幂函数、函数图像及零点

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第03讲幂函数与二次函数(课件)-2024年高考数学一轮复习

=
−
<

（2）方程有两个不等负根 , ⇔

= >

（3）方程有一正根和一负根，设两根为 , ⇔ = <
常用结论
3、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类
问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个
一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(0,0)
(1,1)
②当α>0时，幂函数的图象都过点_____和_____，且在(0，＋∞)上单调
递增；
(1,1)
③当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减；
1
，即
或
(−1) > 0
> −3
(1) > 0
<1
1
D． − , 0 ⋃(1, +∞)
3
>1
−1 < < 1
1
，
> −3
<1
1
解得− 3 < < 0，
故选：C
题型三：二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 的实根分布及条件
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）方程 2 + ( − 2) + 5 − = 0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)
以2 − 2 − 2 = 1，解得 = 3或 = −1，又因为()

高中数学常见幂函数、二次函数、三次函数的图象及其性质

（2）当时，在上单调递增，所以函数的最大值为，最小值为；
（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最大值为或，最小值为 .
（1）当时，在上单调递增，所以函数的最大值为，最小值为；
（2）当时，在上单调递减，所以函数的最大值为，最小值为；
（3）当时，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为，最小值为或 .
单调增区间为：和；
单调减区间为：
在R上单调递增
单调增区间为：
单调减区间为：和
在R上单调递减
三次函数的图象和性质
定义
我们把形如的函数，称为三次函数.
导数
判别式
我们把叫做三次函数的导函数的判别式.
极值点
当时，导函数有两个零点，原函数有两个极值点，不妨记为、，且 .
拐点
令三次函数的二阶导数，即，解得，我们把点叫做三次函数的拐点.
图象
定义域
R
值域
R
对称中心
单调性
高中常见幂函数的图象和性质
定义
形如的函数（其中是常数，是自变量）称为二次函数.
常见的五种幂函数图象
性质
（1）当幂指数为奇数时，幂函数为奇函数；当幂指数为偶数时，幂函数为偶函数.
（2）当时，幂函数的图象都过、点，且在上单调递增；
（3）当时，幂函数的图象都过点，不过点，且在上单调递减；
（4）在直线的右侧，幂指数越大，图象越高.
幂函数
定义域
单调增区间
单调减区间
无
和
无
无
无
二次函数的图象和性质

幂函数的特点与变化规律

幂函数的特点与变化规律幂函数是高中数学中常见的一类函数，它的数学表达式为y=x^n，其中x代表自变量，n代表指数。

在本文中，我们将探讨幂函数的特点以及其在图像上的变化规律。

一、幂函数的特点：1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集，值域则取决于指数n 的奇偶性。

当指数n为奇数时，幂函数的值域也是实数集；当指数n 为偶数且大于0时，幂函数的值域是非负实数集[0,+∞)。

2. 奇偶性：当指数n为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；而当指数n为偶数时，幂函数关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。

3. 单调性：当指数n大于0时，幂函数为严格递增函数或严格递减函数，具体取决于n的正负性。

当n大于0时，幂函数递增；当n小于0时，幂函数递减。

4. 零点与渐近线：幂函数的零点为x=0，当n大于0时，幂函数图像与x轴交于(0, 0)点；当n小于0时，幂函数图像不与x轴交于任何点。

当n大于0时，幂函数没有水平渐近线；当n小于0时，幂函数有y=0作为水平渐近线。

5. 二次导数：幂函数的二次导数为f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。

根据二次导数的正负性，可以进一步研究幂函数的凹凸性。

二、幂函数在图像上的变化规律：1. 当n为正偶数时，幂函数的图像呈现开口向上的U形曲线。

随着指数n的增大，曲线越陡峭。

2. 当n为负偶数时，幂函数的图像呈现开口向下的倒U形曲线。

随着指数n的增大，曲线越平缓。

3. 当n为正奇数时，幂函数的图像从第三象限穿过原点，向第一象限递增。

曲线整体呈现右上方倾斜的趋势。

4. 当n为负奇数时，幂函数的图像从第二象限穿过原点，向第四象限递减。

曲线整体呈现左下方倾斜的趋势。

总结：通过对幂函数的特点和变化规律的探讨，我们可以清楚地看到幂函数图像的特征。

幂函数的指数n决定了函数的奇偶性、单调性、零点和渐近线等属性。

同时，幂函数在图像上的变化规律也随指数n的不同而有所差异。

幂函数的对称轴和零点

幂函数的对称轴和零点幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a是常数，n是整数指数。

在幂函数的图像中，对称轴和零点是重要的特征，对于我们理解和分析幂函数的性质和行为至关重要。

一、对称轴对称轴是指在幂函数图像中呈现对称性的直线。

对称轴可以是y轴、x轴或者其他直线。

对于幂函数y = ax^n来说，当指数n为偶数时，对称轴通常是y轴。

例如，当n为2时，我们有y = ax^2，其图像是一个开口朝上或者朝下的抛物线，对称轴恰好是y轴。

当n为4、6、8等偶数时，同样也是如此。

而当指数n为奇数时，对称轴通常为x轴。

例如，当n为3时，我们有y = ax^3，其图像是一个S型曲线，对称轴是x轴。

同样地，当n为5、7、9等奇数时，对称轴也是x轴。

需要注意的是，对称轴也可能是其他斜线，这取决于指数n的具体数值和常数a的正负情况。

不同的对称轴会给幂函数带来特殊的性质，例如对称性和奇偶性。

二、零点零点是指幂函数图像上使得函数值等于零的点的横坐标。

即在幂函数y = ax^n中，当y为0时，找到满足条件的x值。

对于幂函数y = ax^n来说，零点的个数与指数n有关。

对于正整数指数n：1. 当n为偶数时，幂函数必然存在一个或多个零点。

如果常数a为正数，则图像在对称轴的两侧交替穿越x轴，并且每一个交叉点都是一个零点。

如果常数a为负数，则图像在对称轴的两侧交替与x轴相切，并且每一个切点都是一个零点。

2. 当n为奇数时，幂函数的图像至少通过x轴一次，因此必然存在一个零点。

此时，常数a的正负决定了图像与x轴的交点的相对位置。

需要注意的是，当指数n为负数时，指数函数的性质会发生变化，其图像将无法通过x轴。

但原理不变，零点的求解方式依然可以使用。

结论幂函数的对称轴和零点是幂函数图像中的重要特征，能够帮助我们理解和分析函数的行为。

通过观察指数n的奇偶性和常数a的正负情况，我们可以判断出对称轴的位置以及零点的个数。

对称轴和零点的位置对幂函数的对称性、奇偶性以及图像的形状都有着重要的影响。

高考数学知识点幂函数知识点总结

高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。

它在求解各类问题中具有广泛的应用。

本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。

一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。

2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。

3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。

二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。

由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。

2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。

具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。

3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。

具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。

4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。

幂函数和对数函数的交点

幂函数和对数函数的交点幂函数和对数函数是高中数学中比较重要的两类函数，其中幂函数指的是形如$y=x^a$的函数，对数函数指的是形如$y=log_ax$的函数。

这两类函数的交点是需要我们进行研究的。

我们来看幂函数和对数函数函数的图像。

对于幂函数，当$a>0$时，它的图像如下所示：而对于对数函数，当$a>1$时，它的图像如下所示：从图像上看，这两类函数都可能存在交点，而对于$a=1$的情况，幂函数和对数函数的图像分别为一次函数和常数函数，不存在交点。

接下来，我们来研究幂函数和对数函数的交点的求法。

设幂函数$y=x^a$和对数函数$y=log_ax$相交于点$(x_0,y_0)$，则有：$$\begin{cases}y_0=x_0^a\\y_0=log_ax_0\\\end{cases}$$由第二个式子得到$x_0=a^{y_0}$，代入第一个式子中可得到：$$y_0=(a^{y_0})^a=(a^a)^{y_0}$$对上式两端取对数可得：$$\log_{a^a}y_0=y_0$$我们只需要求出$a^a$的值，然后求解方程$\log_{a^a}y_0=y_0$即可得到交点$(x_0,y_0)$的坐标。

接下来我们举例来说明一下交点的求解过程。

例1：求幂函数$y=x^2$和对数函数$y=log_2x$的交点。

根据上面的公式，我们可以知道：$$a=2$$$a^a=2^2=4$。

对于方程$\log_{4}y=y$，我们可以画出它们的图像来求解：由图可知，方程$\log_{4}y=y$的解为$y=1$和$y=2$，幂函数$y=x^2$和对数函数$y=log_2x$的交点分别为$(1,1)$和$(4,2)$。

例2：求幂函数$y=x^3$和对数函数$y=log_3x$的交点。

根据上面的公式，我们可以知道：$$a=3$$$a^a=3^3=27$。

对于方程$\log_{27}y=y$，我们可以画出它们的图像来求解：由图可知，方程$\log_{27}y=y$的解为$y=1$和$y=3$，幂函数$y=x^3$和对数函数$y=log_3x$的交点分别为$(1,1)$和$(27,3)$。

幂函数及函数图像变换(教师)

幂函数及函数图像变换知识点1 幂函数 1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上；（3）当2,2α=-时，幂函数是；当11,1,3,3α=-时，幂函数是．（4）任何幂函数都不过象限；（5）当0α>时，幂函数的图象过． 3．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从到分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于对称．考向一幂函数的定义【例1】►讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x = （2）43y x-= （3）54y x =（4）35y x-=（5）12y x-=分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增．（4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减．【训练1】比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5 解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<考向二二次函数的图像和性质【例2】►（2010大连一模）函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式．解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.【训练2-1】 ►(2010·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．[审题视点] 分类讨论a ＞0，a ＜0.解析若a ＞0，则bc ＞0，根据选项C 、D ，c ＜0，此时只有b ＜0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，选项D 有可能；若a ＜0，根据选项A ，c ＜0，此时只能b ＞0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，与选项A 不符合；根据选项B ，c ＞0，此时只能b ＜0，此时二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＜0，与选项B 不符合．综合知只能是选项D.答案 D【训练2-2】（2011沈阳模拟）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.考向三幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f (x )＝223m m x -- (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32.【训练3】已知幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．知识点2 函数图像 (1)平移变换①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到． (2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．由对称变换可利用y ＝f (x )的图象得到y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象．①作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；②作出y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象． (3)伸缩变换①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a 倍，横坐标不变．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)或缩(a ＞1时)到原来的1a 倍，纵坐标不变． (4)翻折变换①作为y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；②作为y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象．考向一作函数图象【例1】►分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1； (4)y ＝x ＋2x －1.[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ≥1)，－lg x (0＜x ＜1).图象如图①.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2＋2x －1 (x ＜0).图象如图③.(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图④.【训练1-1】作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝sin|x|；(3)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．(3)首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．【训练1-2】把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是()A．y＝(x－3)2＋3B．y＝(x－3)2＋1C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1解析：把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案：C考向二函数图象的识辨【例2】►函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()．[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断．解析 f (x )＝1＋log 2x 的图象由函数f (x )＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A ，B ，D.故选C. 答案 C【训练2-1】 (2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．解析当x ＞0时，2x ＝x 2有两根x ＝2,4；当x ＜0时，根据图象法易得到y ＝2x 与y ＝x 2有一个交点，则y ＝2x －x 2在R 上有3个零点，故排除B 、C ；当x →－∞时，2x →0.而x 2→＋∞，故y ＝2x －x 2＜0，故选A. 答案 A【训练2-2】(2011·郑州模拟)若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )．考向三函数图象的应用【例3】►已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [审题视点] 作出函数图象，由图象观察．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(2)由图象可知，y ＝f (x )与y ＝m 图象，有四个不同的交点，则0＜m ＜1， ∴集合M ＝{m |0＜m ＜1}．【训练3】 (2010·湖北)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )．A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]解析在同一坐标系下画出曲线y ＝3－4x －x 2(注：该曲线是以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y ＝3上方的部分)与直线y ＝x 的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y 轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点；注意到与y ＝x 平行且过点(0,3)的直线的方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y ＝3上方的部分)，有|2－3＋b |2＝2，b ＝1－2 2.结合图形可知，满足题意的只有C 选项．答案 C基础练习：1．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C2．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.答案 A3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，fb ＝b ，b >1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2.答案 C 5．(人教A 版)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析 y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．答案 C6．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )解析本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上．答案 D7．函数y ＝1－1x －1的图象是( )．解析将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象．答案 B8．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x ＜0.答案 C9．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。

零点、幂函数、导数

幂函数及其性质1、幂函数的图象（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a>0时图象过点（0，0）和（1，1）（2）当a>0时，幂函数为单调递增为增函数;a<0时，幂函数为单调递减为减函数。

（3）当a>1时，幂函数图形下凸（竖抛）；当0<a<1大于0时，幂函数图形上凸（横抛）。

当a<0时，图像为双曲线。

（4）当a 小于0时，a 越小，图形倾斜程度越大。

（5）显然幂函数无界限。

（6）a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。

【例题选讲】例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练：已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。

简解：220230m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：()(),13,m ∈-∞-+∞小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。

例2．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7<（2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.265.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<< 例3．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．例4、求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．例5、已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3，m 为何值时，f(x)：（1）是正比例函数；（2）是反比例函数；（3）是二次函数；（4）是幂函数。

(数学)基本初等函数-幂函数

基本初等函数——幂函数1．幂函数(1)定义：形如a y x =(a ∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，a 为常数．常见的五类幂函数为y x =，2y x =，3y x =，12y=x ，1y x －=.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，+∞)上都有定义；②当0a >时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增； ③当0a <时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：()2f x ax bx c ++=(0a ≠)． ②顶点式：()2()f x a x m n −+=(0a ≠)． ③零点式：()12()()f x a x x x x −−=(0a ≠)． (2)二次函数的图象和性质12y=x题型1 幂函数的图象与性质1.（2020春•沈河区校级月考）设1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1443b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【分析】先判断1b >，再化a 、c ，利用幂函数的性质判断a 、c 的大小．【解答】解：1124391416a ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14413b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 3144281327c ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且89012716<<<，函数14y x =在(0，+∞)上是单调增函数，所以1144892716⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c <；综上知，c a b <<．故选：A ．2.（2019秋•杨浦区校级期末）幂函数()()()2231,mm f x a x a m −−=−∈N 为偶函数，且在(0，+∞)上是减函数，则a m += ．【分析】先利用幂函数的定义和单调性求出a 的值和m 的范围，再结合偶函数确定m 的值，即可求出结果．【解答】解：∵幂函数()()()2231,m m f x a x a m −−=−∈N ，在(0，+∞)上是减函数，∴11a −=，且2230m m −−<， ∴2a =，13m −<<，又∵m ∈N ，∵0,1,2m =，又∵幂函数()f x 为偶函数，∵1m =，∵3a m +=，故答案为：3．3.已知幂函数223()(22)()nnf x n n x n −=+−∈Z 的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．3−B ．1C ．2D ．1或2【分析】本题考查幂函数的性质，根据幂函数的性质即可求解. 【解析】∵幂函数223()(22)nnf x n n x −=+−在(0，+∞)上是减函数，∴22221,30,n n n n ⎧+−=⎨−<⎩∴1n =，又1n =时，()2f x x －=的图象关于y 轴对称，故1n =.故选B.★幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是()a y x a ∈R =，其中只有一个参数a ，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2 )判断幂函数()a y x a ∈R =的奇偶性时，a 是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数a y x =在(0，+∞)上单调递增，则0a >，若在(0，+∞)上单调递减，则0a <. 题型2 二次函数的解析式1 .（2019秋•道里区校级月考）已知二次函数()()230f x ax bx a =++≠图象过点()3,0A −，对称轴为1x =．（1）求()y f x =的解析式；（2）若函数()y g x =满足()()21g x f x +=，求函数()y g x =的解析式．【分析】（1）根据条件即可得出933012a b b a−+=⎧⎪⎨−=⎪⎩，从而可解出12,55a b =−=，这样即可得出()212355f x x x =−++；（2）可根据题意得出()21221355g x x x +=−++，从而可设21x t +=，解出12t x −=，带入()21221355g x x x +=−++即可得出()2131120104g t t t =−++，t 换上x 即可得出()y g x =的解析式．【解答】解：（1）根据题意得，933012a b b a−+=⎧⎪⎨−=⎪⎩，解得1515a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴∴()212355f x x x =−++；（2）由题意得，()21221355g x x x +=−++，设21x t +=，则12t x −=，∴()()()22111311320520104g t t t t t =−−+−+=−++， ∴()2131120104g x x x =−++．2.(一题多解)已知二次函数()f x 满足()21f −=，()11f −－=，且()f x 的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式)设()()20f x ax bx c a =++≠．由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=⎪⎪−+=−⎨⎪−⎪=⎪⎩解得447.a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩所以所求二次函数的解析式为()2447f x x x −++=. 法二：(利用顶点式)设()2()()0f x a x m n a −+≠=．因为()(2)1f f −=，所以抛物线的对称轴为()21122x +−==. 所以1=2m .又根据题意函数有最大值8，所以8n =，所以21()82f x a x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭.因为f ()(2)1f f −=，所以2128=12a ⎛⎫−+− ⎪⎝⎭，解得4a =−，所以221()=48=4472f x x x x ⎛⎫−−+−++ ⎪⎝⎭.法三：(利用零点式)由已知()10f x +=的两根为12x =，21x =−，故可设()())1(12f x a x x +=−+，即()221f x ax ax a =−−−. 又函数有最大值8，即()2421=84a a a a−−.解得4a =−或0a =(舍去)，所以所求函数的解析式为()2447f x x x −++=.3.（2019秋•贺州期中）已知一个二次函数()f x ，()04f =，()20f =，()40f =．求这个函数的解析式．【分析】先设出函数的表达式，再将函数值代入得到方程组，求出即可．【解答】解：设()2f x ax bx c =++，∴44201640c a b v a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：124a b c ⎧=⎪⎪=−⎨⎪=⎪⎩，∴∴()21342f x x x =−+． ★求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：题型3 二次函数的图象与性质1.已知0abc >，则二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是( )AB【解析】 A 项，因为0a <，02ba−<，所以0b <. 又因为0abc >，所以0c >，而()00f c =<，故A 错． B 项，因为0a <，02ba−>，所以0b >. 又因为0abc >，所以0c <，而()00f c =>，故B 错． C 项，因为0a >，02ba−<，所以0b >.又因为0abc >，所以0c >，而()00f c =<，故C 错． D 项，因为0a >，02ba−>，所以0b <，因为0abc >，所以0c <，而()00f c =<，故选D.2 .（2019秋•庐江县期末）函数223y x x =−+在闭区间[]0,m 上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是( )A ．(],2−∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．[)1,+∞【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，欲使函数223y x x =−+在闭区间[]0,m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23f x x x =−+在闭区间[]0,m 上上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[]1,2．故选：C ．CD3.（2019秋•吉安期末）函数()()22213f x x a x =−−++在区间[]2,3上是增函数，则a 的取值范围是( )A ．13,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦C ．13,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】函数2()2(21)3f x x a x =−−++的对称轴214a x +=−，从而2134a +−≥，由此能求出a 的取值范围．【解答】解：函数()()22213f x x a x =−−++在区间[]2,3上是增函数，函数()()22213f x x a x =−−++的对称轴214a x +=−， ∴2134a +−≥，解得132a −≤．∴a 的取值范围是13,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦．故选：A ．4.（2019秋•宜昌期末）函数221y x x =−−在闭区间[]0,3上的最大值与最小值的和是( )A ．1−B ．0C ．1D ．2【分析】函数221y x x =−−是一条以1x =为对称轴，开口向上的抛物线，在闭区间[]0,3上y先减后增，所以当1x =时，函数取最小值；当3x =时，函数取最大值，代入计算即可【解答】解：()222112y x x x =−−=−− ∴当1x =时，函数取最小值2−，当3x =时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选：B ．5.（2019秋•长春期末）已知函数()()22f x x x a x =++∈R ．（1）若函数()f x 的值域为[)0,+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）根据函数的值域可知0=△，解出a 即可；（2）利用分离参数法表示出22a x x >−−，求出22x x −−的取值范围即可．【解答】解：（1）函数()()22f x x x a x =++∈R 的值域为[)0,+∞，∴22410a =−⨯⨯=△， ∴1a =．（2）∵()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立， ∴220x x a ++>对任意的[)1,x ∈+∞成立， ∴22a x x >−−对任意的[)1,x ∈+∞成立，又当[)1,x ∈+∞时，()22max21213x x −−=−−⨯=−，∴3a >−．即所求实数的取值范围是()3,−+∞．★1.识别二次函数图象应学会“三看”★2.二次函数的单调性问题（1）对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．（2）利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．★3.二次函数的最值问题（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．（2）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．★4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2 )两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：()a f x ≥恒成立()max a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立()min a f x ⇔≤.1.（2020春•本溪月考）已知幂函数()()()22421mm f x m x m −+=−∈R ，在()0,+∞上单调递增．设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c −=，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系是( )看函数选象上的一些特殊点，如函数选象与y 选的交点、与x 选的交点、函数选象的最高点或最低点等看选称选和最选。

高中数学教案第5讲二次函数与幂函数

第5讲二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如□1y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点□2(1，1)和□3(0，0)，且在(0，＋∞)上单调□4递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调□5递减.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限.图象若与坐标轴有交点，则一定交于坐标原点.2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝□6ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为□7(h，k).(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.3.二次函数的图象与性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域R值域□8[4ac －b 24a，＋∞)□9(－∞，4ac －b 24a]单调性在□10[－b2a，＋∞)上单调递增；在□11(－∞，－b2a]上单调递减在□12(－∞，－b2a]上单调递增；在□13[－b2a，＋∞)上单调递减奇偶性当□14b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点□15(－b 2a ，4ac －b 24a)对称性图象关于直线x ＝□16－b2a成轴对称图形常用结论1.一般地，对于幂函数f (x )＝x mn (m ∈Z ，n ∈N *，m 与n 互质)，当m 为偶数时，f (x )为偶函数；当m ，n 均为奇数时，f (x )为奇函数；当n 为偶数时，f (x )为非奇非偶函数.2.幂函数的图象：在第一象限内，在直线x ＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝2x13是幂函数.()(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增.()(3)当n 是偶数时，幂函数y ＝x nm (m ，n ∈Z ，且m 是奇数)是偶函数.()(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a .()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2.回源教材(1)已知幂函数f(x)的图象过点(2，12)，则f(4)的值是() A.64 B.42C.2 4D.1 4解析：D设f(x)＝xα，由f(2)＝2α＝12，得α＝－1，则f(x)＝x－1，故f(4)＝4－1＝14.(2)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为()A.[－6，2]B.[－6，1]C.[0，2]D.[0，1]解析：A函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2].(3)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系为.解析：由幂函数、指数函数的单调性知0.30.4＜0.30.3，0.40.3＞0.30.3，即c＜b＜a.答案：c＜b＜a幂函数的图象与性质1.(多选)下列说法正确的是()A.若幂函数的图象经过点(18，2)，则其解析式为y＝x－3B.若函数f(x)＝x－45，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减C.幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1)D.若函数f(x)＝x，则对于任意的x1，x2∈[0，＋∞)，都有f（x1）＋f（x2）2≤f(x1＋x22)解析：CD 若幂函数的图象经过点(18，2)，则其解析式为y ＝x －13，故A 错误.函数f (x )＝x－45是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故其在(－∞，0)上单调递增，故B 错误.幂函数y ＝x α(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1)，故C 正确.作出y ＝x 的图象(图略)，易知f （x 1）＋f （x 2）2≤f (x 1＋x 22)成立，D 正确.2.已知幂函数y ＝x pq (p ，q ∈N *，q ＞1且p ，q 互质)的图象如图所示，则()A.p ，q 均为奇数，且pq ＞1B.q 为偶数，p 为奇数，且pq ＞1C.q 为奇数，p 为偶数，且pq ＞1D.q 为奇数，p 为偶数，且0＜pq ＜1解析：D由幂函数的图象关于y 轴对称，可知该函数为偶函数，所以p 为偶数，则q 为奇数.因为幂函数y ＝xpq 的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜pq＜1.3.若a ＝(12)23，b ＝(15)23，c ＝(12)13，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：D 因为y ＝x23在第一象限内是增函数，所以a ＝(12)23＞b ＝(15)23，因为y ＝(12)x 是减函数，所以a ＝(12)23＜c ＝(12)13，所以b ＜a ＜c.反思感悟1.幂函数y ＝x α(α∈R )只有一个参数α，因此只需一个条件可确定解析式.2.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.3.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.二次函数的解析式例1已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解：法一(利用“一般式”解题)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).c ＝－1，1，8，＝－4，＝4，＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用“顶点式”解题)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a (x －12)2＋8.因为f (2)＝－1，所以a (2－12)2＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4(x －12)2＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用“零点式”解题)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4.故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.反思感悟求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式.训练1(1)已知f (x )为二次函数，且f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，则f (x )等于()A.x 2－2x ＋1B.x 2＋2x ＋1C.2x 2－2x ＋1D.2x 2＋2x －1解析：B设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)，＝1，＝2a ，＝b －1，＝1，＝2，＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝.解析：因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称.又y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为2－22＝1和2＋22＝3，所以二次函数f (x )与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，因此设f (x )＝a (x －1)(x －3).又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上，所以3a ＝3，则a ＝1，故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3.答案：x 2－4x ＋3二次函数的图象与性质二次函数的图象例2二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示.则下列结论正确的是(填序号).①b 2＞4ac ；②c ＞0；③ac ＞0；④b ＜0；⑤a －b ＋c ＜0.解析：由题图知，a ＜0，－b2a＞0，c ＞0，∴b ＞0，ac ＜0，故②正确，③④错误；又函数图象与x 轴有两交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，故①正确；又由题图知f (－1)＜0，即a －b ＋c ＜0，故⑤正确.答案：①②⑤二次函数的单调性与最值例3(2024·福州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.(1)若f (x )在区间[1，2]上单调递减，求a 的取值范围；(2)若a ＞0，设函数f (x )在区间[1，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式.解：(1)当a＞0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝12a，所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足12a≥2，a＞0，解得0＜a≤14.当a＜0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝12a＜0，所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足a＜0，综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(0，1 4 ].(2)①当0＜12a＜1，即a＞12时，f(x)在区间[1，2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.②当1≤12a≤2，即14≤a≤12时，f(x)在区间1，12a上单调递减，在区间12a，2上单调递增，此时g(a)＝f(12a)＝2a－14a－1.③当12a＞2，即0＜a＜14时，f(x)在区间[1，2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3，综上所述，g(a)a－3，a∈（0，14），a－14a－1，a∈14，12，a－2，a∈（12，＋∞）.反思感悟1.分析二次函数图象问题要抓住三点：一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点.从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象，反之，也能从图象中得到以上信息.2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.训练2(1)函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是()A.[－3，0)B.(－∞，－3]C.[－2，0]D.[－3，0]解析：D 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a ≠0时，f (x )的对称轴为直线x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3，0].(2)(2024·厦门模拟)函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax2＋bx ＋c 在同一平面直角坐标系内的图象可以是()解析：C若a ＞0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ，D ；对于选项B ，由直线可知a ＞0，b ＞0，从而－b2a＜0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.训练3设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值.解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＜1＜t ＋1，即0＜t ＜1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；(1)(2)(3)当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，当t ≤0时，f (x )min ＝t 2＋1，当0＜t ＜1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.限时规范训练(十)A 级基础落实练1.(2023·邯郸质检)已知幂函数f (x )满足f （6）f （2）＝4，则f (13)的值为()A.2B.14C.－14 D.－2解析：B设f (x )＝x α，则f （6）f （2）＝6α2α＝3α＝4，所以f (13)＝(13)α＝14.故选B.2.(2024·六安一中段考)已知幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1是奇函数，则实数m 的值为()A.1B.2C.3D.4解析：B 由题意m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，y ＝x 2不是奇函数，排除；当m ＝2时，y ＝x 3是奇函数，满足题意.故选B.3.(2024·保定检测)已知a＝243，b＝323，c＝2512，则()A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析：A由题意得b＝323＜423＝243＝a，a＝243＝423＜4＜5＝2512＝c，所以b＜a＜c.4.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a 的取值范围是()A.[－3，0)B.(－∞，－3]C.[－2，0]D.[－3，0]解析：D由题意，得当a≠0时，＜0，－a－32a≤－1，得－3≤a＜0，当a＝0时，f(x)＝－3x＋1也满足，故选D.5.(多选)幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x m2－6在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是()A.m＝3B.函数f(x)在(－∞，0)上单调递增C.函数f(x)是偶函数D.函数f(x)的图象关于原点对称解析：ABD因为幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x m2－6在(0，＋∞)上单调递增，2－5m＋7＝1，2－6＞0，解得m＝3，所以f(x)＝x3，所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增.6.(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是()A.2a＋b＝0B.4a＋2b＋c＜0C.9a＋3b＋c＜0D.abc＜0解析：ACD由图象知，a＜0，f(0)＝c＞0∵函数图象对称轴为x＝1，即－b2a＝1.∴2a＋b＝0，A正确；∴b＝－2a＞0，∴abc＜0，D正确；由图知，f(－1)＜0，∵f(0)＝f(2)＝4a＋2b＋c＞0，故B错；f(－1)＝f(3)＝9a＋3b＋c＜0，故C正确.7.若f(x)＝x12，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是.解析：因为f(x)＝x 12在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)，x≥0，8x－16≥0，x＞8x－16，即2≤x＜167，所以不等式的解集为2，167.答案：2，1678.已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，13)，且函数y＝f(x－12)是偶函数，则函数f(x)的解析式为.解析：∵y＝f(x－12)是偶函数，有f(x－12)＝f(－x－12)，∴f(x)关于x＝－12对称，即－b2＝－12，故b＝1，又图象经过点(1，13)，∴f(1)＝13，可得c＝11.故f(x)＝x2＋x＋11.答案：f(x)＝x2＋x＋119.(2024·人大附中质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则1a＋4c的最小值为.解析：因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则a＞0，所以f(x)min＝4ac－44a＝ac－1a＝1，即ac－1＝a，可得a＝1c－1＞0，则c＞1，所以1a＋4c＝c＋4c－1≥2c·4c－1＝3，当且仅当c＝2时，等号成立，因此1a＋4c的最小值为3.答案：310.已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2)x4m2－2(m∈R)为偶函数.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0，4]上的最大值为9，求实数a的值.解：(1)由幂函数可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝3 2，当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意；当m＝32时，f(x)＝x7，函数为奇函数，不符合题意，故f(x)的解析式为f(x)＝x2.(2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1.函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，由题意得，在区间[0，4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，所以实数a的值为2.11.已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5.(1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈13，12恒成立，求实数a的取值范围.解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)，所以f(x)在[1，a]上为减函数，所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)].又已知值域为[1，a]，（a）＝a2－2a2＋5＝1，（1）＝1－2a＋5＝a，解得a＝2.(2)由x|f(x)－x2|≤1，得－12x2＋52x≤a≤12x2＋52x(*).令1x＝t，t∈[2，3]，则(*)可化为－12t2＋52t≤a≤12t2＋52t.记g(t)＝－12t2＋52t＝－12(t－52)2＋258，则g(t)max＝g(52)＝258，所以a≥258；记h(t)＝12t2＋52t＝12(t＋52)2－258，则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7，综上所述，258≤a≤7.所以实数a的取值范围是258，7.B级能力提升练12.已知幂函数y＝x a与y＝x b的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0＜m ＜1)与y＝x a，y＝x b的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则m a＋m b等于()A.12B.1C.2D.2解析：B由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|m a－m b|，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，(m2)a＞(m2)b，m a＞m b，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b ＝(m a＋m b)·(m a－m b)＝m a－m b，因为m a－m b＞0，所以m a＋m b＝1.13.设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为.解析：＋β＝2m ，＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14，且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.答案：714.已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)若函数f (x )在区间(－1，2)上不单调，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值.解：f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3图象的对称轴为x ＝－2a －12.(1)若f (x )在(－1，2)上不单调，则－1＜－2a －12＜2，解得－32＜a ＜32.(2)由于区间[－1，3]的中点为x ＝1，①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意.综上可知，a ＝－13或a ＝－1.。

幂函数图像及性质总结

幂函数图像及性质总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它是指形式为f(x)=ax^k的函数，其中a 为非零实数，k为实数。

幂函数在数学中具有广泛的应用，在图像的研究中，掌握幂函数的图像及其性质是非常重要的。

首先，我们来看幂函数的图像特点。

当k为正数时，幂函数的图像呈现出“增长”或“递减”的趋势。

当k>1时，曲线会明显上升，形成类似于指数函数的图像特征。

而当0<k<1时，曲线则会下降，但下降的速率逐渐减慢。

特别地，当k=1时，幂函数成为一次函数，即f(x)=ax，其图像为一条直线。

此外，当k为负数时，幂函数的图像则出现在第二、第四象限，并且具有对称轴。

接下来，我们来讨论幂函数的性质。

首先，我们来看函数的定义域和值域。

由于幂函数的底数a不能为零，函数的定义域为除以0的集合，即R-{0}。

而幂函数的值域则依赖于指数k的正负情况。

当k为正数时，函数的值域为正实数集(0,+∞)。

当k为负数时，函数的值域为(0, +∞)的实数集。

由于底数a的正负情况也会影响函数的关系，故在具体分析时需要考虑a的取值范围。

其次，我们来讨论幂函数的奇偶性。

当指数k为偶数时，幂函数f(x)=ax^k是一个偶函数，即满足f(x)=f(-x)。

这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=x^k，从而f(x)=ax^k=f(-x)。

相应地，当指数k为奇数时，幂函数f(x)=ax^k是一个奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。

这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=-x^k，从而f(x)=ax^k=-ax^k=-f(-x)。

进一步地，我们来讨论幂函数的增减性和极值点。

当指数k为正数时，幂函数在定义域上是递增的。

当a>1时，函数的增长速度更快；当0<a<1时，函数的增长速度更慢。

而当指数k为负数时，幂函数在定义域上是递减的。

在图像上，幂函数具有一个最小值或最大值，该点称为极值点。

当k为偶数时，函数的极值点出现在定义域的最小值点，当k为奇数时，函数的极值点出现在定义域的最大值点。

幂函数的特点

幂函数的特点幂函数是数学中常见的一类函数形式，其特点在于函数关系中具有幂指数，例如：$y = ax^b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$x$ 是自变量。

幂函数的特点包括函数图像、增减性、奇偶性和极值点等。

本文将详细介绍幂函数的特点和相关概念。

一、幂函数的图像特点幂函数的图像与幂指数 $b$ 和函数系数 $a$ 有关。

当 $a>0$ 且$b>0$ 时，幂函数的图像在第一象限增长；当 $a>0$ 且 $b<0$ 时，函数图像在第一象限是下降的，且趋近于 $y=0$。

当 $a<0$ 时，图像在第三象限中存在，而当 $a<0$ 且 $b$ 为奇数时，图像还会穿越 $x$ 轴。

二、幂函数的增减性和奇偶性幂次函数的增减性与幂指数 $b$ 的正负有关。

当 $b>0$ 时，函数是递增的；当 $b<0$ 时，函数是递减的。

若 $b$ 为偶数，则函数关于$y$ 轴对称；若 $b$ 为奇数，则函数关于原点对称。

当 $b$ 为 $0$ 时，函数为常数。

三、极值点与零点对于幂函数 $y = ax^b$，当 $b > 0$ 时，图像与 $x$ 轴交于$x=0$ 处，此时 $x=0$ 为零点；当 $b$ 为奇数时，图像从左下方穿越$x$ 轴，此时 $x=0$ 为极值点；当 $b$ 为偶数时，图像从左下方趋近于$x$ 轴。

四、递增与递减区间对于幂函数 $y = ax^b$，当 $b>0$ 时，当 $a>0$ 时函数在整个定义域上递增，当 $a<0$ 时函数在整个定义域上递减；当 $b<0$ 时，当$a>0$ 时函数在整个定义域上递减，当 $a<0$ 时函数在整个定义域上递增。

五、求特殊幂函数的导数和不定积分对于幂函数 $y = ax^b$，其导数为 $y' = abx^{b-1}$。

当 $b=1$ 时，幂函数的导数为一个常数，即斜率为常数；当 $b=0$ 时，导数为 $0$，即平行于 $x$ 轴。

幂函数-课件ppt

5．已知点 33，3 3在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的定义域
为___(_－__∞_，__0_)_∪__(_0_，__＋__∞_)___,奇偶性为_____奇__函__数________，单调减区间为__(_－__∞_，__0_)_和__(_0_，__＋__∞_)_____．
二次函数的解析式已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－2，且它有最小值－1. (1)求 f(x)解析式； (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式． [课堂笔记]
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有参数 α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数 y＝xα(α∈R)是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则 α＜0.
分类讨论思想在求二次函数最值中的应用
(2014·山东青岛模拟)已知 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，
求 f(x)的最小值． [解] (1)当 a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为 x＝1a.
在(－∞，－2ba)上是 ___增_____函数；在(－
2ba，＋∞)上是增函数 2ba，＋∞)上是减函数
最值
a＞0
当 x＝－2ba时，
ymin＝
4ac－b2 4a
a＜0
当 x＝－2ba时， ymax＝4ac4－a b2
1．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取

备战高考数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数、幂函数

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数、幂函数考向预测核心素养二次函数一般与其他知识综合考查，幂函数的考查以图象、性质为主，题型一般为选择题、填空题，中档难度.直观想象、逻辑推理、数学抽象一、知识梳理1．常见的五种幂函数的图象2．幂函数y＝xα的性质(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．3．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 4．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x ＝－b2a对称常用结论1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 58T 6改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－120，0 解析：选C.由题意知⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，1－20a <0，解得a >120. 2．(人A 必修第一册P 91练习T 1改编)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．解析：因为函数f (x )＝kx α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.答案：32一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝2x 12是幂函数．( )(2)根据二次函数的两个零点就可以确定函数的解析式．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值是4ac －b24a.( )答案：(1)× (2)× (3)× 二、易错纠偏1．(二次函数性质不明致误)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B.(－∞，3] C ．(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.2．(二次函数图象特征不清致误)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”)解析：f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，所以m ∈(0，1)，所以m －1<0，所以f (m －1)>0.答案：>3．(幂函数概念不清致误)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．解析：设y ＝f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，代入解析式得α＝－12，则y ＝x －12，由性质可知函数y ＝x －12在(0，＋∞)上单调递减．答案：y＝x－12(0，＋∞)考点一幂函数的图象及性质(自主练透)复习指导：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x 12的图象，了解它们的变化情况．1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )A．奇函数 B.偶函数C．定义域内的减函数 D.定义域内的增函数解析：选A.设f(x)＝xα，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．2．(链接常用结论2)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x m2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝( )A．2 B.－1C.4D.2或－1解析：选A.由题意知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则f(x)在(0，＋∞)上为常数，不合题意．当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．所以m＝2.3.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >a B.a >b >c >d C ．d >c >a >bD.a >b >d >c解析：选B.由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.4．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，则m ＝________，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )的图象过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，又m ∈N *，所以m ＝1.即f (x )＝x 12，其定义域为{x |x ≥0}，且在定义域上函数为增函数，所以由f (2－a )>f (a －1)得0≤a －1<2－a ，解得1≤a <32.答案：1 1≤a <32幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．考点二二次函数的解析式(综合研析)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据已知条件求二次函数的解析式．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【解】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的策略|跟踪训练|已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称．又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1，2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)．因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象和性质(多维探究)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据二次函数的图象讨论性质，从数形结合的观点研究和二次函数有关的问题．角度1 二次函数的图象(1)(多选)(2022·济南月考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则( )A．b2＞4ac B.2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D.5a＜b(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则( )A．f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0【解析】(1)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．(2)因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.【答案】(1)AD (2)C识别二次函数图象应学会“三看”角度2 二次函数的单调性与最值(1)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A．[－3，0) B.(－∞，－3]C．[－2，0] D.[－3，0](2)若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[1，2]上有最大值4，则a 的值为________．【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． (2)f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .①当a ＝0时，函数f (x )在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a >0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a <0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递减，最大值为f (1)＝3a ＋1＝4，解得a ＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a 的值为38.【答案】 (1)D (2)38若本例(1)中函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________．解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0，又3－a 2a ＝－1，所以a ＝－3. 答案：－3(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．|跟踪训练|1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C ；又f (0)＝c <0，排除B ，故选D.2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.y ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3.3．(多选)(2022·邯郸九校联盟期中)若函数f (x )＝x |x －a |在[0，2]上的最大值为2，则a 的取值可以为( )A ．1 B.3 C.2 2D.42－4解析：选AC.若a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，f (x )max ＝f (2)＝2|2－a |＝2，解得a ＝1(舍去)或a ＝3(舍去)．若a >0时，f (x )＝⎩⎨⎧－x （x －a ），x ≤a ，x （x －a ），x >a ，当a2>2即a >4时，f (x )max ＝f (2)＝－2(2－a )＝2，解得a ＝3(舍去)．当x >a 时，令f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，解得x ＝（2＋1）a 2(负值舍去)．当a2≤2≤（2＋1）a 2即4(2－1)≤a ≤4时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24＝2，解得a ＝2 2. 当2>（2＋1）a2即a <4(2－1)时，f (x )max ＝f (2)＝2(2－a )＝2.解得a ＝1.[A 基础达标]1．若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B.[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析：选D.设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A．1或3 B.1C.3D.2解析：选B.由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.3．(2022·潍坊模拟)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A．a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0.4．(多选)(2022·淄博模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( ) A．f(－1) B.f(1)C.f(2)D.f(5)解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A．－3 B.1C.2D.1或2解析：选B.由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0，3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3，0)解析：选ABD.由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，－b 2a ＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.7．(2022·山东烟台模拟)若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．解析：y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162，因为值域为[0，＋∞)，所以m －7－8⎝⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，解得m ＝9或m ＝25. 答案：9或258．若(3－2m )12>(m ＋1)12，则实数m 的取值范围为________．解析：因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，239．(2022·潍坊质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，－2≤x ≤c ，1x ，c <x ≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则实数c 的取值范围是________．解析：当c ＝0时，即x ∈[－2，0]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，当x ∈(0，3]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.作出y ＝x 2＋x 和y ＝1x 的图象如图所示，当f (x )＝－14时，x ＝－12；当x 2＋x ＝2时，x ＝1或x ＝－2；当1x ＝2时，x ＝12，由图象可知当f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2时，需满足12≤c ≤1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，110．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1，2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1，2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . 所以g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．[B 综合应用]11．(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x －x 2，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的最大值为14B ．f (x )在(－1，0)上是增函数C ．f (x )＞0的解集为(－1，1)D ．f (x )＋2x ≥0的解集为[0，3]解析：选AD.由题意，得当x ≥0时，f (x )＝x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14；当x <0时，f (x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，f (x )的最大值为14，A 正确；f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－12，0上是减函数，B 错误； f (x )＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C 错误；当x ≥0时，f (x )＋2x ＝3x －x 2≥0的解集为[0，3]，当x ＜0时，f (x )＋2x ＝x －x 2≥0无解，故D 正确．12．(2022·合肥质检)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)．若对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2] B.[4，＋∞) C ．[2，＋∞)D.(－∞，4]解析：选B.因为f (x )＞0的解集为(－1，3)，故－2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－1，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c 2＝－1×3，b 2＝－1＋3，即⎩⎨⎧b ＝4，c ＝6，令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x －1)2＋8＋m ，由x ∈[－1，0]可得g (x )min ＝m ，又g (x )≥4在[－1，0]上恒成立，故m ≥4.13．(多选)(2022·菏泽模拟)已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题，其中是真命题的是( )A ．若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上单调递增 B ．存在a ∈R ，使得f (x )为偶函数C ．若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于x ＝1对称D ．若a 2－b －2＞0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点解析：选AB.对于选项A ，若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2在区间[a ，＋∞)上单调递增，正确；对于选项B ，当a ＝0时，f (x )＝|x 2＋b |显然是偶函数，正确；对于选项C ，取a ＝0，b ＝－2，函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |化为f (x )＝|x 2－2|，满足f (0)＝f (2)，但f (x )的图象不关于x ＝1对称，错误；对于选项D ，如图，a 2－b －2＞0，即a 2－b ＞2，则h (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|－2有4个零点，错误．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥2f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，则2f (x )＝f (2x )，因此原不等式等价于f (x ＋a )≥f (2x )．易知f (x )在R 上是增函数，所以x ＋a ≥2x ，即a ≥(2－1)x .又x ∈[a ，a ＋2]，所以当x ＝a ＋2时，(2－1)x 取得最大值(2－1)(a ＋2)，因此a ≥(2－1)(a ＋2)，解得a ≥ 2.故a 的取值范围是[2，＋∞)．[C 素养提升]15．(2022·兰州模拟)已知幂函数f (x )的部分对应值如表：x 112则不等式f (|x |)≤2的解集是________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.不等式f (|x |)≤2等价于|x |12≤2，所以|x |≤4，所以－4≤x ≤4.所以不等式f (|x |)≤2的解集是[－4，4]．答案：[－4，4]16．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围．解：设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1(舍去)或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．。

幂函数_教学课件

+ (2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.
+ ∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．
+ 在本例(1)的条件下，若存在x∈[－3，－1]使f(x)>x＋k在[－3，－1] 上成立，试求k的取值范围．
答案：B
3．(课本习题改编)设 α∈－1，1，－12，12，3，则使 y＝xα 的定义
域为 R 且为奇函数的所有 α 的值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
+ 解析：由α的取值知α＝1,3时，x∈R，且为奇函数，故选A.
+ 答案：A
+ 4．(2013年淮南模拟)当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－m＋1为减函数，则实数m＝________.
Δ＝k2－8m>0， ∵f(0)＝2，故需满足0<2km<1，
m>0， f1>0
k2>8m m>0， ⇒0m<－k<k2＋m2，>0，
将 k 看做函数值，m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，
因为 m，k 均为整数，结合可行域可知 k＝7，m＝6 时，m＋k 最小，最
小值为 13.
答案：D
1．(课本习题改编)下列函数是幂函数的是( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝(x＋2)2
D．y＝3 x2
+ 解析：由幂函数的定义可知D正确．
+ 答案：D

幂函数的性质与图像Ⅲ

一、复习
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图过点11) 像定 (，
(2)当 > 0时 α ，数增数函是函，像抛线；图是物型 (3)当 < 0时 α ，数减数函是函，像双线．图是曲型
(二)幂函数的性质(奇偶性) 幂函数的性质(奇偶性)
作幂函数大致图像的一般步骤：作幂函数大致图像的一般步骤：
(1) k确图是曲型是物型由定像双线还抛线 (哪抛线 )；种物型
(2)判断函数奇偶性，由奇偶性确定图像所在象限．
练习
2 7 1 6
在下列各图中找到适当的表达式的序号：在下列各图中找到适当的表达式的序号：
2
n m
1
二、例题举隅
例1、已知幂函数f ( x ) = x (m < 0，m ∈ Q )．
m
(1)求证：f ( x ) = x 在(0， ∞ )上是减函数； +
m
1 1 (2)利用(1)的结论判断与 (a > b > 0，c > 0 ) a b 的大小关系．
c
c
1 1 x 1 例2、已知函数f ( x ) = ，g ( x ) = 和h( x ) = ． x x2 x2
1
0
1
(F )
(G )
(H )
(I )
(J )
思考题
1．幂函数f(x)= x ，f(x)= x ，f(x)=的图像如图所示， a,b,c,d的大小关系在第一象限的图像如图所示，则a,b,c,d的大小关系是（ D ） f(x)= x f(x)= x f(x)= x (A)a>b>c>d (B)d>b>c>a f(x)= x (C)d>c>b>a (D)b>c>d>a

指数函数对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()nna a a a n N=∈g123零指数幂：01(0)a a=≠负整数指数幂：1(0,) ppa a pNa-=≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是：1(0,,,1)mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地，函数ay x=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图；当12,1,2a=---时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质： (1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-．log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ¹ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ；．（2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）．1log log 1N N a a mn n m==．（3），（4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞；值域：R ；过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称．指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)。