特殊四边形的辅助线

特殊四边形的辅助线

一、分割面积

1.（2005•）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．

（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．

（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？

（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

二、补全线段

补全线段，如三角形中的五线（角平分线，中线，中垂线，垂线，中位线），四边形的对角线。

2.（2008•）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，

使EF=AE，连接AF、BE和CF．

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；

（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．

3.（2007•）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边

AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．

（1）当DG=2时，求△FCG的面积；

（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；

（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．

4.（2007•）在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于

点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q．

探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ 之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；

探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．

中线

5.在□ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，∠AEF=54°，则∠B=．

6.（2011•）已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三

角形，连接DE、DF．

求证：DE=DF．

中位线

7.（2013•沙坪坝区模拟）如图，□ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于点E．（1）若∠ADB=25°，求∠BAE的度数；

（2）求证：AB=2OE．

垂线

8.（2013•）在□ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠

A=60°；

（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．

（2）试探究当△CPE≌△CPB时，□ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？

角平分线

9.（2007•）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．

（1）求证：EF+AC=AB；

（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1

平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量

关系，并证明你的猜想；

（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．

正方形对角线

10.（2005•）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则=．（结果不取近似值）

11.（2009•）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交

于点P．

（1）若AG=AE，证明：AF=AH；

（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；

（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．

12.（2011•）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，

线段EB和GD相交于点H．

（1）求证：EB=GD；

（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=2，AG=，求EB的长．

13.（2014•）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN

∥CD交DE于N．

（1）①∠MPN=；

②求证：PM+PN=3a；

（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；

（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．

三、制造全等三角形

14.（2012•）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD

于点E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长；

（2）求证：AM=DF+ME．

15.（2014•）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．

①求证：△ABP≌△ACE．

②∠ECM的度数为°．

（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为°．

②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为°．

（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．