清华大学线性代数考试真题1

z1 1 0 1 −3 −1 z2 = 1 1 0 −2 = −5 . z3 −1 2 1 2 1 Exercise 5 设 σ 是 F 上 n 维线性空间 V 上的线性变换，α1 , α2 , · · · , αn 是 V 的一个基，则： Im(σ ) = L(σ (α1 ), σ (α2 ), · · · , σ (αn )) 问：(1) σ (α1 ), σ (α2 ), · · · , σ (αn ) 是不是 Im((α2 ), · · · , σ (αn ) 是 Im(σ ) 的基的充分必要条件是什么？ 解： (1) 不是. 因为可能 σ (α1 ), σ (α2 ), · · · , σ (αn ) 并不彼此线性无关. (2) σ (α1 ), σ (α2 ), · · · , σ (αn ) 是 Im(σ ) 的基的充分必要条件是 σ 可逆. 证 明如下： σ 可逆 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ σ 的矩阵表示A可逆 A的列线性无关 (同构) σ (α1 ), σ (α2 ), · · · , σ (αn )线性无关 σ (α1 ), σ (α2 ), · · · , σ (αn )为Im(σ )的基. X= 1 1 X x11 x21 x12 x22 . xij ∈ R ，定义
不满足线性性. 不满足封闭性. 不满足数乘封闭性.
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(2) (τ σ )2 (f (x)) = τ σ (xf (x)) = x(f (x) + xf (x)) = xf (x) + x2 f (x) τ 2 σ 2 (f (x)) = τ (τ σ )σ (f (x)) = τ (τ σ )(f (x)) = τ (xf (x)) = x2 f (x) (τ 2 σ 2 + τ σ )(f (x)) = x2 f (x) + xf (x) = (τ σ )2 (f (x)) 证毕. σ 不是 R[x] 上的幂零变换. 因为，对于任意 n ∈ N，总存在一个 m > n， 和 f ∈ Rm [x]，使得 σ n (f (x)) 不是 0. σ 是 Rn [x] 上的幂零变换. 因为，存在 m > n，使得对于 ∀f ∈ Rn [x]， 有 σ m (f (x)) = 0. Exercise 4 在 F 3 中，设线性变换 σ 关于基 α1 = (−1, 1, 1)T ，α2 = (1, 0, −1)T ，α3 = (0, 1, 1)T 的矩阵是 1 0 1 A = 1 1 0 , −1 2 1 (1) 求 σ 关于基 ε1 = (1, 0, 0)T ，ε2 = (0, 1, 0)T ，ε3 = (0, 0, 1)T 的矩阵； (2) 设向量 α = α1 + 6α2 − α3 ，β = ε1 − ε2 + ε3 ，求 σ (α), σ (β ) 关于 基 α1 , α2 , α3 的坐标． 解： (1) 由假设，有 −1 1 0 0 1 . (α1 , α2 , α3 ) = (ε1 , ε2 , ε3 ) 1 1 −1 1 于是， −1 −1 1 0 0 1 (ε1 , ε2 , ε3 ) = (α1 , α2 , α3 ) 1 1 −1 1 −1 1 −1 = (α1 , α2 , α3 ) 0 1 −1 . 1 0 1 0 1 −1 1 1 0 0 1 1 0 2 1 −2 0 . 2 −1 −1 1
设 σ 关于基 ε1 , ε2 , ε3 的矩阵为 B ，有 −1 1 −1 1 −1 B = 0 1 −1 1 −1 1 0 1 −1 1 = 2 2 3 0
(2) 设 σ (α) 关于基 α1 , α2 , α3 的坐标为 (y1 , y2 , y3 )，有 y1 1 0 1 1 0 y2 = 1 1 0 6 = 7 . y3 −1 2 1 −1 10 设 σ (β ) 关于基 α1 , α2 , α3 的坐标为 (z1 , z2 , z3 )， −1 1 −1 1 −3 β = (α1 , α2 , α3 ) 0 1 −1 −1 = (α1 , α2 , α3 ) −2 , 1 0 1 1 2 2
几何与代数讨论课（五）（线性变换）
Exercise 1 判断下面所定义的映射哪些是线性变换，哪些不是？ (1) 在 F 3 上，σ ((x1 , x2 , x3 )T ) = (x1 + x2 + x3 , x2 + x3 , x1 )T ； T (2) 在 F 3 上，σ ((x1 , x2 , x3 )T ) = (x2 1 , x2 − x3 , 0) ； (3) 在 Fn [x] 上，σ (f (x)) = x · f (x)； (4) 在 Mn (F ) 上，σ (X ) = BXC ，其中 B, C ∈ Mn (F ) 是两个确定的矩 阵； (5) 把复数域 C 看作 C 上的线性空间，σ (α) = α ¯ ，α ∈ C ，α ¯ 是 α 的共 轭复数. Exercise 2 举例说明 (1) σ, τ ∈ L(V )，στ = 0 不一定推出 σ = 0 或 τ = 0； (2) στ = τ σ. Exercise 3 在 R[x] 上，定义两个线性变换： σ (f (x)) = f (x), τ (f (x)) = xf (x) 证明： (1) τ σ − στ = ε，ε 是单位变换； (2) (τ σ )2 = τ 2 σ 2 + τ σ . 问：σ 是不是 R[x] 上的幂零变换？是不是 Rn [x] 上的幂零变换？ Exercise 4 在 F 3 中，设线性变换 σ 关于基 α1 = (−1, 1, 1)T ，α2 = (1, 0, −1)T ，α3 = (0, 1, 1)T 的矩阵是 1 0 1 A = 1 1 0 , −1 2 1 (1) 求 σ 关于基 ε1 = (1, 0, 0)T ，ε2 = (0, 1, 0)T ，ε3 = (0, 0, 1)T 的矩阵； (2) 设向量 α = α1 + 6α2 − α3 ，β = ε1 − ε2 + ε3 ，求 σ (α), σ (β ) 关于 基 α1 , α2 , α3 的坐标． Exercise 5 设 σ 是 F 上 n 维线性空间 V 上的线性变换，α1 , α2 , · · · , αn 是 V 的一个基，则： Im(σ ) = L(σ (α1 ), σ (α2 ), · · · , σ (αn )) 问：(1) σ (α1 ), σ (α2 ), · · · , σ (αn ) 是不是 Im(σ ) 的基？ (2) σ (α1 ), σ (α2 ), · · · , σ (αn ) 是 Im(σ ) 的基的充分必要条件是什么？ x11 x12 Exercise 6 设线性空间 V = X = xij ∈ R ，定义 x21 x22 σ (X ) = 1 1 1 1 1 X 1 2 −1 1 .
(1) 试证明 σ 是 V 的线性变换. (2) 求 Im(σ ) 和 ker(σ ) 的基和维数. Exercise 7 在 R3 上，下列子空间是否是所给线性变换 σ 的不变子空 间？ (1) W1 = {(a1 , a2 , 0)T a1 , a2 ∈ R}, σ ((a1 , a2 , a3 )T ) = (a2 , a1 , a3 )T ; (2) W2 = {(0, a2 , 0)T a2 ∈ R}, σ ((a1 , a2 , a3 )T ) = (a2 , 0, 0)T . Exercise 8 设 σ 是 n 维线性空间 V 的线性变换，且 σ n−1 = 0，σ n = 0，试证： (1)σ 在某个基下的矩阵是 0 1 . 0 .. . . .. .. . . . 1 0 (2) 若 V0 是 σ 的一个不变子空间，且 a1 α1 + a2 α2 + · · · + ak αk ∈ V0 , 1 ≤ k ≤ n, ak = 0，则 α1 , α2 , · · · , αk ∈ V0 . (3) {0}, L(α1 ), L(α1 , α2 ), · · · , L(α1 , α2 , · · · , αn−1 ), V 是 V 的全部 σ 的 不变子空间.
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几何与代数讨论课（五）（线性变换）
Exercise 1 判断下面所定义的映射哪些是线性变换，哪些不是？ (1) 在 F 3 上，σ ((x1 , x2 , x3 )T ) = (x1 + x2 + x3 , x2 + x3 , x1 )T ； T (2) 在 F 3 上，σ ((x1 , x2 , x3 )T ) = (x2 1 , x2 − x3 , 0) ； (3) 在 Fn [x] 上，σ (f (x)) = x · f (x)； (4) 在 Mn (F ) 上，σ (X ) = BXC ，其中 B, C ∈ Mn (F ) 是两个确定的矩 阵； (5) 把复数域 C 看作 C 上的线性空间，σ (α) = α ¯ ，α ∈ C ，α ¯ 是 α 的共 轭复数. 解： (1) 是. 符合线性变换的定义. (2) 否. 因 为 x2 + y 2 = (x + y )2 . 反 例 ：σ ((1, 0, 0)T + (1, 0, 0)T ) = σ ((2, 0, 0)T ) = (4, 0, 0)T 而 σ ((1, 0, 0)T ) + σ ((1, 0, 0)T ) = (2, 0, 0)T . (3) 否. 因为 x · f (x) ∈ / Fn [x]. (4) 是. 符合线性变换的定义. (5) 否. 反例：i · σ (i) = 1 而 σ (i · i) = −1. Exercise 2 举例说明 (1) σ, τ ∈ L(V )，στ = 0 不一定推出 σ = 0 或 τ = 0； (2) στ = τ σ. 解： (1) 令 V = R2 ，设 σ ((x1 , x2 )T ) = (x1 , 0)T ，τ ((x1 , x2 )T ) = (0, x2 )T ， 则 σ = 0, τ = 0. 但 στ = 0. (2) 令 V = R2 ，设 σ ((x1 , x2 )T ) = (x1 , 0)T ，τ ((x1 , x2 )T ) = (x1 , x1 + x2 )T ，则 στ = τ σ . Exercise 3 在 R[x] 上，定义两个线性变换： σ (f (x)) = f (x), τ (f (x)) = xf (x) 证明： (1) τ σ − στ = ε，ε 是单位变换； (2) (τ σ )2 = τ 2 σ 2 + τ σ . 问：σ 是不是 R[x] 上的幂零变换？是不是 Rn [x] 上的幂零变换？ 证明： (1) ∀f ∈ R[x] στ (f (x)) = σ (xf (x)) = f (x) + xf (x) τ σ (f (x)) = τ (f (x)) = xf (x) (στ − τ σ )(f (x)) = f (x) = ε(f (x)) 证毕.