《线性系统理论和设计》习题1-6章习题答案(1)
信号与线性系统分析习题答案
信号与线性系统课后答案第一章 信号与系统（一）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)t fε=(sin)(t（5）)t f=r)(t(sin（7）)(t f kε2)(k=（10）)(])1k(kf kε()1[=-+1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
线性系统理论课后答案
6 XI 给定图P2.12)和＜b)所示两个电路，试列写出其状态方S 和输出方程。
其中, 分别指定：⑹状态变组廿二叱•勺输入变M « = ef(r):输出支量尹=/(b)状态变宣组X 严气，输入变S“y(O；输出变量丿■“CP2 1解 本题A 于由物理系统養立状态令问描述的基本题，意在训练正磧和熟塚运用电 路定律列写岀电路的状态方程和输出方程•(1)列写P2・l(a)电路的状态方程和输山方程。
首先.考虎到电容C 和电感E 为给定 电路中仅有的两个储能元件•电容端电压弋和流经电感电流了构成此电路的线性无关极 人变*组，从而透取状态变*组州=%:和巧=i 符合定义要求。
基此，利用电路元件关 系式和回路基尔《夫定律，定出电路方程为C 虬r dr L —+= e再由上述电路方程导出状态变量陀和i 的导》项，可得到状态变査方程规范形式， 血C I •—=—(tU C d/ 1 心 1 d/L c L L表%=3山和dW/dn 并将上述方程组表为向量方程，就得到此电路的状态方程:继而.按约定输出y = A 可直接得到此电路的输出方程:(b)列写P2.i(b)电路的状态方程和«ta 方程•类似地.考虑到电容C ］和C2为给定电 路中仅有的两个储能元件，电容端电压乜和七构成此电路的线性无关极大变fi 组，选 取状态变量组二叱和可二叱2符合定义要求，基此，利用电路元件关系式和回路基尔 霍夫定定出电路方程为dur GRpM 叱+叱之71RZ,皿6再由上述电路方程导出状态变量叱和叱的导数项，可得到状态变量方程规范形式: % 1 I 1少GR q GR 5 C,Kdr 表M 也C| /曲和 MqI方程：继而，按约定输出y =坯，可由电路导出：尸叱=%+七 将其表为向*方程，就得萸i 此电路的皴出方程，八不叱~孫"6 +丽e并将上述方程组表为向量方程，就得封此电路的状态K2.6求出下列^输入输出描述的一个状态空同描述： (i) 施)二 2^2 十 18$+40u(s)『+ 6“ +11S+6 (ii) 型十妙⑴_u(j) (g + 3)2(zl)解本®属于由传递函数型输入输出描述导出狀态空间描述的基本fi 。
ch1_习题答案
0 ≤ k ≤ N / 2 −1 1 x[k ] = − 1 N / 2 ≤ k ≤ N − 1 0 其他 试确定 x[k ] ∗ x[k ] 的最大的正值和最小负值及它们的位置。
解：由图可知，最大的正值位置：k1=N/2−1, k2=3N/2−1, y[k1]=y[k2]=N/2 最大的负值位置：k3=N−1, y[N−1]=−N
~ ~ ~ X 1 [1] = −4 j ; X 1 [ 7 ] = 4 j ; X 1 [ m ] = 0 其他 m
N=LCM(6,8)=24
在 0 ≤ m ≤ 23 范围内 ~ ~ ~ ~ ~ X 2 [ 3] = −24 j ， X 2 [ 21] = 24 j ， X 2 [ 4 ] = 12 ， X 2 [ 20 ] = 12 , X 2 [ m ] = 0 其他 m 1-17 在题 1-17 图中画出了几个周期序列 ~ x [k ] ，可利用用 DFS 将其表示为
解：
1-15
试确定下列周期序列的周期及 DFS 系数 (1) ~ x [k ] = sin( pk / 4)
1
(2) ~ x2 [k ] = 2 sin( pk / 4) + cos( pk / 3) 解：(1) (π / 4 ) / 2π = 1 / 8 ; N=8 ~ x [ k ] = −0.5 j{exp( j2 pk / 8) − exp( − j2 pk / 8)}
77
第1章
1-1 将序列 x [k]={1 – 1 0 1 2; k=0,1,2,3,4}表示为 u[k]及 u[k]延迟的和。 =u[k] −2u[k−1] + u[k−2] +u[k−3] + u[k−4] −2 u[k−5] 1-2 判断下列系统是否为 (1)线性 (2)因果 (3)时不变 (4)稳定 (1) y[k ] = k 2 x[k ]
线性系统理论第一章(习题)
若 li 是 A 的特征值，试证 [1 li li 2 li n -1 ]T 是属于 li 的特征向量。 1—2 若 li 是 A 的一个特征值，试证 f (li ) 是矩阵函数 f (A) 的一个特征值。 1—3 试求下列矩阵的特征多项式和最小多项式
é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 1 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 1 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û
y =
t
ò0 g(t - t )u(t )d t
若脉冲响应 g 由图 1—12(a)给定。试问，由图 1—12(b)所示的输入而激励的输出为何？ g(t) 1 1 (a) 图 1—12 脉冲响应和输入作用 1—12 试求图 1—13 所示系统的动态方程式(略)
29
u(t) 1 2 t 1 2 (b) t
n >m
试证，给定初始状态 x(m ) = x0 下，时刻 n 的状态为 x(n )=F(n, m )x(0) 。若 A 与 n 无关，则
F(n, m ) 为何？
1—27 证明 x(n + 1) = A(n )x(n ) + B(n )u(n ) 的解为
n -1
x(n ) = F(n, m )x(m ) +
1 ù ú s+3ú 5s + 1 úú s + 2 úû
的实现，并画出其模拟图。 1—25 设{ A , B , C , D }和{ A , B , C , D }是两个线性时不变系统，其维数不一定相同。证明当 且仅当
第一篇线性系统理论习题答案
9－7 设有三维状态方程
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
1 s + s +1 s 2 s + s +1
2
0
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡0 ⎤ s 2 + 2 s 1⎥ = 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ s −1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ s − 1⎥ ⎦
⎡ R M ⎤ ⎡ R −1 ∵⎢ ⎥×⎢ ⎣0 T ⎦ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎡ R −1 ⎥=⎢ T− ⎦ ⎣ 0
⎡R M ⎤ ∴⎢ ⎥ ⎣0 T ⎦
9－10 解
−1
⎡ R −1 =⎢ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎥ T −1 ⎦
−1
对可控标准形 A 和 b ，计算 ( sI − A) b
+
v2
& 2 = x1 + y = x1 − C 2 x
写成矩阵形式为
1 1 x2 + U R2 R2
图 9－1 RLC 网络
⎡ R1 − & x ⎡ 1 ⎤ ⎢ L1 ⎢x ⎥=⎢ ⎣ &2 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ x ⎡ ⎤ ⎢ L ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥U − 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ R2 C 2 ⎥ ⎦ ⎣ R2 C 2 ⎥ ⎦
x1 ， x 2 有下列关系存在 x1 = x1 + x 2 x 2 = − x1 − 2 x 2
试求系统在 x 坐标中的状态方程。 解 ①
&1 = x & = x2 x &2 = & & = −2 x1 − 3 x 2 + u x x
第六章 不可简约实现
时，方程才是不可简约的（可控且可观测的）。 证明 ：（略）
Det,deg和dim分别代表行列式、次数和维数
线性系统理论 第六章 不可简约实现
定义 6 -1:
∧
6.2 特征多项式和次数
正 则 有 理矩阵 G(s) 的 所有子 式 的最小公分母 定义为G(s) 的特征多项式， G(s) 的特征多项式的次数 定义为G(s) 的次数， 并 记为 δ G(s) 。
系统的可控和可观测矩阵为：
U [b Ab
c cA R nn A n1b ] R nn , V n1 cA
线性系统理论 第六章 不可简约实现
6.3 正则有理函数的不可简约实现
1. 可控标准形实现 定理：设线性时不变单变量系统可控，则可通过等 价变换将其变成如下所示的可控标准形：
0
a1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
∧ ∧ ∧ .
6.2 特征多项式和次数
线性系统理论 第六章 不可简约实现
6.3 正则有理函数的不可简约实现
一、单变量系统的标准形
x Ax b u , y cx eu , A的特征多项式为 : A R nn , b R n1 c R1n , e R
an
(s ) det(s I A) s n a1s n 1 a 2s n 2
∧ ∧ ∧ ∧
线性系统理论 第六章 不可简约实现
定理 6 - 2： 设线性多变量时不变动态方程 X = Ax + Bu y = Cx + Eu 是正则有理函数 G(s) 的一个实现。则当且仅当 det(sI - A) = k(G(s) 的特征多项式 ) 或 dimA = degG(s) 时，方程 FE才是不可简约的（可控且可观测的） , 其中 k为非零常数 。 证 明（ ：略）
线性系统分析_(吴大正_第四版)习题答案
专业课习题解析课程/西安电子科技大学844信号与系统？专业课习题解析课程第1讲:第一章信号与系统（一）专业课习题解析课程{第2讲第一章信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=、（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fε=t)(sin(t（5）)tf=r(t)(sin}（7）)t(kf kε=)(2（10）)f kεk-=(k+(])1(1[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε ；解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf（5）)2()2()(ttrtf-=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ《（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
中国科学技术大学自动化专业《线性系统理论和设计》习题1-6章习题答案
1.7 证明：())()det(det )det(det )(det )det()det()(1111λλλλλλλA B A I T A I T T A I T AT T I B I AT T B B A ∆=-=⋅-⋅-=-=-=∆⇒=----相似，与设= 又因为特征值为特征方程()0λ∆=的根，故特征值也相同。
1.11 解：可以参照课本P18的例题1.12（1）,3,2,1)3)(2)(1()(,300020104132111===⇒---=∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλA A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==Λ∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒=--3211000105411050140010)(1113211Q A Q Q q q q q A I ，，由λ（4）,2,1,1)2)(1)(1()(4344111432124==-==⇒-+-=∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--λλλλλλλA ，1241243111111()0,111122,()012,12,4822 2.P I A q q q u I A q q u λλλλλξλλη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==--=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==-=⎡⎤⎢⎥⎢⎥==<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦===对于，，由对于的特征值，其代数重数 由计算其对应的特征向量计算出一个特征向量，即几何重数个数小于代数重数，即标准型中存在一个对应的约当块，约当块的阶数即的指数可以利用[]4443434123414418 1.682,()001110111121,,44114412121181211212q I A q q q c q q Q q q q q Q A Q λλ-=-=⇒⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-=∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥∴Λ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦的式计算的广义特征向量由取1.12 证明：12n 222112n n 1n-1n-112n 21n 121n 1221n n 1n-3n-3221n 21n-22n-2n-2221n n 1111(1110()()0()()(0()()λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤--⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦后一行减去前一行的倍）n-221n n 123n 2131n 1n-2n-2n-223n j i 1i j n)()111()()()()()λλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-∏同理2.6 解：(d) 令24231211y x y x yx y x ====，，，，则状态空间方程为： u m m k m k m k mk ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0010020100000200112211x xx y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010*******y y (e) 令yx y x ==21，，则状态空间方程为： u e e t t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-10102x x[]x y 01= 2.7 解：(c)非线性方程： ⎩⎨⎧==21221u-x xx x[]x y 01= (d) 设⎪⎩⎪⎨⎧+=⇒=+⋅++-=⇒=+⋅+ux sx x u)(x s u x x sx x s )x (u 333221122121112，则状态空间方程可为：u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=310312x x[]x y 01= 另法：先求出传递函数2323s G(s)s s +=+-，按2.6（b ）方法求解。
线性系统理论习题答案ans1to6
-1 l 0 M
0 -1 l M
an -1 an - 2 -1 l l 0 0 M M
= l2 0
L L L O L 0 -1 l M
an - 2 an - 3 an - 4 = l + a1ln -1 + L + an
n
l -1 0 L 0 l -1 L 0 0 =l 0 l L 0 0 + (-1) n +1 an (-1) n -1 M M M M O M l + a1 an -1 an - 2 an - 3 L l + a1 L 0 0 L 0 + l (-1) n an -1 (-1) n - 2 + an = L L O M L l + a1
而Q AB = BA \ e
A+ B
\ F (t , t0 ) = e B (t - t 0 )
= e A × eB = eB × e A
e - At e( A + B )(t - t 0 )e At 0 = e - At e A( t - t 0 ) e B ( t - t 0 ) e At 0 = e - At e At e - At 0 e B (t -t 0 )e At 0 = e - At 0 e B ( t - t 0 ) e At 0 = e - At 0 e At 0 e B (t - t 0 ) = e B ( t - t 0 ) = F (t , t0 )
1-6 证明：由 A Î R p ´ q , B Î R q ´ p 得 令C = ê
éA ëIq
Ipù éB ,D = ê ú 0û ëI p
Iq ù é I p + AB 0 ù é BA + I q ，则 CD = ê , DC = ê ú ú - Aû Iq û ë B ë 0
状态空间描述变换为约当标准型_线性系统理论与设计_[共6页]
![状态空间描述变换为约当标准型_线性系统理论与设计_[共6页]](https://img.taocdn.com/s3/m/2c8168a18e9951e79a8927cc.png)
ｐ２ｎ
…
ｐｎｎ
（１８６）
由于特征值 λ１，λ２，…，λｎ互异，故特征向量 ｐ１，ｐ２，…，ｐｎ线性无关，从而由它们构 成的矩阵 Ｐ必为非奇异矩阵。因为
ＡＰ＝Ａ[ ｐ１ ｐ２ … ｐｎ] ＝[ Ａｐ１ Ａｐ２ … Ａｐｎ]
（１８７）
由特征向量的定义
因此有
Ａｐｉ＝λｉｐｉ
（１８８）
ＡＰ＝[ λ１ｐ１ λ２ｐ２ … λｎｐｎ]
２４ 线性系统理论与设计
ｄｅｔ（λＩ－Ａ～）＝ｄｅｔ（λＩ－Ｐ－１ＡＰ）＝ｄｅｔ（λＰ－１Ｐ－Ｐ－１ＡＰ）＝ｄｅｔ[ Ｐ－１（λＩ－Ａ）Ｐ] （１７８） ＝ｄｅｔ（Ｐ－１）·ｄｅｔ（λＩ－Ａ）·ｄｅｔＰ＝ｄｅｔ（λＩ－Ａ）
可以看出，它与系统在原状态空间的特征多项式相同。因此，经过非奇异线性变换，系统的 特征多项式不变。由于特征值由特征多项式唯一确定，因此系统的特征值保持不变。
２系统传递关系的不变性 经过非奇异线性变换后，系统状态空间描述的传递函数矩阵为
Ｇ～（ｓ）＝Ｃ～（ｓＩ－Ａ～）－１Ｂ～＋Ｄ～ ＝ＣＰ（ｓＩ－Ｐ－１ＡＰ）－１Ｐ－１Ｂ＋Ｄ ＝ＣＰ（ｓＰ－１Ｐ－Ｐ－１ＡＰ）－１Ｐ－１Ｂ＋Ｄ＝ＣＰ[ Ｐ－１（ｓＩ－Ａ）Ｐ] －１Ｐ－１Ｂ＋Ｄ（１７９） ＝Ｃ（ｓＩ－Ａ）－１Ｂ＋Ｄ＝Ｇ（ｓ）
λｉ １ ０ … ０
０
λｉ
１
…
０
Ｊｉ ＝ ０ ０ λｉ ， ｉ＝１，２，…，ｌ
σｉ×σｉ
１
０ … ０ ０ λｉ
（１８４）
ｌ
其中，∑σｉ ＝ｎ。当 σｉ＝１时，Ｊｉ＝[ λｉ] 即为单根情况。 ｉ＝１
下面分别根据特征值互异和有重根以及矩阵 Ａ的不同形式介绍变换矩阵 Ｐ的求法。
１Ａ阵为任意形式
线性系统课后题答案
第一章 数学基础1、加法不变性：R(S)中存在零元0，使得对()()S R s f ∈∀，都有()()s f s f =+0成立。
乘法不变性：R(S)中存在单位元1，使得对()()S R s f ∈∀，都有()()()s f s f s f =⋅=⋅11成立。
2、反证法证明：(1)加法不变性的唯一性假设在域F 中，存在0和0’，0≠0’，..t s αααα=+=+'0,0,对F ∈∀α成立。
以α+0=α为例，取α=0’，则0’+0=0’ 因为0’为零元，所以0’+0=0 所以0’=0，与假设矛盾。
（2）乘法不变性的唯一性假设在域F 中，存在1和1’，'11≠，..t s αααααα=⋅=⋅=⋅=⋅'1'1,11,对F ∈∀α成立。
以ααα=⋅=⋅11为例，取'1=α，则有'1'111'1=⋅=⋅ '1为单位元1'111'1=⋅=⋅∴'11=∴ 与假设矛盾3、试用反例证明你对下列问题的回答域交换环 环 []R s 是是 是 n n R *是是 元素[]R s ∈的对角矩阵是是 是 []p R s 是 是 是[]n np R s *是是其中：()p R s 是元素为常态的实有理分式（当s →∞，()R s 有界）；()n n p R s ⨯是元素属于()p R s 的n n ⨯矩阵证明：⑴[]R s 不是域。
如 ()1f +=s s ，显然()[]s R s f ∉-1。
（2）n nR* 不是交换环。
如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1010α，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0101β，显然22⨯∈R βα、。
但是βααβ≠。
（3）不是域。
如⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=0001s α，1-α不存在。
（4）()p R s 不是域。
如∈+=1s 1α()p R s ，1-α=s+1.∞→∞→-1α时，s , 所以1-α∉()p R s 。
线性控制系统理论试题及答案
式中
1 − 1 1 A= 。
答：系统的能控性矩阵
1 0 Qk = [B M AB ] = 1 − 1
为非奇异，故系统可化为能控规范型，即
P1 = [0 1]Qk
−1
= [1 − 1]
P 1 − 1 变化矩阵为 P = 1 = 1 P A 1 0
第二组
1.什么是状态？什么状态空间？
答：状态：是指能完全描述系统时域行为的一个最小 变量组。 状态空间：状态向量的所有可能值的集合在几何上 叫状态空间。 = 如给定了 t=t 0 时刻这组变量的值和 t ≥ t0时刻的 输入函数，则系统在 t ≥ t0 时刻的行为就能完全确定， 这样一组变量就称为状态变量。 状态变量组成的空间叫状态空间。 点评：本题考核状态和状态空间的基本概念，是线性 系统理论的基本概念。
因此
ˆ = PAP −1 = 0 1, B = PB = 0 ˆ A 1 0 1
故
0 1 ∧ 0 X = A X + Bu = X + 1 u 1 0
∧ ∧ ∧ ∧
•
点评：此题考察状态空间表达式的线性变 换，关键求出变换阵P。 有几个重要结论： （1）变换前后系统特征方程和特征值的 不变性。 （2）传递函数矩阵的不变性。
点评：第一法称为近似法，是解系统的微分 方程式，然后根据解的性质来判断系统的 稳定性。第二法称为直接法，这种方法是 确定线性时变和非线性系统稳定性的更一 般的方法。这种方法可以在无需求解状态 方程的条件下确定系统的稳定性。
5.当一个单输入单输出系统同时存在状 态反馈和状态观测器时，反馈系数K和观 测阵G的变化是否互相影响两部分的特 征值?系统的特征值与两部分特征值的关 系？ 答：不是，两部分是相互独立的，系统 的特征值为两部分特征值的乘积。
线性系统理论多年考题和答案
线性系统理论多年考题和答案2019级综合大题⎡400⎤⎡1⎤⎥x +⎢1⎥u x =⎢0-21⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣00-1⎥⎦⎣0⎥⎦y =[112]x1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？3 求方程的传递函数；4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由；6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。
参考解答： 1.判断能控性：能控矩阵M =⎡⎣B可控，不能任意配置极点。
2按可控规范型分解AB⎡1416⎤⎢1-24⎥, rank (M ) =2. 系统不完全A 2B ⎤=⎦⎢⎥⎢⎣000⎥⎦⎡1⎢3140⎡⎤⎢1⎢⎥-1取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成P =1-20，求得P =⎢⎢⎥⎢6⎢⎥⎢⎣001⎦⎢0⎢⎣2⎤⎡08⎢3⎥⎡1⎤⎢⎥1⎢⎥-1-1进行变换=PAP ⎢12-⎥, =PB =0, =cP =[222]⎢⎥⎢6⎥⎢⎢⎥⎣0⎥⎦001⎢⎥⎢⎥⎣⎦2⎤0⎥3⎥1-0⎥⎥6⎥01⎥⎥⎦⎧⎡08⎤⎡1⎤⎪x =⎢⎥x +⎢0⎥u12所以系统不可简约实现为⎨⎣⎦⎣⎦⎪y =[22]x ⎩3.G (s ) =c (sI -A ) -1B =4.2(s -1)(s +1) 2(s -1)=(s -4)(s +2)(s +1) (s -4)(s +2)det(sI -A ) =(s -4)(s +2)(s +1) ，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。
G (s ) =c (sI -A ) -1B =2(s -1)，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不(s -4)(s +2)是BIBO 稳定。
系统发散，不是李氏稳定。
南航江驹线性系统理论习题
2s 1 s ( s 1) 2s 1 s ( s 1) 2
0 0 0 1 0 s 2 ( s 1) s( s 2) s S (s) 0 0 ( s 2) 1 0 0 1 0
1 0 x 0 0
0 1 1 0
0 0 5 0
0 0 0 0 x u, 0 1 6 1
y 1 0 0 1 x
将系统进行标准结构分解。 2-6 判断下列系统的输出可控性，输出函数可控性和输入函数可观测性
0 1 0 （1） A 0 0 1 , 3 2 1 0 1 0 （2） A 1 2 0 , 0 0 3 0 1 0 （3） A 1 2 0 , 0 0 3 0 1 0 （4） A 1 2 0 , 0 0 3
det e At ei t
i 1
n
1-14 若图 1-11 两个反馈链接的子系统，其传递函数阵分别为
1 s 1 G1 ( s ) 0
1 s 2 , s 1 s 2
1 s 3 G2 ( s ) 1 s 1
2-13 给定单变量线性定常系统
y 0 1 x
Ax bu , y cx x
已知 ( A, b) 为可控，问是否存在 C 使得 ( A, C ) 总是可观测。请加以论证，并举例说明 之。 2-14 已知系统的传递阵为
( s 3) 1 s 1 ( s 2)( s 1) （1） G ( s ) ( s 2) 1 s 1 ( s 3)( s 1)
线性系统理论习题集(郑大仲)
第2章一、状态空间描述的建立1． (由系统机理建立状态空间描述) 如图电路，写出系统的状态方程和输出方程。
选择状态变量x =u c ，输入变量u = e (t )，输出变量y = u c 。
解：如图电路，写出系统的状态方程和输出方程。
选择状态变量x =u c ，输入变量u = e (t )，输出变量y = u c 。
解：11c c du e u R C ,x x u ,y xdt RC RC=+⋅=-+=2．(由输入输出描述建立状态空间描述)系统的传递函数如下，求系统的状态空间描述41265)(232+++++=s s s s s s G解：可控标准形， []x 115100x 6124100010x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=y u ； ； 或可观标准形， []x 100115x 6101201400x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=y u ； 3．例2.3 给定单输入单输出线性定常系统的输入输出描述为3324160720()16194640s s G s s s s ++=+++ 试求系统的状态空间表达式。
解：此例中3m n ==。
由长除法得3232324160720646161840()41619464016194640s s s s G s s s s s s s ++---==+++++++则系统的状态空间表达式为e(t)u c[][]112233123010000106401941611840616644x x x x u x x x y x u x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦4．例2.2：已知二阶系统的微分方程22yy y T u u ξωω++=+ 试求系统的状态空间表达式。
解：可控规范形实现为：[]1112222010121c c c c c c xx x u y T x x x ωξω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； 则可观测规范形实现为：[]2111222100112o o o o o o x x x u y x x x T ωξω⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ；二、传递函数矩阵的计算1．系统的状态空间描述如下，求系统的传递函数矩阵G (s )，u 10x 5261x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= ；x 0210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--1217611052610210)I ()(211s s s s s B A s C s G 。
线性系统理论课后-答案
给定图P2.1(町和(b)所示两个电路，试列写岀其状态方程和输出方程。
其中, 分別指定：⑹状态变II组廿二陀・输入变量“ = 输出变畳尸=f(b)状态变量组齐= u c2 >输入变量输出变量y =(a) O)图P21解本题属于由物理系统尊立状态令间描述的基本题.意在训练正确和熟练运用电路定律列写出电路的状态方程和输出方程。
W列写P2.1(a)电路的状态方程和输川方程。
首先.考虑到电容C和电感I为给定电路中仅有的两个储能元件，电容端电压弋和流经电感电流/构成此电路的线性无关极人变裁组.从而选取状态变量组召=陀和勺符合定义耍求o基此，利用电路元件关系式利回路基尔霍夫定律.定出电路方程为cS d/再由上述电路方程导出状态变量陀和i的导数项..可得到状态变屋方程规范形式,dx 1 & 1丁二一"V u c —匸t + ~e d/ L c L L表u c x<to c/d/和i = d//dn并将上述方程组表为向量方程，就得到此电路的状态方程:继而，按约定输出y =几可直接得到此电路的输出方程：”[0 1卄(b)列写P2.1(b)电路的状态方程和輸出方程。
类似地，考虔到电容C]和C?为给定电路中仅有的两个储能元件，电容端电压呵和叱构成此电路的线性无关极大妾量组，选取状态变量组刁二呵和帀二叱2符合定义要求丿基此，利用电路元件关系式和回路基尔霍夫定律，定出电路方程为du cC&才4匕+七=€++M Q =€再由上述电路方程导出状态变最叱和叱:的导数项，可得到状态变量方程规范形式:表％二血c/击和击，并将上述方程组表为向最方程，就得到此电路的状态方程:继而，按约定输出y讥，可由电路导出:尸％% +七将其表为向量方程，就得到此电路的输出方程！T 1］卜融2・6求岀下列各输入输出描述的一个状态空树描述：⑴笳)—2?十18$+如1 i(s) ?+6?+11J 4-6(ii) 叫 n龜)(g+3)2(zl)解本题属于由传递函数型输入输出描述导出状态空间描述的基本题。
【理论】北航线性系统理论完整版答案
【关键字】理论1-1 证明：由矩阵可知A的特征多项式为若是A的特征值，则所以是属于的特征向量。
1-7 解：由于，可知当时，，所以系统不具有因果性。
又由于，所以系统是时不变的。
1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。
由于而，故，所以系统是时变的。
又因为而，故，所以系统具有因果性。
1-11 解：由题设可知，随变化的图如下所示。
随变化的图如下所示。
从上述两图及所描述的系统，分析如下：当，且即时，有；当时，；当时，有；当时，有；当时，有；综上所示，该松弛系统在上述输入而激励的输出为：1-15 解：由上述齐次方程，可得两线性无关的解向量为：，所以即其基本矩阵为；状态转移矩阵为：1-17 证明：由题设我们可知故，得证。
1-19 证明：由题设可知：由上式可推出又由及习题1-17的结论可推出由以上两个结论，我们可得到 所以得证。
即 得证。
1-20 解：设其等价变换为，则可知: 由于P 是非奇异矩阵，所以。
1-24 解：易知，其中为严格真有理函数矩阵，进行下列计算： ，则所以因此，可得一个实现如下： 其模拟图如下所示。
1-25 证明：由题设知同理可知若要使得两系统零状态等价，则要满足，即满足 ，得证。
2-2 解： a,由题设可知：[]315 1 7- 1 1 1-7- 1 1 1- 1 0 1 1- 10 0 1 B A AB B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rank rank ，所以系统可控； 30 2 2 8- 14- 8-1- 3- 2-4 4 2 1 2 1 1- 10 2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡rank CA CA C rank ，所以系统可观。
b,[]x c c c y u x x 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•由题设可知：[]30 1 0 1 1 0 1 0 1 1 01 A B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==rank B rank rankB ，所以系统可控； （1）若0321===c c c ，则系统不可观；（2）若321c c c ，，中至少有一个不等于零，则3 2 CA CA C 321132113212≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c c c c c c c c c c rank rank ，所以系统不可观； 总之，该系统不可观。