第六章自相关

T
T
? ? ? 因为在样本容量充分大条件下有
et 2 ≈
et
2 ?1
≈
et 2
t?2
t?2
t ?1
T
T
? ? 2
et?
2 1
?
2
et et?1
所以 DW 可以近似表示为， DW≈ t? 2
t?2
T
? et?12
= 2 (1 -
t?2
T
? et et?1
t?2
) = 2 (1 - ?? )
T
? et ?1 2
6.2 自相关的后果
模型存在自相关的后果 1. 回归系数的最小二乘估计量 ??j 仍具有无偏性。
E( ?? ) = E[ (X 'X )-1 X 'Y ] = E[ (X 'X )-1 X ' (X ? + u) ] = ? + (X 'X)-1 X ' E(u) = ?
2. Var( ??j ) 不再具有最小方差性。
法得到的回归方程去预测，预测无有效性。
5. 参数显著性检验失效。
6.3 自相关检验
（1）图示法：依据残差 et 对时间 t 的序列图作出判断。 （2）DW（Durbin-Watson）检验法 使用 DW 检验，应首先满足如下三个条件。（1）误差项 ut 的自相关为一阶自回归形式。（2） 因变量的滞后值 Yt-1 不能在回归模型中作解释变量。（3）样本容量应充分大（T ? 15） DW 检验步骤如下。
依据 OLS 公式，模型 ut = ? 1 ut -1 + vt 中? 1 的估计公式是
T
? utut?1
a?1
=
t?2 T
。
? ut?12
t?2
若把 ut, u t-1 看作两个变量，则它们的相关系数是 ?? =
T
? utut?1
t?2
。
T
T
? ? ut 2
u
t
?
2 1
t?2
t?2
对于充分大的样本显然有
ut = ? 1 ut -1 + vt
E(vt ) = 0, t = 1, 2 …, T Var(vt) = s v2, t = 1, 2 …, T。Cov(vi, vj ) = 0,
Cov(ut-1, vt) = 0, t = 1, 2 …, T
i ? j,
i, j = 1, 2 …, T
? 1 的估计值如何求呢？与ut与ut-1的 相关系数有什么联系呢？
t?2
6.3 自相关检验
DW= 2 (1 - ?? )
? 的取值范围是 [-1, 1]，所以DW统计量的取值范围是 [0, 4]。
? 与 DW 值的对应关系及意义
?
DW
ut 的表现
? =0 ? =1 ? = -1 0< ? <1 -1 < ? < 0
DW = 2 DW = 0 DW = 4 0 < DW < 2 2 < DW < 4
ut 非自相关 ut 完全正自相关 ut 完全负自相关 ut 有某种程度的正自相关 ut 有某种程度的负自相关
当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。（ 1）加大样本容量或 重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。（2）选用其 它检验方法。
DW检验临界值与三个参数有关。
附表 4 DW 检验临界值表（? = 0.05）
H0: ? = 0 (ut 不存在自相关)。H1: ? ? 0 (ut 存在一阶自相关)
用残差值 et 计算统计量 DW。
DW =
T
? (et ? et?1) 2
t?2
=
T
? et2
t ?1
T
T
T
? ? ? et 2 ? et ?1 2 ? 2 et et?1
t?2
t?2
t?2
T
? et2
t ?1
T
以一元线性回归模型 yt = ?0 + ? 1 xt + ut 中? 1 为例，
Var( ??1 ) = T s 2
? + 2
( Xt
T
?
X)( Xs
?
X)
Cov(ut us)，（为什么？ ）
? (Xt ? X)2
? t? s ( ( Xt ? X) 2 )2
t ?1
t?1
3. 有可能低估误差项 ut 的方差（估计小了）。 4. 由于 ut 存在自相关时，Var( ??1 ) 和 su2 都不具有最小方差性。用依据 OLS
70
80
90
100
a. 正自相关序列
6 X
4
2
0
-2
-4
-6
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
c. 负自相关序列
3 U
2
1
0
-1
-2
-3
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
e. 非自相关序列
6 X
4
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
b. 正自相关序列散点图
6 X
4
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
第6章 自相关
自相关的定义 自相关的来源与后果 自相关检验 自相关的解决方法 自相关系数的估计 案例分析（2例）
6.1 非自相关假定： Cov(ui, uj ) = E(ui uj) = 0, ( i, j ? T, i ? j)
如果 Cov (ui , uj ) ? 0, (i, j ? T, i ? j)则称误差项 ut 存在自相关。 自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。 自相关按形式可分为两类。 （1）一阶自回归形式。ut = f (ut-1) （2）高阶自回归形式。ut = f(ut- 1, ut -2 , … ) 经济计量模型中自相关的 最常见形式是一阶线性自回归形式。
T
k =1
k =2
k =3
k =4
k =5
dL
dU
dL
dU
dL
dU
dL
dU
dL
dU
15 1.08 1.36 0.95 1.54 0.82 1.75 0.69 1.97 0.56 2.21 16 1.10 1.37 0.98 1.54 0.86 1.73 0.74 1.93 0.62 2.15 17 1.13 1.38 1.02 1.54 0.90 1.71 0.78 1.90 0.67 2.10 18 1.16 1.39 1.05 1.53 0.93 1.69 0.82 1.87 0.71 2.06 19 1.18 1.40 1.08 1.53 1.97 1.68 0.86 1.85 0.75 2.02 20 1.20 1.41 1.10 1.54 1.00 1.68 0.90 1.83 0.79 1.99 21 1.22 1.42 1.13 1.54 1.03 1.67 0.93 1.81 0.83 1.96 22 1.24 1.43 1.15 1.54 1.05 1.66 0.96 1.80 0.86 1.94 23 1.26 1.44 1.17 1.54 1.08 1.66 0.99 1.79 0.90 1.92 24 1.27 1.45 1.19 1.55 1.10 1.66 1.01 1.78 0.93 1.90 25 1.29 1.45 1.21 1.55 1.12 1.66 1.04 1.77 0.95 1.89 26 1.30 1.46 1.22 1.55 1.14 1.65 1.06 1.76 0.98 1.88 27 1.32 1.47 1.24 1.56 1.16 1.65 1.08 1.76 1.01 1.86 28 1.33 1.48 1.26 1.56 1.18 1.65 1.10 1.75 1.03 1.85 29 1.34 1.48 1.27 1.56 1.20 1.65 1.12 1.74 1.05 1.84 注： 1. ? 表示检验水平， T 表示样本容量， k 表示回归模型中解释变量个数
-2
0
2
d. 负自相关序列散点图
X (-1)
4
6
X (-1)
4
6
4 U
2
0
-2
-4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
-4
-2
0
f 非自相关序列散点图
U (-1)
2
4
6.1自相关产生的原因
（138页）
自相关产生的原因： 1．经济变量的惯性作用。大多数经济时间序列都 存在自相关。
2. 经济行为的滞后性。 3. 数据处理造成的相关。（如用时距扩大法、指数平 滑法、内插法处理数据） 4.模型设定偏误。 5.蛛网现象。
T
? ut ut?1
T
T
? ? ut 2 ?
u t ?1 2
。代入上式得
?? ?
t?2 T
? ??1 。
t?2
t?2
?u
t
2 ?1
t?2
对于总体参数有 ? = ? 1。ut 的一阶自回归形式可表示为， ut = ? ut-1 + vt
序列的自相关特征分析。
4 X
2
0
-2
-4
10
20
30
40
50
60