第二节 Gomory割平面法

首先求解松弛问题，若松弛问题的最优解x0是
整数解，则其为原问题的最优解；否则，对松弛问
题增加一个线性约束条件(称之为割平面条件). 方法：利用超平面切除一部分可行域. 要求：整数解保留；非整数解x0恰好在被切除部 分，原整数规划问题任何一个可行点都没切除； 松弛问题最优值增加.
割平面法生成方法
割 平 面 生 成 方 法 条件：保留整数解，删除最优解!!
下面是求松弛问题的最后一张单纯形表：
b
xB
xN
B bb0
c B 1b B
1
I
B 0
B 1 N
N
如果b是一个整数向量，则它 也是(P)的最优解；否则设分量 b r 不是整数， 它所对应的约束方程为
xr arj x j br
jN
xr arj x j br
arj arj f rj a rj

min c x Ax b s.t . f rj x j sr f r jN x 0, x Z

x1 x2 xr
x m xm1

xn
b1
br
1

1 1

a1m 1 a1n
a rm 1
a rn
bm
1 a mm 1 a mn
0
cB B b

1
0 0

0 m1 0
n 0
x1 x2 xr
x m xm1

xn
sr
0
0
b1
br
1

1 1

a1m 1 a1n
a rm 1
a rn

b
r
bm
1 a mm 1 1
arm 1
0 m1 0
a mn 0 arn 1
0
c B 1b 0 0 0 B
jN
xr
a
jN
rj
x j br
–
xr arj x j br
jN
(a
jN
rj
arj ) x j br br
加入松弛变量s
f rj arj arj ; f r br br
2. Gomory 割平面法计算步骤
求松弛问题的 最优基可行解
判断是否 为整数解
是 得到最优解
否 在单纯性表中加入 一列利用对偶单纯 形算法求最优解
2. Gomory 割平面法计算步骤-例题
例3.2.1
求解ILP问题
max x 2 3 x1 2 x 2 6 s.t. 3 x1 2 x 2 0 x , x 0, 整数 1 2
n 0
x1 x2
xr
x m xm1

xn
sr
0 0 0
b1
br
1

1 1

a1m 1
a rm 1
a 1n
a rn

b b
r
bm
1 a mm 1
0 0 0
m1 0
r
a rm 1 a rm 1 arn arn 1
n 0
a mn
两个问题具有如下明显关系： (1) (P)的可行域包含在(P0)的可行域之中; (2) 若(P0)无可行解，则(P)无可行解；
(3) (P0)的最优值是(P)的最优值得一个下界；
(4) 若(P0)的最优解是整数向量，则它也是(P)的最优解.
1. Gomory 割平面法基本思想
由松弛问题的可行域向整数规划的可行域逼近：
第二节 Gomory割平面法
Gomory 割平面法基本思想 Gomory 割平面法计算步骤
1. Gomory 割平面法基本思想
整数规划
min z c x

对应的松弛问题
min z c x
(P)
(P0) Ax b Ax b s.t. s.t. x 0 x 0, x为整数
解答
例 3.2.1 解答
min x 2 3 x1 2 x 2 x 3 6 s.t . 3 x1 2 x 2 x 4 0 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
第1页
பைடு நூலகம்
(1,1.5)
rj
a
jN
br br f r
r r
b b
xr arj x j br
jN
整数可行解
最优基可行解
xr arj x j br
jN
xr arj x j br
割平面方程
f rj x j s f r
jN
min c x
min c x Ax b s.t. x 0, x为整数

Ax b s.t. x r a rj x rj br jN x 0, x为整数


min c x Ax b s.t . xr arj xrj sr br j N x 0, x Z
c B 1b 0 0 B

0
x1 x2 xr
x m xm1

xn
sr
0
0 0
b1
br
1

1 1

a1m 1 a1n
a rm 1
a rn

bm
fr
1 a mm 1
0
f rm 1
a mn
f rn
1
0
c B 1b 0 0 B
fr 0

0
0 m1 0
n 0