专题07 二次函数背景下的三角形相似(全等)(解析版)

∴ 1 x2-3x-8=-4，解得 x=3± 17 ， 2
∴点 F 的坐标为（3- 17 ，-4）或（3+ 17 ，-4）．
2．（河南省濮阳市 2018 届九年级中考数学二模试题）如图，一次函数
与坐标轴分别交于 A，B
两点，抛物线
经过点 A，B，点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 BA 运动，
∵y＝ 1 x2−3x−8＝ 1 (x−3)2− 25 ，
2
2
2
∴抛物线的对称轴为直线 x=3．
又抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为（-2，0）．
∴点 B 的坐标为（8，0），
设直线 L 的函数表达式为 y=kx．
∵点 D（6，-8）在直线 L 上，
3
∴6k=-8，解得 k=- 4 ， 3
②若∠DCB=∠CDB，CD 是 MN 的垂直平分线，求点 M 的坐标．
【答案】（1）y=﹣ x2﹣ x+3；（2）①点 D 坐标为（﹣ ，0）；②点 M（ ，0）. 【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入 y=ax2+bx+c，得
【典例示范】 类型一 确定的全等三角形条件的判定应用
例 1：（陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线
与 x 轴交于 A、B 两
点，其中点 A 的坐标为 ，抛物线的顶点为 P．
求 b 的值，并求出点 P、B 的坐标；
在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，使
≌
存在，试说明理由．
？如果存在，请直接写出点 M 的坐标；如果不
【答案】(1) 点 T 的坐标为 【解析】 把
． 代入
；（2）当
为等腰三角形时，t 的值为
中，得 ．
把 代入
中，得
．
、或
或 4；（3）
4
，
把
，
分别代入
中，得
，，
抛物线的表达式为
，
，由勾股定理，得
，
．
运动 t 秒后，
，
．
为等腰三角形，有
，
，
三种情况，
当
时，过点 Q 作
于点 D．
在
中，
，
，
．
解得
；
当
时，
备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数
专题 07 二次函数背景下的三角形相似（全等）
【方法综述】 三角形全等是三角形相似的特殊情况。三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用 全等三角形和相似的判定方法。另外，注意题目中“ ”与全等表述、“ ”和相似表述的区别。全等和 相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。解答时，对于确定的对应边角可以 直接利用于解题。而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分 类讨论。
【答案】
存在，
【解析】 抛物线
，解得：
抛物线的表达式为
经过
，
，
．
，
1
点 P 的坐标为
令 得：
，解得 或 ，
的坐标为 ．
存在，点
如图：过点 P 作 接 PM、BM．
轴，垂足为 C，连接 AP、BP，作
的平分线，交 PB 与点 N，交抛物线与点 M，连
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
，
，
．
在
和
中，
，
≌
．
点 Q 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 AO 运动，两点同时出发，运动时间为 t 秒．
求此抛物线的表达式；
求当
为等腰三角形时，所有满足条件的 t 的值；
点 P 在线段 AB 上运动，请直接写出 t 为何值时，
的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在
一点 T，使得
≌
？若存在，请直接写出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由．
当 时，
的面积最大 此时点 P 为 AB 的中点，且
．
连接 OP，则
，
点
，
点 T 的横坐标为 ，
将
代入抛物线的解析式得： ．
．
6
在
中，由勾股定理可知：
，
．
≌
．
点 T 的坐标为
．
类型二 全等三角形的存在性探究
例 2．（四川省眉山市洪雅县 2018 届九年级中考适应性考）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点分别为 A
∴直线 L 的函数表达式为 y=- 4 x， 3
∵点 E 为直线 L 和抛物线对称轴的交点，
∴点 E 的横坐标为 3，纵坐标为- 4 ×3=-4， 3
∴点 E 的坐标为（3，-4）；
（2）抛物线上存在点 F，使△FOE≌△FCE．
∵OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴点 F 在 OC 的垂直平分线上，此时点 F 的纵坐标为-4，
（﹣6，0）和点 B（4，0），与 y 轴的交点为 C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A 重合），过 P 作平行于 y 轴的直线与 AC 交于点 Q，点 D、M 在线段
AB 上，点 N 在线段 AC 上．
①是否同时存在点 D 和点 P，使得△APQ 和△CDO 全等，若存在，求点 D 的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】(1) y＝ 1 x2－3x－8；（2）点 F 的坐标为(3＋ 17 ，－4)或(3－ 17 ，－4)． 2
【解析】（1）∵抛物线 y=ax2+bx-8 经过点 A（-2，0），D（6，-8），
4a 2b 8＝0
∴{ 36a
百度文库
6b
8＝
8
a＝ 1 解得{ 2
b＝ 3
∴抛物线的函数表达式为 y＝ 1 x2−3x−8； 2
存在这样的点 M，使得
≌
．
，
，点 N 是 PB 的中点，
设直线 AM 的解析式为
，将点 A 和点 N 的坐标代入得：
直线 AM 的解析式为
．
将
代入抛物线的解析式得：
，解得：
，
，解得：
或
舍去 ，
2
当
时，
，
点 M 的坐标为
针对训练 1．（2018 年九年级数学北师大版下册：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋ bx－8 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物 线的对称轴交于点 E，连接 CE，已知点 A，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)． (1)求抛物线的解析式，并分别求出点 B 和点 E 的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点 F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理 由．
若点 P 在 x 轴上方的直线 AB 上，
，
，
，
解得 ；
若点 P 在 x 轴下方的直线 AB 上，
，
，
解得： ；
当
时，过点 P 作
于点 E．
5
则
，在
中，
， ．
解得：
综上所述，当 过点 P 作
为等腰三角形时，t 的值为
、或
于点 F，延长 FP 交抛物线与点 T．
或 4．
为
底边 AQ 上的高．
，
，
．
．