家教4——平方根
平方根知识点总结
平方根知识点总结
1. 平方根的定义
平方根是一个数字的平方的正值的那个根。
通常使用符号√来表示。
例如,√4 = 2,因为2的平方等于4。
2. 平方根的性质
a) √(a×b) = √a×√b
b) √(a/b) = √a/√b (b≠0)
c) (√a)^2 = a
d) (√a)^n = a^(n/2) (n为偶数)
e) √(a^n) = a^(n/2) (n为偶数)
3. 无理数和有理数的平方根
a) 完全平方数的平方根是有理数,例如√4 = 2,√9 = 3。
b) 非完全平方数的平方根是无理数,例如√2,√5,√π。
4. 计算平方根的方法
a) 对于有理数,可以通过长除法计算平方根的近似值。
b) 对于无理数,可以使用牛顿迭代法或其他数值方法来近似计算平方根。
c) 科学计算器和计算机可以快速精确地计算平方根。
5. 平方根在几何中的应用
平方根在计算三角形的边长、面积和体积等几何运算中有广泛应用。
例如,勾股定理就涉及到直角三角形的两条直角边的平方根和。
平方根是一个基本的数学概念,在各个学科领域中都有重要的应用。
掌握平方根的基本性质和计算方法,对于进一步学习高等数学和相关领域知识很有帮助。
初中数学知识归纳平方根的概念和运算
初中数学知识归纳平方根的概念和运算初中数学知识归纳——平方根的概念和运算在初中数学中，平方根是一个重要的数学概念，它与方程、代数、几何等不同数学分支有着紧密的联系。
理解和掌握平方根的概念及其运算方法，对于学习更高级的数学知识以及实际生活中的问题解决都至关重要。
本文将详细介绍平方根的概念、性质和运算方法，帮助读者全面理解这一知识点。
一、平方根的概念平方根是指一个数的平方等于给定数的数值。
用符号√a表示，其中a为待开方的数，√称为根号，a称为被开方数。
在数学上，平方根可以分为正平方根和负平方根两种形式。
例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4，这些都是正平方根。
负平方根可以表示为-√a，例如-√4 = -2，-√9 = -3，-√16 = -4。
二、平方根的性质1. 平方根的符号平方根的符号与被开方数的符号有关。
当被开方数为正数时，平方根也为正数；当被开方数为负数时，平方根为虚数。
2. 平方根的存在性非负数都有平方根。
正数的平方根是正数，而负数没有实数平方根，只有虚数平方根。
3. 平方根的运算律（1）非负数的平方根是唯一的。
（2）两个非负数的乘积的平方根等于它们各自平方根的乘积，即√(a×b) = √a × √b。
（3）两个非负数的商的平方根等于它们各自平方根的商，即√(a/b) = √a / √b。
（其中b不等于0）三、平方根的运算方法1. 化简含有平方根的表达式当一个数的平方根不能被整除时，我们可以尝试对其进行化简。
例如，√12可以化简为2√3。
2. 计算平方根的近似值有些数的平方根无法精确表示为有限小数，只能使用近似值来表示。
这时可以借助计算器或者牛顿-拉弗森算法等方法来计算。
3. 运用平方根进行方程的求解平方根的概念在求解方程时经常被使用，例如，对于方程x^2 = 16，可以得到x = ±4，其中正负号表示正平方根和负平方根。
四、应用举例平方根的概念和运算方法在实际生活中有广泛的应用，例如：1. 建筑设计中，需要确定一个房间的边长时，可以通过计算平方根来得到准确的结果。
4的平方根是2还是±2
4的平方根是2还是±2？
答案：±2
答案解析：平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。
一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。
如果是求4的平方根，则4的平方根是±2。
知识拓展：
1.根号是一个数学符号。
根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。
若aⁿ=b，那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。
开n次方，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界。
2.若一个非负数x的平方等于a，即x=a，则这个数x叫做a的算术平方根。
所以得出的数是始终大于0的，所以√4=2。
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
负数在实数系内不能开平方，只有在复数系内，负数才可以开平方。
3.开n次方的n写在符号√￣的左边，n=2（平方根）时n可以忽略不写，但若是立方根（三次方根）、四次方根等，是必须书写。
八年级数学上册课件：4-1《平方根》课件(共12张PPT)PPT课件
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4.1 平方根（1）
一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根．
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通 过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平 方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根．
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• 探索规律，揭示新知
( 4 2 ) 2 1 1 ( ) 9 3
2
( 1 6 4 )
2
2
( 0 . 2 5 0 .5 )
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根， 也称为二次方根． • 也就是说，如果 请举出与上面类似的例子，你能得到什么结论？ x² ＝a (a≥0)，那么x叫做a的平方根． • 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 4 的 平 方 根 是 2 1 6 的 平 方 根 是 4 0； 1 • 0的平方根是 1 0 . 2 5 的 平 方 根 是 0 . 5 的 平 方 根 是 9 • 负数没有平方根 3 .
4
4.1 平方根（1）
1．下列各数有平方根吗？如有，请写出来
4 9，5，2 5 ，0，9 2．填空：
（
（
9
，-8，-36
）2＝4，（
）2＝0，（
）2＝5 ，
）2＝－ 2 5
4
（
，（
1 6 ）2＝－4．
）2＝
9
，
3. 36的平方根是什么？ 8的平方根是什么？
求一个数的平方根的运算叫做开平方.
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练习： 1．写出下列各数的平方根．
1 81，289，0， 2 ，2.56，0.81． 4
学习指南如何正确运用平方根的知识
学习指南如何正确运用平方根的知识在数学学习中，平方根是一个重要的概念。
它广泛应用于各个领域，包括代数、几何、物理等。
正确运用平方根的知识可以帮助我们解决各种数学问题。
本文将介绍一些关于平方根的基本概念和运用技巧，以及实际问题中如何正确应用平方根来解决。
一、平方根的基本概念平方根是指一个数的平方等于被开方的数。
例如，√25 = 5，因为5的平方等于25。
平方根用符号“√”表示，被开方的数称为被开方数，开方后的结果称为平方根。
二、平方根的运算性质1. 平方根的正负性：非负数的平方根都是正数。
例如，√9 = 3，-√9 = -3。
负数没有实数平方根。
2. 平方根的乘法：√(xy) = √x * √y。
根号下乘法可以拆分为根号分别乘以根号。
3. 平方根的除法：√(x/y) = √x / √y。
根号下除法可以拆分为根号分别除以根号。
4. 平方根的加法和减法：根式相同的情况下，可以进行加法和减法运算。
例如，√2 + √3 = √(2+3) = √5。
三、平方根的运用技巧1. 化简平方根：对于含有平方根的式子，我们可以尝试将其化简。
例如，√8 = √(4*2) = √4 * √2 = 2√2。
2. 分解因式化简：利用平方根的乘法性质，我们可以通过分解因式的方法进行化简计算。
例如，√75 = √(25*3) = √25 * √3 = 5√3。
3. 合并同类项进行运算：当两个平方根具有相同的根式时，可以合并同类项进行运算。
例如，2√5 + 3√5 = (2+3)√5 = 5√5。
4. 应用勾股定理：勾股定理是平方根的重要应用之一。
在已知直角三角形两个直角边长度时，可以利用勾股定理求解斜边的长度。
例如，已知直角三角形的两个直角边长分别为3和4，则斜边的长度为√(3^2+4^2) = √(9+16) = √25 = 5。
四、平方根的实际应用平方根的知识在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的实际应用场景：1. 计算物体的速度：根据物理学中的公式，速度的计算可能涉及到平方根。
初中数学平方根知识点整理
初中数学平方根知识点整理平方根是数学中的一个重要概念，它是指一个数的平方根是另一个数，即被开方的数。
在初中数学中，平方根是一个基础知识点，学生需要掌握平方根的计算方法和相关性质。
下面我们来整理一下初中数学中关于平方根的知识点。
一、平方根的定义1.正数的平方根：如果a的平方等于b，那么b就是a的平方根，记为√b=a。
例如，√9=3，因为3的平方等于92.负数的平方根：负数的平方根可以写成√-a=i√a，其中i是虚数单位。
例如，√-9=3i，因为3i的平方等于-9二、平方根的计算1.简化平方根：将一个数写成两个数的积的形式，其中一个数是能被开方的完全平方数，这样就可以简化平方根的计算。
例如，√75=√25×3=5√32.估算平方根：对于不是完全平方数的数，可以通过估算来计算它的近似值。
例如，√13≈3.6，因为3.6的平方约等于13三、平方根的性质1.非负性：平方根是非负数，即√a≥0。
2.奇函数：平方根函数是奇函数，即√(-a)=-√a。
3. 开平方的性质：如果a≥0，b≥0，则√(ab)=√a×√b。
4.套用公式：如果√a=√b，则a=b；如果√a=-√b，则a=-b。
四、平方根的应用1.平方根定理：平方根定理是一个在初中数学中广泛应用的公式，它是勾股定理的推广，用于解决关于直角三角形的问题。
2.模型问题：平方根在数学建模中有着广泛的应用，例如在物理学中用于求解速度、加速度等问题。
3.几何问题：平方根在几何图形中也有着重要的应用，例如用于求解正方形的对角线长度。
总结：平方根是初中数学中重要的知识点之一，学生要熟练掌握平方根的计算方法和性质，灵活运用平方根解决各种问题。
希望以上整理的知识点能够帮助学生更好地理解和掌握平方根的概念。
平方根公式有哪些
平方根公式有哪些平方根，这可是数学里挺有趣的一个概念呢！咱们先来说说啥是平方根。
比如说，4 的平方根是啥？你想想，因为 2 的平方是 4，－2 的平方也是 4，所以 4 的平方根就是 ±2 。
这就好像你有两个好朋友，一个叫正数，一个叫负数，他们俩都能通过平方变成 4 。
那平方根的公式有哪些呢？一般来说，对于一个非负数 a ，它的平方根可以用符号±√a 来表示。
这就好比是给这个数 a 开了一扇神秘的门，然后±√ 就是打开这扇门的钥匙。
我记得有一次，我在课堂上给学生们讲平方根。
有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，为啥要有平方根啊？”我笑着跟他说：“孩子，你想想啊，咱们盖房子得有地基，平方根就是数学大厦的地基之一呢！”然后我给他举了个例子，咱们平时量一个正方形的面积，如果知道面积是 9 平方米，那怎么算出边长呢？这时候就得用到平方根啦，因为边长就是面积的平方根，所以边长就是 ±3 米。
再来说说怎么求平方根。
如果数比较小，咱们可以通过背乘法口诀来想。
比如说 9 的平方根，咱们马上能想到 3 和－3 。
但要是数比较大，比如 144 的平方根是多少？这时候咱们就得用一些方法啦。
可以先把这个数分解质因数，144 等于 12×12 ，所以 144 的平方根就是±12 。
还有一种方法就是用计算器。
现在的科技可发达啦，计算器一按，平方根就出来了。
但老师还是希望同学们能自己多算算，这样脑子才会更灵活哟！在实际生活中，平方根也有很多用处呢。
比如说，工程师在设计桥梁的时候，要计算材料的受力面积，这就可能用到平方根。
还有装修师傅在计算房间的对角线长度，也得靠平方根帮忙。
总之，平方根公式虽然看起来简单，但用处可大着呢！同学们一定要好好掌握，这样在数学的世界里就能更加游刃有余啦！就像我们在生活中，掌握了各种技能，就能更加轻松地应对各种挑战一样。
4平方根和开平方(基础)知识讲解及其练习
平方根和开平方（基础）【学习目标】1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根. 【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果那么X叫做d的平方根.求一个数d的平方根的运算，叫做开平方.d叫做被开方数•平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数d的两个平方根可以用“ 土長”表示，其中苗表示d的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号d”：表示a的负平方根，读作“负根号a”.要点诠释：当式子有意义时，d—泄表示一个非负数，即苗鼻0，d20.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1.区别：（1）泄义不同：（2）结果不同：±苗和亦2.联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，苴中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三.平方根的性质I a>0=1 a 1= <0 a = 0-u a <0（亦）=a （a >0）要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位•例如：V625OO = 250 , >/625=25, J亦= 2.5, Jo.0625 = 0.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）扎5是25的算术平方根 B. 1是1的一个平方根C. （-4）2的平方根是一4D. 0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.扎因为^25 =5,所以本说法正确：B. 因为土 VT = ±1,所以1是1的一个平方根说法正确；c.因为士 J （r ）2 = ±皿=±4,所以本说法错误：D.因为土＞/0=0,而=0,所以本说法正确：【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的眾义，关键是明确运用好泄义解决问题. 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1） -9没有平方根.（ ）（2） V16=±4.（ ）（3）（—护的平方根是讣.（ ） 24 （4） ——是亍的算术平方根.（ ）5 25【答案】V ； X • J ； X ,提示：（2） 716=4： （4） 2是殳的算术平方根.525 C^2、填空：（1）-4是 的负平方根.（4）若= 则兀= ____________ ,若 =则/= ______ ・ 【思路点拨】（3） 石就是右的算术平方根，此题求的是十的算术平方根.【答案与解析】（1）16；⑵ 丄;;⑶；（4） 9： ±316 4 3【总结升华】要审淸楚题意，不要被表而现象迷惑•注意数学语言与数学符号之间的转化. 举一反三：【变式1】下列说法中正确的有( ):(2)的算术平方根, (3)的算术平方根为①3是9的平方根. ②9的平方根是3.③4是8的正的平方根.④是64的负的平方根.A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B；提示：①④是正确的.【变式2】(•凉山州)価的平方根是__________ .【答案】±3.解：因为何二9, 9的平方根是±3,所以答案为±3.3、(•古冶区二模)如果一个正数的平方根为2a+l和3a-11,则a二( )A. ±1B. 1C. 2D. 9【思路点拨】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求岀方程的解即可得到a的值.【答案】C.【解析】解:根据题意得:2a+l+3a-U=0解得：a=2.故选C.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 举一反三：【变式】代数式y 牙有意义，则x的取值范围是 _________________ .【答案】x>3.类型二、利用平方根解方程* 4、(春•鄂州校级期中)求下列各式中的x值，(1)169X2=144(2)(x-2) 2 - 36=0・【思路点拨】(1)移项后，根据平方根圧义求解：(2)移项后，根据平方根左义求解.【答案与解析】解：(1) 169x^144,2 144二--- ,169x二士一・13(2) (x・2) 2 - 36=0>(x-2)、36,x - 2= ±>/36 ,x - 2=±6,x=8 或x二-4.【总结升华】本题考査了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数. 类型三、平方根的应用V 5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米.求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为X,长为3X,由题意得，X - 3 x =13233X2 =1323x = ±2lx = -21（舍去）答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【巩固练习】一•选择题1. （•泰州）4的平方根是（） A. ± 2 B. -22. 下列各数中没有平方根的是（） A.（-3）'B. 0 3. 下列说法正确的是（） A. 169的平方根是13 C. （-13），的平方根是一 134. 要使代数式J 三有意义，则X 的取值范国是（ ）A. B. x> 2 C ・ x > 2 D. x<25. （•江西校级模拟）下列各等式中，正确的是（） A* 诃（-3） $二-3B. 土佇二3C. 2=-3D.佇二±36. —个数的算术平方根是d,则比这个数大8数是（） A. a+8B. d -4C. a 2-8D. a 2-iS二填空题 7. 计算：（1） y/\2\= ______ : （2） -^256= ________ : （3） ±^/iF= _______ :（4）仔= _______ : （5） J （-3）2 = ___ : （6） -^2^= ________ .8. （•广东）9的算术平方根是 _______ •9. ■的平方根是 ____ ； 0. 0001算术平方根是 ______ : 0的平方根是 _____ .25 10. J （-4）2的算术平方根是 _____ :阿的算术平方根的相反数是 ___________ • 11. （春•丹江口市期末）若一个正数的两个平方根是2a-1和-a+2,则a 二 ___________ ,这个正数是 _______ .12・y/3表不3的 _______ : i ^3表不3的 _______ ・三•解答题13. 求下列各式中的X.（1） X 2-143 = 1；C. 2D. ±- 2 C. - D. -6‘ 8 B. 1.69的平方根是±1.3D. 一 (-13)没有平方根(2) 4X2-1=0：(3)4(X +2)2=25.14.（春•福淸市期中）福淸某小区要扩大绿化带而积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其而积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长.15•思考题：估计与J55最接近的整数.【答案与解析】选择题1.【答案】A；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.2.【答案】D；【解析】负数没有平方根.3.【答案】B；【解析】169的平方根是±13, (—13)'的平方根是±13.4.【答案】B：【解析】被开方数为非负数.5.【答案】A；【解析】解：A、- J ( 一3) 2二-3,故A正确：B、土傅二±3,故B错误；C、被开方数是非负数，故C错误；D、佇二3,故D错误：故选：A.6.【答案】D；【解析】一个数的算术平方根是d，则这个数是二•填空题7.【答案】11； -16； ±12； 9； 3：28.【答案】3；9.【答案】士#: 0.01； 0.10.【答案】2： -3；【解析】归产=4, x/8? =9,此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.11.【答案】-1，9：【解析】解:依题意得，2a - 1+ (- a+2)二0,解得：f 1・则这个数是(2a- 1) 2= ( -3)、9・故答案为：-h 9.12.【答案】算术平方根；平方根.三.解答题13.【解析】解：(1) %2 =144 (2) x2 = -(3) x + 2=±-4 2" 亠1 9 1X = H12 x = ± - x.= ——, =—2 1 2 ' 2 14.【解析】解：原绿化带的面积:102=100 (m2),后绿化带的面积:4X100=400 (m2),则扩大后绿化带的边长是｛^乖20 (m),答：扩大后绿化带的边长为20m.15.【解析】解：V25<35<36即5<^35 <6V35比较接近36,/. >/35最接近的整数是6.。
平方根口诀表简便方法
平方根口诀表简便方法
平方根是数学中常见的概念，它是一个数的平方根是另一个数的非负平方根的其中一个。
计算平方根的口诀表是一种简便方法，可以帮助我们快速而准确地计算各个数的平方根。
以下是一份平方根口诀表简便方法的总结：
1. 完全平方数根的口诀表
• 1 的平方根是 1
• 4 的平方根是 2
•9 的平方根是 3
•16 的平方根是 4
•25 的平方根是 5
•36 的平方根是 6
•49 的平方根是 7
•64 的平方根是 8
•81 的平方根是 9
•100 的平方根是 10
•121 的平方根是 11
•144 的平方根是 12
•169 的平方根是 13
•196 的平方根是 14
•225 的平方根是 15
通过记忆上述完全平方数的平方根，可以快速进行平方根的计算，特别是在一些简单的数学问题中，节省时间和提高效率。
2. 非完全平方数根的近似计算
对于非完全平方数，我们可以使用一些近似计算的方法来估算平方根的值。
例如，对于一个数字 x，我们可以找到离它最近的完全平方数 y，然后参考 y 的平方根来近似计算 x 的平方根。
举例来说，要计算 15 的平方根。
15 最接近的完全平方数是 16，而 16 的平方根是 4。
因此，我们可以近似认为 15 的平方根约等于 4。
结语
平方根口诀表简便方法是一种在日常生活和学习中都非常实用的技巧，它可以帮助我们快速计算平方根，尤其是在没有计算器或电子设备的情况下。
通过掌握这
些口诀和近似计算方法，我们可以更加轻松地处理一些数学问题，提高计算效率，带来更多的便利和乐趣。
4的平方根
4的平方根
是±2。
平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。
一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。
如果是求4的平方根，则4的平方根是±2。
1.本节重点介绍平方根和算术平方根的概念。
是平方根平方根运算的基础，也是引入无理数的预备知识。
对平方根概念的正确理解有助于对符号表示法的理解，是正确计算平方根的前提，直接影响到平方根的学习。
算术根的教学不仅是本章教学的重点，也是以后数学学习的重点。
在后面的求根运算的学习中，归根到底是算术根的运算，非算术根也要转化为算术根。
2.这一节的难点是平方根和算术平方根的区别和联系。
首先，这两个概念很容易混淆，学生不容易区分各自符号的含义。
在教学中，要把握算术平方根，解释各自符号的含义，区分两种表示法的区别。
3.这一节的主要内容是平方根和算术平方根。
注意数字要简单，关键是让学生理解概念。
另外，在叙述中要注意语言的严谨和规范。
4平方根和开平方(提高)知识讲解及其练习
平方根和开平方（提高）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a的两个平方根可以用“a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”.要点诠释：a0，a≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()2a a=≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、（•饶平县期末）已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求，3x+5y 的算术平方根．【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解． 【答案与解析】解：由x-1的平方根为±2，得x-1=4，x=5由3x+y-1的平方根为±4，得3x+y-1=16， ∵x=5∴3×5+y-1=16，解得y ＝2， ∴3x+5y=2525的算是平方根为5.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的那个叫做这个数的算术平方根． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-； (4)13x x --． 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x -(3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-有意义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠时13x x -- 【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b+的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=，∴11a b +的算术平方根为112a b+=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=；(2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解． 类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=；（3）()2932640x +-= 【答案与解析】 解：（1）∵23610x -= ∴2361x = ∴36119x =±=±（2）∵()21289x +=∴1289x +=± ∴x ＋1＝±17 x ＝16或x ＝－18. （3）∵()2932640x +-=∴()264329x +=∴8323x +=±∴21499x x ==-或【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三：【变式】（春•乌兰察布校级期中）求x 的值：（x ﹣2）2=4． 【答案】解：∵，∴（x ﹣2）2=36，∴x ﹣2=6或x ﹣2=﹣6，解得：x 1=8，x 2=﹣4．类型四、平方根的综合应用5、（秋•沙坪坝区校级期末）若x ，y 为实数，且满足．求的值．【答案与解析】 解：∵+|y ﹣|=0，∴x=，y=，则原式2211111114+4+=++=14422424⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1． 【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x ，y ，然后代入求值即可. 举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值．【答案】解：由2110x y -++=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=． ②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得 32300x x ⋅=. 26300x =. 250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm . ∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.【巩固练习】一.选择题1．下列说法中正确的有（ ）．①只有正数才有平方根． ②2-是4的平方根． ③16的平方根是4±． ④2a 的算术平方根是a ． ⑤2(6)-的平方根是6-．⑥ 93=±．A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个 2．若m ＝40－4，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2 B. 2＜m ＜3 C. 3＜m ＜4 D. 4＜m ＜5 3. 试题下列说法中正确的是（ ）A.4是8的算术平方根B.16的平方根是4C.6是6的平方根D.－a 没有平方根 4.（•河南模拟）若=a ，则a 的值为（ ） A.1 B.﹣1 C. 0或1 D. ±15.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x ＝64时，输出的y 等于（ ）A.2B.8C.32226.（•裕华区一模）下列运算正确的是（ ）A.2(13)13--=2(6)6-=- C.255-=-93=±二.填空题7. 10404102= 1.0404__________.8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm 和5cm 的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 ________. 9. 下列各数：81，1625，1.44，12481_______________；算术平方根分别是_______________. 10．（1）25的平方根是________；（2）()25-的平方根是________，算术平方根是________； （3）2x 的平方根是________，算术平方根是________； （4）()22x +的平方根是________，算术平方根是________．11．（安徽三模）364的平方根为______． 12.（•前郭县二模）观察下列各式：=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将第n （n ≥1）个等式写出来 ． 三.解答题 13．（春•武汉校级月考）求下列各式中x 的值．①x 2﹣25=0②4（x+1）2=16． 14.已知1y -和12x -互为相反数，且0x ≠，求yx的值．15.如图，实数a ，b 对应数轴上的点A 和B ，化简2222()()a b a b a b +---+【答案与解析】 一．选择题 1. 【答案】A ；【解析】只有②是正确的. 2. 【答案】B ；【解析】6407<<，所以2＜40－4＜3 .3. 【答案】C ；【解析】A.∵4是16的算术平方根，故选项A 错误；B.∵16的平方根是±4，故选项B错误；C.∵6是6的一个平方根，故选项C 正确；D.当a ≤0时，－a 也有平方根，故选项D 错误．4. 【答案】C ； 【解析】解：∵=a ，∴a ≥0．当a=0时，=a ；当0＜a ＜1时，＞a ； 当a=1时，=a ； 当a ＞时，＜a ；综上可知，若=a ，则a 的值为0或1． 故选C ．5. 【答案】D ；【解析】根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8，8再输入得其算术平方根是226. 【答案】C ；【解析】解A.2(13)13-=-故错误；2(6)6-=故错误；C.255-=-正确； 93=，故错误.二.填空题7. 【答案】1.02；【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位. 8. 34cm ；223534+=9. 【答案】±9；±45；±1.2；±32；±3；9；45；1.2；32；3. 10.【答案】（1）±5；（2）±5；5；3）±x ，|x |；（4）±（x ＋2）,| x ＋2|；【解析】2||a a =.11.【答案】±2.【解析】∵4的立方是64，∴64的立方根是4，4的平方根是±2，故答案为：±2． 12.【答案】； 【解析】解：=（1+1）=2，=（2+1）=3， =（3+1）=4，…，故答案为：．三.解答题 13.【解析】解：①移项可得：x 2=25，解得：x=±5； ②系数化为1得：（x+1）2=4， ∴x+1=±2， ∴x=1或x=﹣3.14.【解析】解：两个非负数互为相反数则只能均为0，于是y －1＝0，1－2x ＝0，求得y ＝1, 12x = ∴yx＝2. 15.2||a a =∵0a b a b <<<且∴原式＝－a ＋b －(b －a )－(a ＋b ) ＝－a ＋b －b ＋a －a －b ＝－a －b .。
4的平方根是2还是±2
4的平方根是2还是±2
是±2。
平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。
一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。
如果是求4的平方根，则4的平方根是±2。
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1.本节重点是平方根和算术平方根的概念。
平方根是开方运算的基础，是引入无理数的准备知识。
平方根概念的正确理解有助于符号表示的理解，是正确求平方根运算的前提，并且直接影响到二次根式的学习。
算术根的教学不但是本章教学的重点，也是今后数学学习的重点。
在后面学习的根式运算中，归根结底是算术根的运算，非算术根也要转化为算术根。
2.本节难点是平方根与算术平方根的区别与联系。
首先这两个概念容易混淆，而且各自的符号表示意义学生不是很容易区分，教学中要抓住算术平方根式平方根中正的那个，讲清各自符号的意义，区分两种表示的不同。
3.本节主要内容是平方根和算术平方根，注意数字要简单，关键让学生理解概念。
另外在文字叙述时注意语言的严谨规范。
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平方根知识点总结【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a(a≥0)的平方根的符号表达为0)a≥a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()2a a=≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=，25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m－4与3m－1是同一个正数的两个平方根，求m的值．举一反三：【变式】已知2a－1与－a＋2是m的平方根，求m的值.2、x为何值时，下列各式有意义？类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．22+；34类型三、利用平方根解方程 4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______．巩固练习一、选择题1． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 2．下列计算正确的是（ ）A ±2BC.636=±D.992-=-3．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B 2C.4 D. 24． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A ．4B ．18C ．-14D ．146．下列结论正确的是（ ）A6)6(2-=-- B 9)3(2=-C 16)16(2±=-D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±=B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-C 、7±是49的平方根，即749=±D 、7±是49的平方根，即749±=8．下列语句中正确的是（ ）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、 9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个 10．下列语句中正确的是（ ）A 、任意算术平方根是正数B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根11．下列说法正确的是（ ）A ．任何数的平方根都有两个B ．只有正数才有平方根C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数D ．2a 的平方根是a ±12．下列叙述中正确的是（ ） A ．（-11）2的算术平方根是±11B ．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大C ．大于零而小于1的数的平方根比原数大D ．任何一个非负数的平方根都是非负数二、填空题1、______数有两个平方根，它们的和为______；零的平方根是______； ______数没有平方根2、0.16的平方根是_______3、8125的算术平方根是_______4、81的正的平方根的平方根是_______5、81的平方根是_______6、25-的平方根是________7、257⎪⎭⎫⎝⎛-的平方根是_________8、6-是_______的一个平方根 9、_______的平方是0.04 9、如果2x =1.96，那么x=________ 10、1664-的平方根是_______ 11、一个正方形的面积是5cm 2，这个正方形的边长是________cm 12、如果x =9，那么x=_______ 13、()23π-的算术平方根是______14、()56x 2=-，则x=_________15、正数k 的两个平方根的和是_________，积是________16、如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是 17、如果a 的平方根等于2±，那么_____=a三、求下列各数的平方根，注意书写规范1、162、0.013、1214、05、2566、0.02897、412 8、116927 9、972四、计算 1、2516± 2、1613-3、2254、272⎪⎭⎫⎝⎛--5、()28-6、()29-±平方根知识点总结答案【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a(a≥0)的平方根的符号表达为0)a≥a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()2a a=≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=，25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1； ∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数.解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1， 所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=2、x 为何值时，下列各式有意义？【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥(3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤有意义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠ 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．类型二、平方根的运算 3、求下列各式的值．2234+；【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】 解：2234+257535==⨯=；110.63035=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据(0)a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】 解：（1）∵23610x -=∴2361x=∴19x ==±（2）∵()21289x+= ∴1x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-=∴()264329x +=∴8323x +=±∴21499x x ==-或【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______．【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2.巩固练习一、选择题1． 9的算术平方根是（ B ）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 2．下列计算正确的是（ B ） A±2BC.636=±D.992-=-3．下列说法中正确的是（ D ）A ．9的平方根是3 B2C. 4D. 24． 64的平方根是（ A ）A ．±8B ．±4C ．±2 D5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ D ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．146．下列结论正确的是（ A ） A 6)6(2-=--B 9)3(2=-C 16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7．以下语句及写成式子正确的是（ B ） A 、7是49的算术平方根，即749±=B 、7是2)7(-的算术平方根，即7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即749=±D 、7±是49的平方根，即749±=8．下列语句中正确的是（ D ）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、 9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ B ）①②A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个 10．下列语句中正确的是（ D ）A 、任意算术平方根是正数B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根11．下列说法正确的是（ C ）A ．任何数的平方根都有两个B ．只有正数才有平方根C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数D ．2a 的平方根是a ±12．下列叙述中正确的是（ B ） A ．（-11）²的算术平方根是±11B ．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大 例如0.25的算术平方根为0.5，平方根为±0.5C ．大于零而小于1的数的平方根比原数大D ．任何一个非负数的平方根都是非负数二、填空题1、正 数有两个平方根，它们的和为_0___；零的平方根是__0__； __负__数没有平方根2、0.16的平方根是___±0.4____3、8125的算术平方根是___九分之五___ 4、81的正的平方根的平方根是____±3___ 5、81的平方根是___±3_____6、25-的平方根是___±5_____7、257⎪⎭⎫ ⎝⎛-的平方根是____±五分之七____ 8、6-是___36__的一个平方根 9、___±0.2____的平方是0.049、如果2x =1.96，那么x=____±1.8____ 10、1664-的平方根是__±2__11、一个正方形的面积是5cm 2，这个正方形的边长是___5_____cm12、如果x =9，那么x=___81____13、()23π-的算术平方根是___π－3___ 14、()56x 2=-，则x=____1_____15、正数k 的两个平方根的和是____0_____，积是___-k ²_____16、如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 5 ，它的平方根是 ±517、如果a 的平方根等于2±，那么_____=a三、求下列各数的平方根，注意书写规范（注意正负号）1、16 42、0.01 0.13、121 114、0 05、256 166、0.0289 0.177、412 2分之3 8、116927 9、972四、计算2、1613- 3、225 4、272⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 5、()28- 6、()29-±。