七年级最值问题——线段和最小值问题
线段和的最小值 万能方法
M1 A1
A2
N1
提高
例2：如图，已知AB是⊙OB中AC的 30直0 径，
，点D是线段AC上的任意一点1 C（DO不D 含端点），
连接OD，当
的最小2值为6时，求AB的
长。
在RtOO1F中
O1 D1 C
O1OF 600
DE
OO1 4 3
A
FB
AB 8 3
O
线段和的最小值
方法策略
初中数学经常遇到求PA+PB最小值问题，或 者是求△ABC的周长最小值。 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最 短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模
存在一点P，使得△ABP的周长最
小A．B请 求BP出点APP的坐标． y 分析：因为AB的
长是确定的，故 △ABP的周长最 小时AP与BP的和
AO
x
P
为最小，所以可作 出右图所示的图
B
B
’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直 径，AB=4，点C是半圆的三等份点， 点D是弧BC的中点，AB上有一动点 P，连接PC，PD，则PC+PD的最小 值是多2 2少？并画出点P的位置C .
型1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）l 如
图，直线 表示草原上的一条河流。一骑
马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后
返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走， 能使路程最短？作出这条最B 短路P线'A P'B
直线l A为A'
线
的中垂
线段和最小值问题整理
线段和最小值问题是一类数学问题，通常涉及到在给定的线段上找到使某个函数取得最小值的点。
这类问题在数学建模、优化问题和几何学中都有应用。
下面是对线段和最小值问题的整理：
1. 定义线段：线段是由两个端点确定的一段连续的直线部分。
2. 定义函数：线段和最小值问题通常需要定义一个函数，该函数将线段上的点映射到一个实数上。
3. 最小值问题：线段和最小值问题的目标是找到线段上使函数取得最小值的点。
4. 解决方法：解决线段和最小值问题的方法通常包括数学分析和优化算法。
a. 数学分析：通过分析函数的性质、导数和极值点等，可以找到函数取得最小值的点。
b. 优化算法：如果函数较为复杂或者无法通过数学分析得到解析解，可以使用优化算法，如梯度下降法、遗传算法等，来搜索最小值点。
5. 约束条件：线段和最小值问题中，通常会存在一些约束条件，如线段的端点范围、函数的可行域等。
这些约束条件需要考虑在解决问题时。
线段和最小值问题的具体形式和解决方法会因具体情况而异，可以根据具体问题的特点来选择合适的方法进行求解。
数学北师大版七年级下册线段和的最小值问题
线段和的最值小值问题第8课时线段和、差的最值问题是一类综合性较强的问题，主要归于两个几何模型：1．求“变动的线段之和的最小值”时，可归于“两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）”．如图，在直线l 上确定一点P ，使PB PA最小．一、选择题1．下列说法中正确提（ ）（A ）到直线l 的距离相等的两点关于直线l 对称 （B ）角是轴对称图形，对称轴是角平分线 （C ）圆是轴对称图形，有无数条对称轴 （D ）有一个内角是60º的三角形是轴对称图形 2．已知△ABC 和△ADC 关于直线AC 轴对称，若 ∠BAD +∠BCD =170º，那么△ABC 是（ ）（A ）直角三角形（B ）等腰三角形 （C ）钝角三角形 （D ）锐角三角形 3．如图，点P 、Q 在直线AB 外，点O 在直线AB 上从左往右运动形成无数个三角形：△O 1PQ 、△O 2PQ 、△O 3PQ 、…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长（ ）（A ）不断变大（B ）不断变小 （C ）先变小再变大 （D ）先变大再变小4．如图所示，在正方形网格中有格点A 、B ，在数轴上找一点P A ，使P 到点A 和点B 的距离之和最小．则点P 所对应的数为（ ）（A ）−2 （B ）0 （C ）2 （D ）3 二、填空题5．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，沿DE 折叠△ABC 后，点A 落在点A ′处，若∠C =120º，∠A =26º，则∠A ′DB = º．6．在△ABC 中，AC 边的垂直平分线l 交AC 于D ，BC =4，点P 在直线l 上，则P A +PB 的最小值是 ． 7．如图所示，点A 、B 均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上，若要在直线l 上找一点，使得P A 与PB 的差最大，那么P 点应在 点处． 8．如图，点P 在∠AOB 的内部， 点M 、N 分别点P 关于直线OA 、 OB 的对称点，线段MN 交OA 、 OB 于点E 、F ．若△PMN 的周 长为20cm ，PG =2cm ，PH =4cm ， 则△PEF 的周长为 cm ． 三、解答题9．（1）如图①，等边△ABC 中，点E 是AB 的中点，AD 是高，P 为AD 上一点，当BP +PE 的值最小时，画出图形说明P 点的位置．知识要点APQO 1O 2O 3B第3题第4题第7题ABC lD P 第6题A′ B C 第5题DEAO B P GM EFN HlB A（2）如图②，四边形ABCD 中，∠A =∠D =90°，在AD 上确定点P ，使△PBC 的周长最小．10．已知：如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，对角线BD 平分∠ABC ，E 是BC 的中点，P 是对角线BD 上的一个动点，则当PE +PC 的最小值时，试确定P 点的位置（画出图形说明理由）．一、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，∠A =90º，AD =5，对角线BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．P 是BC 边上一动点，连结PD ，则PD 的最小值为12．如图，在Rt △ABC 中，D 、E 为斜边AB 上两点，且BD =BC ，AE =AC ，则∠DCE 的大小为 º． 13．如图，等腰三角形ABC 的面积为48cm 2，底边BC 的长为8cm ，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于F ，若D 是BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为 cm ．二、解答题14．如图，已知两点P 、Q 在锐角∠AOB 内，分别在OA 、OB 上求作点M 、N ，使四边形PMNQ 的周长最小（简要说明作法及理由）．15．如图①，在∠AOB 内有一点P ，先作点P 关于直线OA 的对称点P 1，再作点P 关于直线OB 的对称点P 2． （1）猜想∠P 1OP 2与∠AOB 的数量关系，并证明； （2）当点P 在∠AOB 外部时，上述结论还成立吗？请在图②中画出相应的图形并说明理由．A图①DCBA图②DAB C P 第11题C 第12题第13题ABC F E MD DA能力提升P图① 图②A。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
浅谈线段最小值问题
初中几何中的最值问题江西省南康市龙岭中学 梁晓君在解决平面几何问题时,经常会遇到求线段（或线段和）最值的问题。
遇到这类题目时学生常常没有思路，不知从何下手。
其实，解决这类问题最常的思路就是：其解题的理论依据主要是“两点之间线段最短”，“点到直线的距离垂线段最短”及“三角形两边之各大于第三边”。
（一）利用轴对称解决线段和最小值解决线段和最小的问题时又常与轴对称联系起来，通过作对称点把要相加的线段通过等量代换，放置在同一条直线上成为一条线段。
人教版教材八年级在学习作轴对称图形时有一个例题：A 、B 两镇在燃气管道L 的同旁，现在要修一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站应修在什么地方，才能使输气管线最短？这是学生最先接触用轴对称知识来解决线路最短问题。
在这个例题的解答中，是作其中一个点关于L 的对称点，此对称点与另一点的连线与直线L 的交点P ，即为到两镇之间距离和最短的地方。
同时教材上也作出证明，让同学生们理解为什么这点就是最短的点。
在掌握这个例题后我们就有很多的题目可以通过作轴对称来解决。
我们可以看下面两题：1．在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,点P 在BD 上，则△PEC 周长的最小值是2、正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE=2，P 在BD 上，求PE+PC 的最小值。
这两题是可以直接转化成例题来解答，这种题形可归纳为“两点一线型”。
我们再看下一个题目：如图∠AOB=450，角内有一点P ，PO=10，在角两边上有两动点Q 、R （均不同于点O ），则△PQR 的周长最小值是———————— 。
本题只有一个点P ，却有两条直线OA ，OB 。
本题思路是边点P 分别作OA ，OB 的对称点同，再连接两对称点与两直线的交点即为Q ，R ，此时△PQR 的周长最小。
这种题目可归纳为一点两线型。
像教材后面的习题，马从马厩出来到河边喝水，再到草地吃草所走的路线最短就属于这种题型。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
线段和的最小值问题
143最值问题——用轴对称解决线段和的最小值问题一：【情景引入】如图：要在河边修建一个水泵站,分别向张村A 和李庄B 送水,问水泵站应修建在河边的什么地方,可使使用的水管最短?图①图②二：【精选例题】 如图：在正方形ABCD 中, E 在BC 上, 且 BE=2, CE=1, 点P 在线段BD 上运动, 求PE+PC 的最小值为多少？三：【巩固练习】1、如下图：E 在菱形ABCD 中，∠DAB=120°,E 为DC 中点，点O 是BD 上一动点，若AB=2，则PE+PC 的最小值是___________________A B2、如右上图：⊙O 的半径为1, 点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点， 点P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为_________________________．1443、若抛物线y= x 2 + bx + c 与x 轴交于A (1, 0 ) 、B (3, 0 ) 两点．①求出抛物线的解析式。
②设此抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小?若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．四：拓展与提高已知在平面直角坐标系xoy 中，A 、B 两点的坐标分别为A(2,-3)、B(4,-1).①若P (x,0 )是x 轴上的一个动点, 则当x 为何值时,△PAB 的周长最短？②设M 、N 分别为x 轴和y 轴上的动点, 请问:是否存在这样的点M(m,0)、N(0,n), 使四边形 ABMN 的周长最短? 若存在, 求出m 、n 的值；若不存在,说明理由。
③若C (a , 0 )、D (a+3 , 0 )是x 轴上的两个动点, 则当a 为何值 时,四边形ABDC 的周长最短；。
线段和的最小值问题
课堂小结
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小 值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求 线段和的最小值问题。
达标检测
已知平面直角坐标系内两点A(1，2), B(2，-1),点P在y轴上运动，求当PA+PB取 得最小值时P点的坐标。
（第 1 题）
能力提升：已知A(0,5),EF=2,且EF在x轴 上平行移动，当AE+AF最小时求E、F 坐标。
典例一：两定一动,求和最小
例1：如图矩形顶点O在坐标原 点，OA=6，OB=8，D为OB边的 中点，若E为OA边上的一个动 点，当△DCE的周长最小时， 在图中画出E点的位置并求点 E的坐标；
变式练习1：已知平面直角坐标系中的两点A （1，2），B（4,2），点P在x轴上运动，则 PA+PB的最小值是_5__。
典例二：两定两动,求和最小
作图2：已知线段EF=1且EF在直线a上平行 移动，A 、B为两个定点，E点在什么位置 时，使得AE+BF最小，请在图中画出点来
• 变式练习2：如图矩形OACB，OA=6， OB=8，D为OB边的中点，若E、F为OA边 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、F的坐标。
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小 值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求 线段和的最小值问题。
自主学习
作图1：已知直线l，在直线l同侧 有两点A、B，在直线l上找一点P， 使+PB的值最小。
·B A﹒
l
知识点拨：
1、轴对称性； 2、三角形两边之和大于第三边。
线段差的最大值与线段和的最小值问题
线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。
2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。
3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。
作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。
即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。
证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。
一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜ABp'（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：1、作B关于直线L的对称点B。
B2、连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB、PB。
︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（两点之间线段最短）三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。
提示：EF长不变。
即求F N＋NM＋MF的最小值。
利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。
一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，边长是4，E 是BC 上一点，且CE ＝1，P 是对角线BD 上任一点，则PE ＋PC 的最小值是_____________。
初中几何中线段和差最大值最小值典型分析最全
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：mmm mA Bmmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n、nmnnnmBm 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：mnmnmnmmm2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mmQ P过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．mABB'EQ PmABQPQ2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
线段和的最小值问题
练习
A’
P
C
B
A
E
P
D
C
DE
5
出题背景变式有：
1
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
2
解题思路：
3
找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
----线段和的最小值问题
单击添加副标题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？
A
B
街道
P
P’
A B A’ P 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 街道 P’
4
变式1（2008 年湖北荆门市中考题） 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．
A
D
C
B
M
N
P
M’
P’
5
练习 (2011广西试题改编） 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是 （2）△BPG周长的最小值是 。
线段和的最小值
本节课我们学习了 问题， 这类问题的解题方法是怎样的？
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助.一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1,在锐角三角形ABC中，AB=4运，/ BAC=45 , / BAC的平分线交BC 于点D, M,N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值为 ____________________________ .分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法•我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决.解：如图1,在AC上截取AE=AN，连接BE.因为/ BAC的平分线交BC于点D，所以/ EAMMNAM ,又因为AM=AM , 所以/ AM匡/ AMN ,所以ME=MN .所以BM+MN=BM+MEBE .因为BM+MN 有最小值.当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4,以BM+MN的最小值是4.故填4.1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2 （2010山东滨州）如图4所示，等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点若AE=2,EM+CM的最小值为________________________ .分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可.解：因为等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，所以点C与点B关于AD对称，连接BE 交AD于点M,这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM ,所以EM+CM=BE，过点E作EFZ BC,垂足为F,因为AE=2 , AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC 中，因为EC=4, / ECF=60 , / FEC=30 ,所以FC=2,EF=』訂—卅=肿—F =2」.因为BC=6 , FC=2 ,所以BF=4 •在直角三角形BEF中，BE=厂」亠「，一亠=「'.■.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（ 2010江苏扬州）如图3,在直角梯形ABCD中，/ ABC = 90° ADZ BC , AD = 4,AB = 5, BC = 6,点P是AB上一个动点，当PC+ PD的和最小时，PB的长为___________________ .分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：如图3所示，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接CE ,交AB 于点P ,此时PC+ PD 和最小，为线段CE .因为AD = 4,所以AE=4 .因为/ ABC = 90° ADZ BC ，所以/ EAP =90°AU J[p因为/APE =Z BPC 所以/A — BPC ，所以二托因为AE =4 , BC = 6,所以O Ap 2|P j_ DD A fl 气所以u 所以———「因为AB =5,所以PB =3. 2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4 如图4,等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1 , Z ABC=60 , P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 ____________分析：根据等腰梯形的性质知道，点 A 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点.其 次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键.解：如图4所示，因为点 D 关于直线EF 的对称点为A ，连接BD ，交EF 于点P ,此 时PA + PB 和最小，为线段 BD •过点D 作D& BC ，垂足为G ,因为四边形 ABCD 是等腰1,Z ABC=60 ,所以 Z C=60 , Z GDC=3° ,所以 GC=： ,DG=2为 Z ABC = 60°, ADZ BC ，所以 Z BAD = 120° 因为 AB=AD ，所以 Z ABDZ ADB=30 ，所 以Z ADBC=30，所以BD=2DG=2 ： =「• •所以PA+PB 的最小值为门.2.3在菱形中探求线段和的最小值梯形，且 AB=AD=CD=1例5 如图5菱形ABCD中，AB=2 , / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，贝U PE+PB的最小值为________ .分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P,此时PE+ PB和最小，为线段ED .因为四边形ABCD是菱形，且/ BAD=60，所以三角形ABD是等边三角形•因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1 , DE/ AB，所以ED= 疔'—脑wu=J -：.所以PE+ PB的最小值为J ■:.2.4在正方形中探求线段和的最小值例6 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2 , N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为________________________ .分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点.解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B,连接BM，交AC于点N，此时DN + MN和最小，为线段BM .因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8 .因为DM=2 ,所以MC=6，所以BM= 二「，亠-■ ■_ ! =10.所以DN+MN的最小值为10.例7 (2009?达州)如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则/ PBQ周长的最小值为cm.(结果不取近似值)分析：在这里/ PBQ周长等于PB+PQ+BQ ,而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1,所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题•因为题目中有一个动点P,两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ,交AC于点P,连接PB •所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ •在Rt/ CDQ 中，DQ=/ := =「，，所以/ PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1 .故答案为十+1 .三、在圆背景下探求线段和的最小值例8 (2010年荆门)如图8, MN是半径为1的/O的直径，点A在/O上，/ AMN =30 ° B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，贝U PA + PB的最小值为()(A)2 •匚(B) j (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度.解：如图8,作出点A的对称点D,连接DB , OB,OD •因为/ AMN = 30° B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60° •根据圆心角与圆周角的关系定理得到：/ BON = 30°由垂径定理得：弧DN的度数为60°所以/ BOD= / BON + / DON= 30° +60 ° =9所以.DB=」：■一•十厂.J < :.所以选择B .四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值1七例9 (2010山东济宁)如图9,正比例函数y= — x的图象与反比例函数y= (k^0)2x在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P,使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键.要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了.解：(1)设点A的坐标为(x, y),且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y .因为三角形OAM的面积为1,所以-T - / .所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y= —.x1 2 2 1（2）因为y= x 与y=—相交于点A ，所以一=一 x ，解得x=2，或x=-2.因为x >0,2 工 工2所以x=2，所以y=1，即点A 的坐标为（2, 1）.因为点B 的横坐标为1，且点B 在反比例 函数的图像上，所以点 B 的纵坐标为2,所点B 的坐标为（1, 2）,所以点B 关于x 轴的对飞十&二-2称点D 的坐标为（1, -2）.设直线AD 的解析式为y=kx+b ，所以｛ ,[2* 4-A = 1解得k=3, b=-5,所以函数的解析式为 y=3x-5,当y=0时，x=-,所以当点P 在（一330）时，PA+PB 的值最小.五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（ 2010年玉溪改编）如图10,在平面直角坐标系中， 点A 的坐标为（1, •「）, （1）求点B 的坐标；（2）求过点A 、0、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C ,使/AOC 的周长最小？若存在，求分析：在这里/ AOC 周长等于AC+CO+AO ，而A,0是定点，所以AO 是一个定长，所 以要想使得三角形的周长最小， 问题就转化成使得 AC+CO 的和最小问题.因为题目中有出点C 的坐标；若不存在,个动点C,两个定点A,0符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：(1)由题意得-所以0B=2 •因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为(-2,);(2)因为B(-2,0),0(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax( x+2)，将点A的坐标为(1,代入解析式得：3a=.「，所以a=^，所以函数的解析式为沪丄+二x•3 3 3(3)存在点C.如图10,根据抛物线的性质知道点B与点0是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C,此时/ AOC的周长最小•设对称轴与x轴的交点为E•过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=E0=EF=1.因为/ BC臣/ BAF,所以 ]-3F AF1 CE J3.所以，所以CE=—•因为点C在第二象限，所以点C的坐标为(-1，丄)•3 73 3 3六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11( 2010年天津)如图11,在平面直角坐标系中，矩形二工U的顶点0在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，0A=3 , 0B=4 , D为边OB的中点•(1 )若E为边0A上的一个动点，当/ CDE的周长最小时，求点E的坐标；(2)若E、F为边0A上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.「氟対圈冬可泓诈点口芙卡耳帥的对林虑血揍CD* 点嵐.既蚌比DDE町隔七爰最叮啲.并很好的运用到平面直角坐标系中.解：(1)如图12,作点D关于x轴的对称点匸「，连接CD与x轴交于点E,连接DE.若在边OA上任取点三.(与点E不重合)，连接C三\ D三■、匸「三-.由D S + C丘上匸「三「+ C 3 > C匸，D m+CE=DE+CE，所以/「工乜的周长最小因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D 为0B的中点，所以BC=3 , DO^ O=2.所以点C的坐标为(3, 4),点的坐标为匸(0, -2),设直线C二'的解析式为y=kx+b ,h= -2则仁，, 「解得k=2 , b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点药t +右=4E的坐标为(1 , 0);(2)如图13,作点D关于x轴的对称点匸•，在CB边上截取CG=2，连接匸厂G与x 轴交于点E,在EA上截EF=2•因为GQ EF , GC=EF ,所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小•因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为0B的中点，CG=2,所以BC=3, D0=匸「O=2,BG=1.所以点G的坐标为(1, 4),点的坐标为匸(0, -2),设直线G二'的解析式为y=kx+b ,，解得k=6 , b=-2，所以函数的解析式为 y=6x-2，令y=0 ,贝U x=_ ,0）,所以点F 的坐标为（+2 , 0）即F 的坐标为（，0）3 3 3h=-2则4 Jt+b =E 的坐标为（，所以点。
线段和最小值问题
线段与最小值问题问题模型：如下图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．题型一：两定一动一线例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是______．方法总结：当有两个定点时，做任一定点关于线的对称点，连接另一点与对称点，与线的交点即为所求。
跟踪练习：如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为______．题型二：一定两动一线例2：如图，在矩形ABCD中，AB=10 ,BC=5 ．若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为______．方法总结：点P在AD上运动，则作线段AD关于线AE的对称线段，结合垂线段最短求最小值。
跟踪练习如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD与AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是______．拓展提升题型三：三动一线（做法参照题型二）例3：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，PE+PF的最小值等于______．题型四：一定两动两线例4：如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值______．方法总结：分别作定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段与的最小值。
题型五：两定两动两线例5：如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_______.方法总结：分别作两定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段与的最小值。
专题线段和最小值问题
在平面几何动态问题中，当某几何元素 在给定条件变动时，求某几何量（如线段的 长度、图形的周长或面积以及它们的和与差） 的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.
基本模型一：两定点在一直线同侧确定单动点问题
直线l表示草原上的一条河流，一骑马将军从A地出发，去 河边让马饮水，然后返回位于B地的驻地.他应沿怎样的路 线行走，使路程最短？请作出这条最短路线.
(2) 在解决不同类型的几何最值问题时你能体会其中蕴含 哪些数学思想方法？
线段和最小问题
基本模型一：单动点问题
基本模型二：双动点问题
一次轴对称+两点间线段最短 两次轴对称+两点间线段最短
A' C
P
A'
AP+PB最小
D B' AC+CD+DB最小
线段和最小问题
基本模型三：双动点问题 平移+两点间线段最短
解：1.作点A关于直线l 的对称点A '; 2. 连接A 'B,交直线 l于点P;
3. 连接AP.
∴将军沿A P B的路线行走，
路程最短.
P
A'
模型应用——单动点问题
例1.（2016•南通）平面直角坐标系xoy中，已知A（－1，0）、 B（3，0）、C（0，－1）三点，D（1，m）是一个动点， 当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为______.
3
当堂反馈：
3. 如图，AB是⊙O的直径，AB = 8，点M在⊙O上，∠MAB =
20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN =1，
则△PMN周长的最小值为（ B ）.
A. 4
B. 5
C. 6
线段和的最小值问题
线段和的最小值问题
发布时间：2021-05-08T14:48:57.603Z 来源：《教育学文摘》2021年4期作者：莫秋燕
[导读] 一直以来，“线段和的最小值问题”是中考的热点和难点问题之一
莫秋燕
深圳笋岗中学 518002
一直以来，“线段和的最小值问题”是中考的热点和难点问题之一。
学生在这方面常常出现丢分，问题是找不到解题的突破口。
怎样解决这个突破口呢？本人把它们归结为两个“典型题型”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。
所谓“典型题型”，就是某些题例它不是公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题解答。
下面就“线段和的最值”问题，运用两个“典型题型”的原命题进行探讨。
一、关于线段和的最小值问题
上述原命题还可以进一步引申：[引申题]咪咪在某景区游玩，他打算从景点A到河边（直线）走一段（长度为已知线段a）再到景点B,怎么走最近？
希望以上的题例对学生能起到举一反三的作用。
图9。
线段差的最大值与线段和的最小值问题
线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。
2、三角形的任意两边Z和大于第三边(找和的最小值)。
3,三角形的任意两边Z差小于第三边 (找差的最大值〉。
作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，便三点在一条直线上。
即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。
证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。
一两条线段差的最大值：(1)两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P,使丨PA-PB丨取最大值。
作法：连结AB 并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
丨PA-PB I二AB证明：在直线L上任意取一点卩，连结PA. PB, | PA-PB I <AB(2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P,使I PA—PBI取最大值。
作法：1、作B关于直线L的对称点B。
2、连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
I PA-PB I二AB证明：在直线L上任意取一点卩，连结PA、PB、PBo I PA-PB 二I PA-PB I <AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（D）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA4-PB取最小值。
（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），PA+PB二AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。
（两点之间线段最短）屮考考点:08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABC0中，B （3, 2） , E （3, 1） , F （L 2）在X轴与Y轴上是否分别存在点\1、N,使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。
提示：EF长不变。
即求FN+NM+MF的最小值。
利用E关于X轴的对称点E, F的对称点F,把这三条线段搬到同一条直线上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• C'D = 2√2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2) • 所以，有0 = -k b 2 = k b • 解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 当x = 0时，y =1，则P(0，1)
• 3、如下图，一次函数y=kx b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． • （1）求该函数的解析式；
• 4、作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) • 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定
长P'Q'； • 2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P； • 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q.. • 略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四
• 解析： 这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题， 经过分析，知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB 相交，点P在∠AOB内部，通常我们会用轴对称模型，分 别做点P关于直线OA和OB的对称点P₁、P₂ ，连结P₁P₂分 别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程 最短的地点.
• 3、如下图，村庄A、B位于一条小河的两侧， 若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与 河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才 能使A村到B村的路程最近？
• 这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、 三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
• 还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM MN BN的最小值。这时需平移BN（或AM），转化为求解 决，如下图所示．
最值问题---线段和最小值问题
1、如下图，在△ABC中，AC＝BC＝2， ∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边 上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
最值问题---线段和最小值问题
最值问题---线段和最小值问题
• 求两线段之和最小是最值问题中很基本的一个模型，一般 已知两定点一动点，动点在某条定线上，两定点在定线同 侧。求解步骤为：①利用轴对称作其中任一定点关于定线 的对称点；②连接对称点和另外一个定点，交定直线于某 点，此点即为所求；③利用勾股定理等知识求解算出答案。
• 如下图，因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ，与AC的交 点P就是满足条件的点DQ = PD PQ = PB PQ，故DQ的长就是PB PQ 的最小值，在直角△CDQ中，CQ = 1 ，CD = 2，根据勾股定理，得， DQ = √5
• 3、如下图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的夹角 中有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加 油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可 使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油 站，最后回到油库所走的路程最短。
在研究AC＋DB最小上。但AC、DB不能衔接，可将BD平移B＇C处，则AC＋DB可转 化为AC＋CB'，要使AC＋CB'最短，显然，A、C、B'三点要在同一条直线上。
拓展应用
• 【强化练习】 • 1、如下图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，
且AE = 2，求ME MC的最小值。 • 2、如下图，在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C
• 作法：设a、b的距离为h。 • ①把点B竖直向上平移h个单位得到点B'； • ②连接AB'交a于C； • ③过C作CD⊥b垂足为D； • ④连接BD。 • 证明：∵BB'∥CD且BB'＝CD， • ∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD • ∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B • 在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B' • 同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B • 而AC'＋C'B'>A B' ∴AC＋CD＋DB最短。 • 点评：本题是研究AC＋CD＋DB最短时的C、D的取法，而ＣＤ是定值，所以问题集中
（1，n），当n =______时，AC BC的值最小．
• 1、因为点C关于直线AD的对称点是点B， 所以连接BE，交AD于点M，则ME MD最小， 如下图，过点B作BH⊥AC于点H，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，根据勾股定理可得 BH = 3√3，在直角△BHE中，可求得BE =
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的 最小值，并求取得最小值时P点坐标． • 最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题 • 4、如下图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什
么位置时，AP PQ QB的长最短？ • 最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题.
• 解析：如下图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使 OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE CE=DE EC′=DC′的值最小．
• 连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°， ∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
• ∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定 理可得DC′=√5，故答案为：√5.
• 2、如下图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边 的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则 △PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似 值）.
• 最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题
• 解析：因为BQ是定值，所以求△PBQ周长的最小值就是在AC上求一 点P，使PB PQ的值最小即可，依然是标准的轴对称模型，如果你能 这样考虑，恭喜你答对了，下面就按照此类模型的标准解法做就行了。
2√7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• (1)由题意得：0 = 2x b 4 = b 解得 k = -2，b= 4，所以 y = -2x 4 • (2)如下图，作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P，则C'D = C'P PD = PC
PD • C'D就是PC PD的最小值，连接CD，则CD = 2，CC' = 2，在直角△C'CD中，根据勾