对称性在各种积分中的定理

对称性在积分计算中的应用

定理2.1.1[3] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于

x 轴对称.如果函数),(y x f 是关于y 的奇函数，

即),(),(y x f y x f -=-，D y x ∈),(， 则(,)0D

f x y d σ=⎰⎰；如果),(y x f 是关于y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =-， D y x ∈),(，则1

(,)2(,)D D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.

其中1D 是D 在x 轴上方的平面区域.

同理可写出积分区域关于y 轴对称的情形.

则由定理2.1.1知32sin 0D

y xd σ=⎰⎰.

由定理2.1.1可得如下推论.

推论2 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，若积分区域D 既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，则

⑴ 若函数),(y x f 关于变量y x ,均为偶函数，则1

(,)4(,)D D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.

其中1D 是区域D 在第一象限的部分，{}1(,)|0,0D x y D x y =∈≥≥.

⑵ 若函数),(y x f 关于变量x 或变量y 为奇函数，则(,)0D

f x y d σ=⎰⎰.

当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.

定理 2.1.2[]4 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于

原点对称.如果),(),(y x f y x f -=--，(,)x y D ∈，则(,)0D

f x y d σ=⎰⎰；如果

),(),(y x f y x f =--，(,)x y D ∈，则1

2(,)2(,)2(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中{}1(,)|0D x y D x =∈≥，{}2(,)|0D x y D y =∈≥.

为了叙述的方便，我们给出区域关于y x ,的轮换对称性的定义.

定义 2.1.1 设D 为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(,)x y D ∈，存在(,)y x D ∈，则称区域D （或光滑平面曲线段）关于y x ,具

有轮换对称性.

关于区域的轮换对称性，有如下定理.

定理2.1.3[5] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于y x ,具有轮换对称性，则(,)(,)D D

f x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰.

定理2.2.1[6] 设函数),,(z y x f 是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于坐标平面0=x 对称，则

(1) 若),,(z y x f 是关于变量x 的奇函数，则(,,)0f x y z dV Ω

=⎰⎰⎰；

(2) 若),,(z y x f 是关于变量x 的偶函数，则

1

(,,)2(,,)f x y z dV f x y z dV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

其中1Ω是Ω的前半部分，{}1(,,)|0x y z x Ω=∈Ω≥.

同理可写出Ω关于坐标平面0y =（或0z =）对称时的情形.

与二重积分类似，我们也可得到如下结论.

定理2.2.2 设函数),,(z y x f 是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于原点对称，则

(1) 若),,(),,(z y x f z y x f -=---，(,,)x y z ∈Ω，则(,,)0f x y z dV Ω

=⎰⎰⎰；

(2) 若),,(),,(z y x f z y x f =---，(,,)x y z ∈Ω，则

123

(,,)2(,,)2(,,)2(,,)f x y z dV f x y z dV f x y z dV f x y z dV ΩΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 其中{}1(,,)|0x y z x Ω=∈Ω≥，{}2(,,)|0x y z y Ω=∈Ω≥，{}3(,,)|0x y z z Ω=∈Ω≥

为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于,,x y z 的轮换对称性定义. 定义2.2.1[7] 设Ω是一有界可度量的集几何体（Ω可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的(,,)x y z ∈Ω，都存在(,,)y z x ∈Ω，存在(,,)z x y ∈Ω，则称Ω关于z y x ,,具有轮换对称性.

关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.

定理2.2.3 设函数),,(z y x f 是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω

关于z y x ,,具有轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)f x y z dV f y z x dV f z x y dV ΩΩΩ

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

3.1 对称性在第一型曲线积分计算中的应用

本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论.

定理3.1.1[9] 设平面分段光滑曲线L 关于y 轴（或x 轴）对称，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则

(1) 若),(y x f 为关于x （或y ）的奇函数，则(,)0L

f x y ds =⎰； (2) 若),(y x f 为关于x （或y ）的偶函数，则1

(,)2(,)L L f x y ds f x y ds =⎰⎰. 其中{}1(,)|0(0)L x y L x y =∈≥≥或.

由定理3.1.1可得如下推论.

推论3 设平面分段光滑曲线L 关于x 轴对称且关于y 轴对称，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则

⑴ 若),(y x f 关于y x ,均为偶函数，则1

(,)4(,)L L f x y ds f x y ds =⎰⎰， 其中{}1(,)|0,0L x y L x y =∈≥≥.

(2) 若),(y x f 关于x 或y 为奇函数，即),(),(y x f y x f -=-或

),(),(y x f y x f -=-，(,)x y L ∈，则(,)0L

f x y ds =⎰. 当曲线L 关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.

定理3.1.2 设平面分段光滑曲线L 关于原点对称，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则

(1) 若),(),(y x f y x f -=--，(,)x y L ∈，则(,)0L

f x y ds =⎰； (2) 若),(),(y x f y x f =--，(,)x y L ∈，则1

(,)2(,)L L f x y ds f x y ds =⎰⎰. 其中1L 为L 的上半平面或右半平面.

关于曲线的轮换对称性，我们有如下结论.

定理3.1.3 设平面分段光滑曲线L 关于y x ,具有轮换对称性，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则(,)(,)L L

f x y ds f y x ds =⎰⎰.