sinωt）由复合函数求导可得V X=v·sinωt+y·ωcosωt（5）同理V Y=v·cosωt+y·（-ωsinωt）（6）式（5）和式（6）整理可得V→=（V X，V Y）=（v sinωt+yωcosωt，v cosωt-yωsinωt）物体在旋转坐标系XY下的加速度能够通过对速度V→求导得到。
科氏力推导
如图，设转动参考系S ′ 相对静止参考系S 绕原点O ′ 以 恒定角速度ωr 转动（O ′ 在S 系是固定点），质点P 相对 S 、S ′ 系的位矢分别为r r ′rr ,，显然下列矢量关系成立： )( )(t r O O t r ′+′=r r要注意这个关系在S 、S ′ 系看是不一样的：在S 系看： )()()()()()( )()()(t k t z t j t y t i t x O O k t z j t y i t x ′′+′′+′′+′=++r r r r r r （1） 在S ′ 系看： k t z j t y i t x O O t k t z t j t y t i t x ′′+′′+′′+′=++r r r r r r )()()( )()()()()()( 这是因为在S 系看，k j i r r r , ,是常矢量，而k j i ′′′r r r , ,不是常矢量，以角速度ωr 在转动；反过来在S ′ 系看，k j i r r r , ,不是常矢量，在转动，而k j i ′′′r r r , ,是常矢量。
另外矢量O O ′在S 、S ′ 系看都是常矢量。
如右图，在课堂上我们证明过，一个矢量A r 如果以角速度ωr 转动，则它对时间的导数是： A tA r r r ×=ωd d （2）（即要证明 )(d d //⊥+×=A A t A r r r r ω⊥⊥⊥×=×=A A t A )r r r ωθωˆd d 成立，对（1从（3）式我们得到一个重要的结论：在静止参考系S 中求转动参考系S ′ 中的某个矢量k A j A i A A z y x ′′+′′+′′=′r r r r 对时间的导数，结果是： A t A t A ′×+′=′r r r r ωd d ~d d （4） t d d 表示在静止参考系S 中对时间求导，此时k j i r r r , ,不变，k j i ′′′r r r , ,变，t d d ~表示在转动参考系S ′ 中对时间求导，此时k j i ′′′r r r , ,不变，k j i r r r , ,变（这个不会用到）。
关于科氏力解剖
• 地球绕N转使得西升东降，绕Z转使得正东方向 不断向左偏，从而使炮弹落点偏向右。 Nhomakorabea 其他例子
• 大江大河中的水流相对于地球运动，但受 河岸约束。在科氏力作用下，河水右偏(北 半球)，但长年积累的结果，右岸冲刷较为 严重。南半球则左岸冲刷较为严重。
• 对于双轨铁路，由于列车总是单方向行驶， 在北半球右侧铁轨磨损较为严重；在南半 球左侧铁轨磨损较为严重。
科氏力引起的大气效应
• 地转风（流）
低气压 V 风速方向
低气压
压强梯度力
V
科氏力
高气压
等压线
高气压
• 在科氏力作用下，气流沿等压线流动。
气旋与反气旋
• 在北半球，气流沿逆时针旋转叫气旋，顺时 针旋转叫反气旋
副热带高压带 东北信风带 赤道低压带 东南信风带 副热带高压带
大气环流
惯性力举例
• 超重与失重：平动加速度引起的惯性力
• 对一个作匀速圆周运动的物体，物体相对于圆盘 静止。从静止坐标系看（向心力）
Fq
m v2 R
m 2 R
• 从转动坐标系看
Fr 0
• 惯性力
FI Fr Fq m2R
• 该惯性力称为惯性离心力
o F向
F惯
角速度为
第二类惯性力—科氏力
s
v0t
地球的角速度
• 地球的角速度由自转和公转角速度合成
O
2 1 • 2
365 24h
2 (11/ 365) rad / s
24 60 60 7.2910-5rad / s
地球上的惯性力
机械原理 科氏力存在的判定
机械原理科氏力存在的判定科氏力是一种在旋转体系中产生的力。
它是根据机械原理中的科氏定理而得出的。
在本文中，我们将深入探讨机械原理以及科氏力的存在判定。
一、机械原理的概述机械原理是研究力的作用和物体运动的规律的科学理论。
它提供了一种解释物体运动的框架，并通过力的平衡和作用原理进行分析。
机械原理可以帮助我们理解各种物理现象，包括力的产生和作用，运动的轨迹以及各种机械装置的工作原理。
二、科氏力的存在判定科氏力存在的判定是一个重要的问题，在科学界引起了广泛的讨论。
科氏力是旋转体系中的一种惯性力，它的作用是使运动的物体在相对旋转体系中产生向心力。
科氏力的存在对于理解和解释旋转体系中的物体运动非常重要。
科氏力的存在判定可以通过以下几个方面进行评估：1. 旋转体系：我们需要明确讨论的是一个旋转的体系。
这可以是一个旋转的圆盘、车轮或其他旋转物体。
在这个旋转体系中存在着一个固定的坐标系，我们需要在此基础上进行分析。
2. 陀螺仪实验：陀螺仪实验是判断科氏力存在的重要实验之一。
在实验中，通过将陀螺仪置于水平旋转的平台上，我们可以观察到陀螺仪的运动会出现偏转。
这种偏转是由科氏力引起的。
通过这个实验可以验证科氏力的存在。
3. 矢量分析：利用矢量分析的方法，我们可以通过分析速度和加速度的矢量关系来判断科氏力是否存在。
在一个旋转体系中，物体的速度和加速度与非旋转体系中的运动存在一定的关系。
通过对这些矢量关系的分析，我们可以得出科氏力的存在与否。
4. 数学推导：科氏力的存在也可以通过数学推导来证明。
利用旋转坐标系下的运动方程和科氏定理，可以得出科氏力与物体的质量、速度和旋转角度等因素有关的数学表达式。
这个数学推导的过程可以进一步证明科氏力的存在。
三、个人观点和理解对于机械原理和科氏力的存在判定，我持支持的观点。
机械原理是一个重要的学科，它帮助我们理解物体运动的本质和规律。
科氏力作为机械原理的一部分，对于解释旋转体系中的物体运动非常有帮助。
关于科氏力_PPT课件
R O
N
M
由N引起的东西方向的科氏 惯性力为
Fic 2mvN
Z =2mvcos =2mv (when 0)
由Z引起的水平面上的科氏 惯性力为
Fic 2mvZ
=2mvsin 0 (when 0)
地球上科氏力的方向
• 在北半球，沿着运动方向看，科氏力总是 垂直于运动方向向右。
• 在南半球，沿着运动方向看，科氏力总是 垂直于运动方向向左。
惯性力举例
• 超重与失物体，物体相对于圆盘 静止。从静止坐标系看（向心力）
Fq
v2 m
R
m2R
• 从转动坐标系看
Fr 0
• 惯性力 F I F rF qm 2R
• 该惯性力称为惯性离心力
o F向
F惯
角速度为
第二类惯性力—科氏力
s
v0t
1 2
• 对于双轨铁路，由于列车总是单方向行驶， 在北半球右侧铁轨磨损较为严重；在南半 球左侧铁轨磨损较为严重。
科氏力引起的大气效应
• 地转风（流）
低气压 V 风速方向
低气压
压强梯度力
V
科氏力
高气压
等压线
高气压
• 在科氏力作用下，气流沿等压线流动。
气旋与反气旋
• 在北半球，气流沿逆时针旋转叫气旋，顺时 针旋转叫反气旋
• 副热带高压控制的天气主要是高温 干燥。
• 在地面上，空气由此处向南流动， 去补充赤道带上升的空气，受科氏 力影响，逐渐右偏，形成稳定的东 北风。古代商船都是帆船，它们就 是靠着这种方向常年不变的风航行 于海上，故名贸易风(Trad wind )。 现在我国称为信风，也是指它的方 向不变，很守信用。同理，在赤道 到南纬附近形成东南信风。
科氏力
牛顿定律在非惯性系中不成立, 为了在非惯性系中形式上使用牛顿定律, 应用加速度变换公式,引入虚拟力---惯性力
F0 ma牵 连 在非惯性系 F F0 ma
a
a
S
E
(自阅P51 3-3-2)
例：惯性离心力
S'
T
在 S 系向心加速度：a R2
科里奥利力和惯性离心力一样，是由于 将牛顿第二定律应用于非惯性系而引入的修 正项，无施力者，但在非惯性参考系中，这 一力也可以感受到，观察到。 在地球上，运动物体会由于地球的自转而 受到科里奥利力的作用，如远程炮弹落体偏 东；气体受到科里奥利力影响形成环流；傅 科摆;北半球的河流都是右岸比较陡峭，左岸 比较平缓。
F0
S
R
T F0 0 质点 m 在 S 系静止：
惯性离心力的大小 F0 mR2
FN
R Fg
例: 地球的自转对重力加速度
的大小g的影响。
Ff
Ff
解：位于纬度处的重力加
速度为:
FP
R0
FgFP来自g g0 R 2 cos2
惯性离心力引起的视重
例.科里奥利力 (Coriolis′force)
视频——科氏力
如果物体相对转动参考系运动，那么物体除了 受到惯性离心力外，还受到另一种惯性力 —— 科里奥利力: FC 2mv 式中m为质点的质量,v为质点相 对于非惯性系的速度,ω为非惯性 系转动的角速度。
m
FC
v
图科里奥利力
科里奥利力垂直于质点相对于非惯性系的速度, 因此科氏力不作功.它不断改变v的方向,但不 改变v的大小,使轨迹弯曲呈圆弧形。
科氏效应与科氏加速度
科氏效应和科氏加速度科氏效应最初由法国的气象学家科里奥利在1835年在论文上进行理论描述，并提出科氏力的概念。
一下通过建立双坐标系向量空间来阐述科氏力和科氏加速度的推导。
如图所示，O’X’Y’Z’为旋转坐标系，它绕惯性坐标系OXYZ的Z轴进行转动，令旋转坐标系瞬时角速度为ω，瞬时角加速度为ε，并假设动点M在旋转坐标系中作相对运动。
根据动点运动的向量合成定理，动点M的绝对速度为：v a=v r+ v e（2-1）其中v a为动点M的绝对速度，v r为动点M相对于旋转坐标系的相对速度，v e为动点M的牵连速度。
对式（2-1）进行一阶求导，可得动点M的绝对加速度为：a a=dv rdt + dv edt（2-2）其中a a为动点M的绝对加速度。
此外动点M的牵连速度和牵连加速度由以下两式可分别进行表征：v e=ω×r(2-3)a e=ε×r+ ω×v e(2-4) 其中r为动坐标系相对于惯性坐标系的径向速度，a e为M的牵连加速度。
对动点M 的牵连速度进行求导，可以得到一个牵连加速度的合成式，如下式所示：dv e dt =dωdt×drdt=ε×r+ ω×v e+ ω×v r=a e+ ω×v r另外，当对M的相对速度求导可得以下合成结果：dv r=a r+ ω×v r其中a r为M点的相对加速度。
将式（2-5）和（2-7）代入式（2-2）得到完整的M点绝对加速度公式：a a=dv rdt + dv edt=a r+ a e+2ω×v r(2-7)令：a k=2ω×v r则式（2-7）可以写成：a a=a r+ a e+ a k其中a k被称为后人根据克里奥立名字命名的科氏加速度，当其作用在质量上便形成了所谓的科氏力。
通过前面的论述可知，当物体的牵连运动为转动时，物体的牵连运动必要与物体的相对运动的互相作用，使物体本身具有除了绝对加速度和相对加速度这两个分量外的另一个分量——科氏加速度分量。
科氏力的定义
科氏力的定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠科氏力。
你说这科氏力啊，就像是大自然的一个小魔术。
咱先想想，为啥水在北半球会逆时针转着流进下水道，而在南半球就顺时针转呢？这背后的大功臣就是科氏力啦！它呀，就像是个调皮的小精灵，在悄悄地影响着好多事情呢。
你看那风中飘动的树叶，为啥不是直直地落下来，而是会有点歪歪扭扭的呢？就是科氏力在捣蛋呢！它让树叶的飘落也变得有意思起来。
可以把科氏力想象成一个看不见的小推手，它总是在不知不觉中发挥着作用。
就好比我们走路，虽然感觉不到，但其实科氏力也在边上悄悄地影响着我们呢。
再说说那些大气环流，那可是地球上的大气候导演啊！而科氏力就是这导演背后的重要助手。
没有它，那大气环流可就乱了套啦，哪里还会有现在这样规律的气候变化呀！
你说神奇不神奇？我们平时根本注意不到的东西，居然在默默地起着这么大的作用。
这就好像我们身边那些默默付出的人，看似不起眼，实则不可或缺。
科氏力影响着水流、气流，甚至影响着我们生活中的很多小细节。
比如飞机的飞行，要是不考虑科氏力，那可就危险咯！它就像是一个隐藏在幕后的高手，默默地操控着这一切。
咱再想想，要是没有科氏力，这个世界会变成啥样呢？那水流可能就没了规律，大气环流也会乱七八糟，整个世界都会变得不一样了吧！
所以啊，可别小瞧了这科氏力，它虽然看不见摸不着，但却实实在在地影响着我们的生活呢！它让这个世界变得更加丰富多彩，更加奇妙有趣。
这就是科氏力，一个神奇而又重要的存在！。
科氏力原理
科氏力原理
科氏力（Coriolis force），又称柯氏力，是一种在转动的坐标系中为了解释运动物体由于坐标转动发生偏转的现象而引入的虚构力。
它主要来自于物体运动所具有的惯性，并且只改变运动物体的速度方向，不改变速度大小。
科氏力实际上并不存在，而是惯性效应在非惯性系内（如旋转系统）的体现。
科氏力的计算公式为F=mvw，其中F为科氏力，m为质点的质量，v 为质点的运动速度，w为旋转体系的角速度*，表示两个向量的外积符号。
当物体运动方向与旋转轴方向平行时，科氏力为零。
科氏力的方向可以通过右手定则来判断：右手（除大拇指外）手指指向（非惯性系中）物体运动方向，再将四指绕向角速度方向，拇指所指方向即科氏力方向。
科氏力在日常生活和许多科学领域中都有重要的应用，例如，在气象学中，季风的方向在科氏力的作用下会发生一定偏移。
在工程技术中，科氏力也被广泛应用于角速度测量和质量流量计的制造中。
12科氏力计算公式简化的依据
科氏力计算公式简化的依据
科氏力（Coriolis force）在任何一个介绍刚体运动的书里都有推导，推导思路都差不多，但是由于描述方式和符号系统冗杂，使得推导过程较为复杂。
这里介绍一种简化的符号推导，供感兴趣的朋友参考。
定义运动参考系为S1（动系），固定参考系为S2（定系），S1原点相对S2原点的位矢为r0，运动质点在S1、S2中的位矢分别为r1、r2，S1的基向量构成的矢阵为f1=[i,j,k]T，r1在S1中的坐标为β1，S1在S2中的转动角速度为ω，、、va、ve、vr分别为绝对速度、牵连速度、相对速度，、、、aa、ae、ar、aC分别为绝对加速度、牵连加速度、相对加速度、科氏加速度。
由几何关系可得式（1），由定义可得式（2），由泊松公式及求导法则可得式（3）、式（4）。
然后分别对定系S2中的位矢r2相对时间求导得到速度r˙2和加速度r¨2的关系。
{r2=r0+r1 (1)r1=f1Tβ1(2)f˙1=ω×f1 (3)f¨1=ω˙×f1+ω×f˙1(4)⇒{r˙2⏟va=r˙0+f˙1Tβ1⏟ve=ω×r2+f1Tβ˙1⏟vr r¨2⏟aa=r¨0+f¨1Tβ1⏟ae=ω×(ω×r2)+f1Tβ¨1⏟ar+2f˙1Tβ˙1⏟aC=2ω×vr。
科氏力推导
如图，设转动参考系S ′ 相对静止参考系S 绕原点O ′ 以 恒定角速度ωr 转动（O ′ 在S 系是固定点），质点P 相对 S 、S ′ 系的位矢分别为r r ′rr ,，显然下列矢量关系成立： )( )(t r O O t r ′+′=r r要注意这个关系在S 、S ′ 系看是不一样的：在S 系看： )()()()()()( )()()(t k t z t j t y t i t x O O k t z j t y i t x ′′+′′+′′+′=++r r r r r r （1） 在S ′ 系看： k t z j t y i t x O O t k t z t j t y t i t x ′′+′′+′′+′=++r r r r r r )()()( )()()()()()( 这是因为在S 系看，k j i r r r , ,是常矢量，而k j i ′′′r r r , ,不是常矢量，以角速度ωr 在转动；反过来在S ′ 系看，k j i r r r , ,不是常矢量，在转动，而k j i ′′′r r r , ,是常矢量。
另外矢量O O ′在S 系看是常矢量，在S ′ 系看不是常矢量，在转动。
如右图，在课堂上我们证明过，一个矢量A r 如果以角速度ωr 转动， 则它对时间的导数是： A tA r r r ×=ωd d （2）（即要证明 )(d d //⊥+×=A A t A r r r r ω⊥⊥⊥×=×=A A t A )r r r ωθωˆd d 成立，对（1从（3）式我们得到一个重要的结论：在静止参考系S 中求转动参考系S ′ 中的某个矢量k A j A i A A z y x ′′+′′+′′=′r r r r 对时间的导数，结果是： A t A t A ′×+′=′r r r r ωd d ~d d （4） t d d 表示在静止参考系S 中对时间求导，此时k j i r r r , ,不变，k j i ′′′r r r , ,变，t d d ~表示在转动参考系S ′ 中对时间求导，此时k j i ′′′r r r , ,不变，k j i r r r , ,变（这个不会用到）。
科里奥利力简单推导
讨论
科氏力：
1、科里奥利力的特征
fc
2m
1）与相对速度成正比
只有在转动参考系中运动时才出现
2）与转动角速度一次方成正比
当角速度较小时，科氏力比惯性离心力更重要
3）科氏力方向垂直相对速度
该力不会改变相对速度的大小
4）科氏力在地球上的表现
4
fc
fc
fc
北半球的河流 水流的右侧被冲刷较重
落体向东偏斜
匀速转动参考系 惯性离心力 科里奥利力
1.离心力
在匀速转动的参考系上考察一个静止物体
转盘相对惯性系的加速度是
a0
2rrˆ
rˆ
m
m 2r
m 2r
则物体的惯性离心力为
fi
ma0
m2rrˆ
1
2 . 科里奥利力 Coriolis force 相对转动参考系运动的物体， 除受到离心力外， 还受到一个力 ，称科里奥利力。 表达式为：
巴黎， 49，T 31小时52分
北京， 40，T 37小时15分
这是在地球上验证地球转动的著名的实验。
实物8演示 科氏力
附：科里奥利力简单推导 我们以特例推导，然后给出一般表达式。
如图，质点m在转动参 考系（设为S'系）中沿 一光滑凹槽运动，
速度为 v
光滑凹槽
S′
O· ●
r
m
ω=const. S
fc
12
一般表示式：
F
2m
m
2
r
ma
惯性力：
Fi
2m
m2r
则有：
F
Fi
ma
在非惯性系中，只要在受力分析时加上惯 性力后，就可形式上使用牛顿定律。
科氏力公式推导
科氏力成因：非惯性系坐标系统下产生的附加作用力。
如图所示，设在距圆心为r 的时刻，径向速度为v 沿Y 轴正向，切向速度为r ω沿轴X 正向。
此时，X 轴的速度为0x v =r ω，Y 轴的速度为0y v v =，则经历短暂时间dt 后，转盘转动角度=t θω，X 轴的速度为x v =()()()sin cos v dt r vdt dt ωωω++，Y 轴的速度为()()()cos sin y v v dt r vdt dt ωωω=++，方法一：因为dt 是极小量，故()sin dt dt ωω=，()cos 1dt ω=，上两式变为X 轴的速度为x v =()v dt r vdt ωω++，Y 轴的速度为()y v v r vdt dt ωω=++，故有X 轴加速度为()02x x x v dt r vdt r v v a v dtdt ωωωω++--===，Y 轴加速度为()()0222y y y v v v r vdt dt va r vdt r O dt dt dt ωωωωω-++-===+=+。
方法二：直接求极限，X 轴加速度为()()()000sin cos 2lim lim x x x dt dt v dt r vdt dt r v v a v dtdt ωωωωω→→++--===，Y 轴加速度为()()()0200cos sin lim lim y y y dt dt v v v dt r vdt dt a r dt dt ωωωω→→-++===。
切向加速度x a 即为科氏加速度，柯氏力2F m v ω=，当转动角速度矢量ω与质点线速度v 不垂直时，应将速度v 往垂直于ω的方向作投影，设夹角,v ωθ→→=，投影量为sin v θ，此时科氏力为2sin 2F m v m v ωθω→→==×切，此外仍有径向向心加速度2y a r ω=，向心力2F m r ω=向。
3EWATER中的科里奥利力的计算方法
2. 科里奥利力的数学推导
我们来推导一个特例情况下的科里奥利力，并给出一般表达式。 如下图所示，质点 m 在转动参考系 S’中，沿一光滑圆形凹槽运动，速度为 v’。圆盘转 动的角速度为ω 。
图1
则在惯性系 S（以地面为参考系） ：
v ' F m
r
在非惯性系 S’（以圆盘为参考系） ：
F 2mv sin
图 2 3EWATER 中加载网格的界面
在 3EWATER 中选择设置网格，加载网格后，无需用户手动输入模拟区域的纬度，软件 会自动将网格中的墨卡托坐标转化为经纬度坐标，并读取纬度信息。在进行计算时，自动考 虑该纬度下的科氏力对河流运动的影响。 详情请咨询北京三易思创科技有限公司 3EWATER 软件产品咨询工程师， 三易思创诚邀 与您的合作！
速度与角速度的方向满足右手定则。
3. 3EWATER 中计算科里奥利力的方法
如果我们把地球看做一个旋转系，那么在地球上沿着非地球自转方向运动的物体，例如 气流、海洋、河流、飞行物等，都要受到科里奥利力的影响，这时，科里奥利力又被称作地 转偏向力。 地转偏向力有助于解释一些地理现象，例如，河道的一边往往比另一边冲刷得更厉害； 北半球的大气流动会向右偏转， 南半球的大气流动会向左偏转； 北半球的台风永远是逆时针 旋转，南半球的台风是顺时针旋转等。 利用纬度计算科里奥利力的公式如下： 其中， F 是科里奥利力， v 是物体运动的速度， 是地球自转的角速度， 是物体所在 的位置的纬度。 在 3EWATER 中，软件可以根据网格来读取中心点位置的纬度信息，从而自动计算科氏 力，中心点的位置由研究区域的中心来决定。如下图所示：
2
v '2 m 2mv ' mr 2 r
科氏加速度计算公式
科氏加速度计算公式科氏加速度计算公式，又称为伽利略加速度计算公式，是描述物体在一维运动及不受外力作用而在重力场中自由下落时，速度与时间的关系的数学公式。
该公式由意大利物理学家伽利略·伽利莱在17世纪提出，经过数百年的实验和研究，被广泛应用于运动学和力学等领域。
a = g * sinθ其中，a表示物体在竖直方向上的加速度，g表示重力加速度，θ表示物体与竖直方向的夹角。
科氏加速度计算公式的推导是基于牛顿第二定律和三角函数的几何关系。
牛顿第二定律描述了力与加速度之间的关系，即F = ma，其中F表示力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
在物体自由下落的情况下，只有重力对物体产生作用，故F = mg，其中g表示重力加速度。
进一步推导可得到物体在竖直方向上的加速度为a = g。
然而，在实际情况中，物体可能不是沿竖直方向自由下落，而是在倾斜平面上运动。
此时，根据三角函数的几何关系，可以得出物体在竖直方向上的分量加速度为a = g * sinθ，其中θ表示物体与竖直方向的夹角。
这就是科氏加速度计算公式。
科氏加速度计算公式适用于各种自由下落的情况，例如物体沿斜面自由下滑时，物体在绳子或轨道上自由下落时等。
通过应用科氏加速度计算公式，可以计算出物体在竖直方向上的加速度，进而分析物体在自由下落过程中的速度和时间的关系。
需要注意的是，科氏加速度计算公式只适用于物体在竖直方向上的加速度，不适用于水平方向上的加速度。
对于物体在水平方向上的加速度，需要使用其他适用的公式进行计算。
总之，科氏加速度计算公式是描述自由下落物体加速度与时间的关系的数学公式。
通过应用该公式，可以分析物体在自由下落过程中的加速度变化，并计算出加速度与时间的关系。
这一公式在运动学和力学等领域有着广泛的应用。
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如图，设转动参考系S ′ 相对静止参考系S 绕原点O ′ 以 恒定角速度ωr 转动（O ′ 在S 系是固定点）
，质点P 相对 S 、S ′ 系的位矢分别为r r ′r
r ,，显然下列矢量关系成立： )( )(t r O O t r ′+′=r r
要注意这个关系在S 、S ′ 系看是不一样的：
在S 系看： )()()()()()( )()()(t k t z t j t y t i t x O O k t z j t y i t x ′′+′′+′′+′=++r r r r r r （1） 在S ′ 系看： k t z j t y i t x O O t k t z t j t y t i t x ′′+′′+′′+′=++r r r r r r )()()( )()()()()()( 这是因为在S 系看，k j i r r r , ,是常矢量，而k j i ′′′r r r , ,不是常矢量，以角速度ωr 在转动；反过来在S ′ 系看，k j i r r r , ,不是常矢量，在转动，而k j i ′′′r r r , ,是常矢量。
另外矢量O O ′在S 、S ′ 系看都是常矢量。
如右图，在课堂上我们证明过，一个矢量A r 如果以角速度ωr 转动，
则它对时间的导数是： A t
A r r r ×=ωd d （2）
（即要证明 )(d d //⊥+×=A A t A r r r r ω⊥⊥⊥×=×=A A t A )r r r ωθωˆd d 成立，
对（1从（3）式我们得到一个重要的结论：在静止参考系S 中求转动参考系S ′ 中的某个矢量k A j A i A A z y x ′′+′′+′′=′r r r r 对时间的导数，结果是： A t A t A ′×+′=′r r r r ωd d ~d d （4） t d d 表示在静止参考系S 中对时间求导，此时k j i r r r , ,不变，k j i ′′′r r r , ,变，t d d ~表示在转动参考系S ′ 中对时间求导，此时k j i ′′′r r r , ,不变，k j i r r r , ,变（这个不会用到）。
对（3）式进一步求导，并利用（4）式可得，注意假设了ωr 恒定： )(r a a ′×+′×+′×+′=r r r r r r r r ωωωv v )(2r a a ′××+′×+′=r r r r r r r ωωωv （5）
其中第二项是科里奥利加速度，第三项是牵连加速度。
显然由于这两项的存在，在转动参考系S ′ 中牛II 定律不成立，分别定义科里奥利力和惯性离心力：
)( ,2r m F m F C ′××−=×′=r r r r r r r ωωω离v 则在转动参考系S ′ 中考虑了这两个力之后，牛II 定律成立： a m F F F C ′=++r r r r 离 或 a m r m m a m ′=′××−×′+r r r r r r r )(2ωωωv。