10结构的动力计算习题解答

2
由 M 图得 = ds 4 EI 3EI 故
11
1 2
5 3EI
，则
1 3EI m11 5m
(3) 使质点沿运动方向发生单位位移， 求刚度系数， 如习题解 10.5(3).(a)、 (b)图所示。
k11 1 3EI/ (l /2)3
k1
3EI/ (l /2)2
第 10 章 结构的动力计算习题解答
习题 10.1 是非判断题 (1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越 大。 （ ） (2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。 （ ） (3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。 （ ） (4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小 于其质点个数。 （ ） (5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。 （ ） (6) n 个自由度体系有 n 个自振周期，其中第一周期是最长的。 （ ） (7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能 用列幅值方程的方法求解。 （ ） 【解】(1) 错误。体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所 决定。 (2) 错误。由阻尼结构的自振频率 1 可知，阻尼增大使自振频率 减小，自振周期变长。 (3) 正确。 (4) 错误。由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而 与集中质量数目和超静定次数无关。 (5) 正确。 (6) 正确。 (7) 正确。
2 1
M 1 图和 FN1 图 习题解2 12-7(c)图
T 2 m11 2
1138m 3EI
习题 10.8 某单质点单自由度体系由初位移 y0=2cm 产生自由振动， 经过 八个周期后测得振幅为 0.2cm，试求阻尼比及在质点上作用简谐荷载发生共 振时的动力系数。 【解】阻尼比 共振时
EI
l
m
A A
mE D
A
6EIA/ l 2
l /2
l
m 2A
(a) 习题 10.6 图
(b)
【解】 绘体系的位移幅值图及相应的受力图如习题解 10.6(b)图所示。 体 系为两个质点的单自由度体系，可通过列幅值方程求。 沿柱 AB 的顶部切取 BCDE 为隔离体，由 M 0 得
D
l 6 EIA m 2 A 2m 2 A l 3 l 0 2 l
FP sint
2m m
m
m
习题 10.2(6)图
习题 12-2(6)图
(7) 习题 10.2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI＝常数。已知=0.6 (为自 振频率)，其动力系数＝__________。
m 2=2m y2(t)
习题 12-2(7)图
习题 10.2(7)图
m1=m
y1(t)
12-2(8)图 习题 10.2(8) 习题 图
(2) 在质点处施加竖向单位力，体系的位移图和 M 图分别如习题解 10.5(2).(a)、(b)图所示。
1
5
1 m
1 2
1 0.5/ k1 1m 0.5
(a) 位移图
(b)
M1
图
由习题解
1
习题解 10.5(2)图 10.5(2).(a)图得 1 = 1 0.5 1 2 k1 3EI
M 12
(2) (1)
(2)
m
EI
m
a
a
a
a
习题 12-2(9)图
2
习题 10.2(9)图
【解】(1) 以重力 mg 作用时的静平衡位置为 y 坐标的起点。 (2) 初位移、初速度及体系的自振频率。 (3) 质量，刚度。 (4) 质点动位移的方向与简谐荷载方向相反。 (5) 阻尼力。 (6)
m 0 0 0 m 0 。 0 0 3m
2 r
习题 10.2 填空题 (1) 单自由度体系运动方程为 y 2 y 因为__________。
2
y FP (t ) / m ，其中未考虑重力，这是
(2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于__________。 (3) 若要改变单自由度体系的自振周期，应从改变体系的__________或
6EI/l 2
3EI/l 2
习题解 10.7(1)图
M1
图
P 1
(2) 求柔度系数，绘单位力作用下的 M 图和基本体系 M 图，如习题解 10.7(2)图所示。
1
1
l l/ 2 l
l l
(a)
MP
图 习题解 10.7(2)图
8
(b)
M1
图
由图乘法公式，可知
11
1 1 2 1 1 7l 3 l l l l l ( l l) EI 3 2 4 2 12 EI
(b)
M1
图
由两图图乘公式，可知
11

8l 3 15EI
，则
1 m 11

15EI 8ml 3
习题 10.6 求习题 10.6(a)图所示体系的自振频率。除杆件 AB 外，其余 杆件为刚性杆。
2A m EI 0 =∞ B 2 m 2 A m C 6EIA/ l 3 2A B
EI 0 =∞ EI 0 =∞
(3) 用柔度法。绘 M 图和 M 图，分别如习题解 10.4(3).(a)、(b)图所示。
P
由图乘法公式，得
2 1 2 2l 3 1 1 l l2 l l l ， l l 1P EI 3 EI 3 6 EI 2 3EI 2 列位移方程 y 11 my 1P M (t ) ，整理得： y 3EI3 y 1 M (t ) 2ml 4ml
FP sint EI W 4m 2m
P
10kN， 52.3s1，EI 3.2 107 N m2 。不计梁
(a)
9
2m 1
28.2kN.m FP
(b)
M1
图 习题 10.9 图
(c)
M d.max
图
【解】在质点处施加竖向单位力，绘 M 图，如习题 10.9(b)图所示。由 M
EI 0 =∞
EI
(a)
(a)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
习题 10.3 图
习题 12-3图
【解】(a) 2；(b) 3；(c) 2；(d) 4，在两个质量上分别附加 2 个支杆。 习题 10.4 不考虑阻尼，列出习题 10.4 图所示体系的运动方程。
k1
FP cost
EI 0 =∞ m EI 0 =∞ l l m
3EI 7 EI k1 3 3 l l
，
k1
k11 7 EI m ml 3
k1
k11 1
3EI/ l 3
3EI/ l 2
3EI/ l 2
M1
习题解 10.5(4)图
1
图
(5) 求柔度系数，绘 M 图，如习题解 10.5(5)图所示。
6
1 l
l
习题解 10.5(5)图
M1
图
1 3EI m11 4ml 3
1 k2
(a) 刚度系数 习题解 10.5(3)图
k1 EI l3
3EI
(b)
48EI l3
M1
图
，k
2
2
l / 2
3

则
k11 k1 k2
49 EI l3
，
k11 49 EI m ml 3
(4) 求刚度系数，画 M 图，如习题解 10.5(4)图所示。
1
k11 2
FPcost k11 y
-my
6EI/l 2
(a)
M1
图及刚度系数 习题解 10.4(2)图
(b) 受力图
然后取质点连同横梁为隔离体，其受力图如习题解 10.4(2).(b)图所示。 由 F
x
0 ，得
k11 y my FP cos t 0
即
1
my
12 EI y FP cos t l3
B
0 列动平衡方程得
-ml l m 2l 2l k1l l 0
5ml 2 k1l 2 0
(2) 用刚度法。设质点 m 的位移 y 向右为正。先求体系的刚度系数 k11， 如习题解 10.4(2).(a)图所示。
k11=12 EI/l 3 12 EI/l 3 6EI/l 2 1
11
4
1
1
l l
(a)
M1
1
图 习题解 10.4(3)图 (b)
MP
图
习题 10.5 求习题 10.5 图所示单自由度体系的自振频率。除注明者外， EI＝常数。k1 为弹性支座的刚度系数。
m
m k 1= 3EI/4
l
l /2
l /2
2m
2m
(1)
m k 1=EI /l 3 l /2 l /2

1 2 n ln y0 1 2 ln 0.046 yn 2 8 0.2
1 1 10.9 2 2 0.046

习题 10.9 求习题 10.9(a)图所示梁纯强迫振动时的最大动力弯矩图和质 点的振幅。已知：质点的重量 W 24.5kN，F 的重量和阻尼。
1 (8) 已知习题 10.2(8)图所示体系的第一主振型为 Y ，利用主振型 2
(1)

的正交性可求得第二主振型 Y = __________。 (9) 习题 10.2(9)图所示对称体系的第一主振型 Y = __________， 第二主 振型 Y = __________。
(3) 习题 10.7 图
1
【解】(1) 求刚度系数，绘体系发生单位水平位移时的 M 图，如习题解 10.7(1)图所示。则
k11 12 EI 3EI 15EI 3 3 l3 l l
， T 2 2

3EI/l 3 1
m ml 3 2 k11 15EI
12EI/ l 3
k11=15 EI/ l 3
l
m
l
m
EI 0 =∞ EI
EI EI l M (t)
(1) 习题 10.4 图
3
(2)
l
(3)
【解】(1)用刚度法。设自由振动的任一时刻 t，刚性杆绕 B 点的转角为
，此时体系受力情况如习题解 10.4(1)图所示。
k1 l k1l
- ml
B l 2l m
-2ml
m
习题解 10.4(1)图
由 M 化简得
1
__________着手。 (4) 若由式
1 1
2
求得的动力系数为负值，则表示__________。
(5) 习题 10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与__________平衡。
c
k W FP sint 12-2(5)图 习题 习题 10.2(5)图
(6) 求习题 10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI＝常数)，其质量矩阵 [M]= __________。
7
得
12 EI 5ml 3
习题 10.7 求习题 10.7 图所示体系的自振周期。
m EI 0 =∞ EI EI
l
m
EI
EI
l
l
(1)
(a) m m EA EA
(b)
(2)
EI EI EA EA 4m 4m 4m 4m
EI EI EA EA 4m 4m
6m 3m
4m 4m (c)
习题 12-7图
11
2 EI
2 2l 3 1 l l l 2 3 3EI
， =
P
(6) 求柔度系数，绘单位力作用下的 M 图和基本体系 M 图，如习题解
1
10.5(6).(a)、(b)图所示。
1 1 l/5 l 4l /5 2l / 5 l l
(a)
MP
图 习题解 10.5(6)图
1 1- 2 2
(7) 1.5625。根据公式 = (8) (9)
1 。 -0.25
计算。
1 1 ， 。利用对称性。 -1 1
习题 10.3 确定习题 10.3 图所示质点体系的动力自由度。除注明者外， 各受弯杆 EI＝常数，各链杆 EA＝常数。
则 T 2 2

m11 2
7ml 3 12 EI
(3) 绘体系在竖向单位力作用下的 M 图及 F 图，如习题解 10.7(3)图所
1 N1
示。
1
-2 2 0.5 5/3 5/3 2 0.5
习题解 10.7(3)图
则
11
M N 64 358 1138 wk.baidu.coms 1 l EI EA 3EI 9 EA 3EI
EI
(2)
m EI 0 =∞
l
k 1=EI / l 3 EI
(3)
m m
(4)
m
l
l
l
(5) 习题 10.5 图
(6)
l
l
【解】 (1) 绘 M 图， 如习题解 10.5(1)图所示。 则由图乘法公式， 得
1
11

5l 3 48EI
则 =
1 48 EI m11 5ml 3
。
l /2 1
l /4 12-5(a)图 习题解 习题解 10.5(1) 图