第九章 一元气体动力学基础要点

p

RT
R——气体常数（空气：287J/kg· K）
3.能量方程
1 dp 复习：平衡微分方程 S 0 ds
S——S方向质量力 扩展：运动微分方程
1 dp dv dv ds dv S v ds dt ds dt ds
浮力与重力平衡：S=0
1 dp dv v ds ds
1 2
例：容器中的压缩气体经过一收缩喷嘴射出，出口绝对压
力p=100kPa，t=-30℃，v=250m/s，求容器中压强和温度 解：喷口处 c kRT 312.5m / s
v 250 M 0.8 c 312 .5
k 1 p0 p 1 M 2
k 2 k 1
速度变化的绝对值大于截面的变化
（2）超音速流动：A↑→v↑(p,ρ,T)↓
M 2 1 由于 1 密度变化的绝对值大于截面的变化 2 M
vA c ，A v
（3）音速流动——临界状态（临界参数*）
最小断面才可能达到音速
拉伐尔喷管
v c v c v c
A
l α
H 2000 t ctg ctg 41.8 4.38 s v 510
4.滞止参数与马赫数的关系
k v2 k RT RT0 由 k 1 2 k 1 T0 k 1 v2 k 1 2 1 1 M T 2 kRT 2
p0 T0 p T
2 c0 c2 v2 k 1 2 k 1
v2 h h0 2
性质：
（1）在等熵流动中，滞止参数值不变；
（2）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；
（3）气流中最大音速是滞止音速； c kRT 0 0


（4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为
内能，总能量不变——T0，c0，h0不变，
p0↓，ρ0↓，但p0/ρ0=RT0不变。如有
能量交换，吸收能量T0↑，放出能量T0↓
3.马赫数
v M c
M<1 亚音速流动 M=1 音速流动 M>1 超音速流动
微小扰动在空气中的传播
马赫数的物理意义：
在可压缩流动中，马赫数是一个重要的无量
纲参数，在第六章里我们将看到马赫数表征
流体的惯性力与压缩的弹性力之比。
k k 1
k 1 2 1 M 2 k 1 2 1 M 2
1 2
k k 1
0 T0 T
1 k 1
1 k 1
c0 T0 k 1 2 1 M c T 2
一元气体动力学基础
目
可压缩气流的几个基本概念 变截面的等熵流动 可压缩气体的等温管道流动 可压缩气体的绝热管道流动
录
理想气体一元恒定流动的基本方程
第一节理想气体一元恒定流动的基 本方程
1.连续性方程 积分形式 微分形式 2.状态方程 可压缩气体 密度变化
vA c
d dv dA 0 v A
温过程中的能量方程
理想气体的绝热过程→等熵过程
p

k
c
k
cp cv
——绝热指数
代入积分得
k p v2 c k 1 2
证明：
或
1 p p v2 c k 1 2
内能u
cv p p p 1 p u cvT cv cv R c p cv c p cv k 1
第二节音速、滞止参数、马赫 数 1.音速
声音的传播是一种小扰动波 连续性方程
cAdt d c dvAdt
略去高阶微量，得
cd dv
动量方程
p dpA pA cAdv
得
解得
dp cdv
dp c d
——音速定义式
dp E 液体： E c d
马赫数锥面的气体不受扰动的影响，故又称为寂静区。由于扰动波
不能传播到马赫锥的外部，因此，当飞机作超音速飞行时，我们
在飞机的前方听不到飞机发出的声音，只有飞机掠过我们的头顶 之后，才能听到飞机的轰隆声。由此可见，陆上的交通车辆不应 以超音速行驶，否则行人听不到疾驶过来的车辆鸣笛的声音。以 上是扰动源以速度在静止， 气体中运动时微弱扰动波的传播情 况。如果扰动源静止，气体以速度向右运动，这时，扰动波在气 流中的传播情况也可以用图 11—2表示，这样可以看到，亚音速 流和超音速流的一个根本差别：在亚音速流动中，微弱扰动可以 传播到空间任何一点，而在超音速流动中，扰动只能在马赫锥内 部传播。
连续性方程
1v1 A1 v2 4.434v1 2 A2
能量方程
2 k p1 v12 k p2 v2 k 1 1 2 k 1 2 2
解得
v1 35.66m / s
Qm 1v1 A1 1.735kg / s
例2：理想气体在两个状态下的参数分别为T1、p1和T2、p2
p0、T0 p、T
5.气体按不可压缩处理的极限
空气k=1.4 取M=0.2
0 0 1 2.1% 密度相对变化
取M=0.4
0 8.2%
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M· c=0.2×340=68m/s
第三节 气体一元恒定流动 的连续性方程
1.气流参数与变截面的关系 由连续性方程
d
dv dA 0 v A
9-3-2 9-1-1
欧拉微分方程
dp

vdv 0
dp 及 c d
2
v M c
p

RT
p

k
常数
得
dA dv 2 M 1 A v


9-3-3
dA M 2 1 dp A kM 2 p dA M 2 1 d A M2 dA M 2 1 dT k 1M 2 T A
（1）密度的相对变化率
p RT
密度相对变化率
2 1 p2 T2 p1 T1 p2T1 T2 p1 1 1 p1 T1 T2 p1
（2）内能变化
u u2 u1 cv T2 T1
cv 5R 2
R 287J / kg K
ds dQ T dQ du pd 1 Cv dT d p dp （3）焓的变化


v2 u c 2 p
v2 c 或 h 2
可压缩理想气体在绝 热过程中的能量方程
hu
p

——焓
（4）多变过程
p

n
c
n
c cp c cv
——多变指数
n p v2 c n 1 2
n=0 n=1 n=k n→±∞ 等压过程 等温过程 绝热过程 等容过程
可压缩理想气体的能量方程
1.4 1 1001 0.8 2
1.4 2 1.4 1
152.4kPa p
k 1 2 1.4 1 T0 T 1 M 273 301 0.82 274.1K 1.1 ℃ t 2 2
②V<a,如图,扰动波前缘 始终赶在扰动源的前 面.微弱扰动波可达到 空间任何一点.
③V=a,如图,扰动波 和扰动源同时达到空 间某一位置.扰动波只 能在绕动源下游的半 个空间内传播. ④V>a,如图,扰动源永 远赶在扰动波前面.扰 动波被限制在以扰动源 为锥顶的圆锥内.在平面 流动中就被限制在夹 角为θ的两条马赫线 内.θ又称为马赫角,
例：一飞机在A点上空H=2000m，以速度v=1836km/h （510m/s）飞行，空气温度t=15℃（288K），A点要 过多长时间听到飞机声？ 解： c kRT 340m / s
v
α H
v 510 M 1.5 c 340 1 arcsin 41 .8 M l vt Hctg
2.讨论
一元等熵气流各参数沿程的变化趋势 M<1 渐缩管 渐扩管 M>1 渐缩管 渐扩管
流动参数
流速v
压强p 密度ρ 温度T
增大
减小 减小 减小
减小
增大 增大 增大
减小
增大 增大 增大
增大
减小 减小 减小
dv与dp、dρ、dT异号
（1）亚音速流动：A↑→v↓(p,ρ,T)↑
2 由于 M 1 1
M 数很小，说明单位质量气体的动能相对于
内能而言很小，速度的变化不会引起气体温
度的显著变化 ，对不可压流体来说，不仅可
以认为密度是常值而且温度T也是常值。
马赫数还代表单位质量气体的动能和内能之比，即
动能 ( 1) 2 2 2 M 1 p 内能 cV T 2 1 M数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小， 速度的变化不会引起气体温度的显著变化 ，对不可压流体来说， 不仅可以认为密度是常值而且温度T也是常值。
流动参数增加为四个：p、ρ、T、和υ， 已经有了三个基本方程，它们是：状态方程、连续方程和理想 流的动量方程（即欧拉方程）。
2
2
马赫锥 马赫角α： sin c v 1 M
3. 微弱扰动波在气体中的传播
(1). 扰动源在静止气体中的传播. ① V=0,如图,微弱扰动 波的前缘是以0为球 心的球面.
V a, 90,
sin
M ,

a 1 V M
马赫锥外面的气体不受扰动的影响,称为“寂静 区域”.
(2)扰动源在流动气体中的传播
气体与扰动源运动速度大小相等,方向相反,扰动 源为一不动点. |V|<a, 扰动波可达到空间任何一点. |V|>a, 扰动波只能在马赫锥内顺流传播,不能逆流 传播.上游流场不受下游任何扰动的影响.
dp

vdv 0 vdv c
——欧拉运动微分方程

dp

——理想气体一元恒定流ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ能量方程
一些常见的热力过程 （1）等容过程 积分：
v2 c 2 p
——机械能守恒
（2）等温过程
RT p
代入积分得
1
v2 RT ln p c 2
（3）绝热过程
可压缩理想气体在等
例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度 t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强 p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空 气的质量流量
解：喷管——等熵过程
空气k=1.4 R=287J/kg· K p——绝对压强
T——热力学温标（K）
气体：视作等熵过程
p

k
c
微分： dp k
p

dp c k
p

kRT
讨论： （1）音速与本身性质有关 （2） c
1 d dp
d / dp 越大，越易压缩，c越小
音速是反映流体压缩性大小的物理参数 （3） c f T f p,V , T （4）空气 c 1.4 287T 当地音速
T 288 K c 340 m / s
2.滞止参数（驻点参数） 设想某断面的流速以等熵过程减小到零，此断面的 参数称为滞止参数 v0=0——滞止点（驻点）
p0 , 0 , T0 , c0 , h0
k p v2 k p0 k 1 2 k 1 0
k v2 k RT RT0 k 1 2 k 1
解题思路：状态（过程）方程、 连续性方程、能量方程
绝热过程方程
p2 T2 T1 p 1
状态方程
k 1 k
350 101.3 293 420 101.3
1.41 1.4
281.2K
p1 1 6.199kg / m3 RT1 p2 2 5.592kg / m3 RT2
h h2 h1 c p T2 T1 dQ dh dp c p 7R 2 dS dh T dp T C p dT T R dp p （4）熵的变化
T2 p2 S S 2 S1 c p ln R ln T1 p1
dh C p dT Cv dT RdT Cv dT d RT Cv dT d p
压强下降
扩压管