单自由度振动及隔振
机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
振动理论04(3)-单自由度系统受迫振动
71
2014/10/22
阻尼能量耗散
能量耗散通常可以在周期振荡条件下予以确定
如果画成曲线，不同的阻尼类型对应的力和位移的关系差 别会很大，然而，各种情况下的力-位移曲线一定会形成包 围一定面积的一个闭合区域，称为滞后回线, 其面积与每周 耗散的能量为比例
由阻尼力 导致的每周能量损失可以为
对于有粘性阻尼的弹簧-质量系统，阻尼力为
90
2014/10/22
利用里沙茹图形测量简谐振动频率的接线示意图
振动体的振动信号经过传感器和放大器接到电子示波器的Y轴输入端，而在X 轴输入一个已知的周期信号
示波器的显示屏上将形成里沙茹图形 改变输入信号的频率，使里沙茹图形成为一个稳定的椭圆，从信号器上读得的
输入信号的频率就是被测振动的频率 测量精度主要取决于信号发生器的频率精度 利用这一原理，还可以测量相位差
加速度计的频幅特性
对于无阻尼加速度计，振幅迅速随频率增大，可用的 频率范围很小
如果阻尼比
，有用的测量范围
,误
差小于1.005.01%
2
1
1.00
1
0.95 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
振动测量仪器
振动测量仪器的基本构件是如下图所示的地震元件 根据要测量的频率范围，图中悬挂质量的相对运动可
7
C
6
如果
5
4
y0 a0
3
振动加速度计的
2
固有频率应该是
所记录测量的最 1
B
高频率的2倍以上 0 A
0
1 /n
2
3
振动加速度计－振幅
为了避免被测振动中含有的高阶谐振共振影响振动加 速度计工作，必须在振动加速度计中加入阻尼
第一章单自由度系统
第一章 单自由度系统振动
1. 基本概念
自由度： 确定某个机械系统几何位置的独立参数的数目。
单自由度系统,多自由度系统: 若只用一个独立参数即可确定机械系统的几何
位置,称为单自由度系统。 需要两个或两个以上独立参数才能确定机械系
统的几何位置的系统称多自由度系统。
2.常见单自由度系统建模
3 无阻尼自由振动
x
n2 x
Fo m
k K
cost
xst
n2
cost
特解假设为 Acost 代入得
最后
A xst
1 2
n
x
t
xo
cos nt
xo
n
sin nt
xst
1
2
cos t
xst
1
2
cos nt
无阻尼简谐激振
有阻尼简谐激振
mx cx kx FO sin t
x 2n x n2 x xstn2 sin t
1 2
KA2
sin
2
t
dt
1 kA2 2 sin 2 t dt
2
0
0
Wd cxdx cAcost 2 dt
2/cA22 1cos2t dt
0
2
1cA2 2 2 1cA22 2/cos2t dt
2
2
0
cA2
激振力的功
wf Fo sint dt Fo sint Acost dt
cos
sin dt
Asin t
定义
A xst
1
1 2 2 2 2
为动力数大系数，表示振幅相对于静变形的放大倍数
5.2 稳态响应振幅和相位
振动力学——单自由度系统振动
2. 2无阻尼自由振动
一、无阻尼自由振动 non damping free vibration
1、特点：
0 (1) 无能量耗散，振动一经开始永不休止： cy
(2) 无振动荷载： P(t ) 0
ky 0 2、运动方程及其解的形式： my
ys
yd
S(t)-弹簧张力
y
W-重力
I(t)-惯性力
y ys yd D(t)-阻尼力
P(t)-外激励力
d cy d kyd P(t ) my
2.1单自由度系统运动微分方程的建立
3、柔度法列位移方程
以弹簧为研究对象，分析它 与物块联结点处的位移。
S '(t ) S (t ) W D(t ) I (t ) P(t )
位置转过的角度 , J 为圆盘对
轴的转动惯量 , kt 为使轴产生
单位转角所需施加的扭矩 ( 即 轴的扭转刚度)。则
k q 0 Jq t
2.1单自由度系统运动微分方程的建立 例3 复摆——刚度法 设物体对悬挂点 O 的转动 惯量为 JO ，利用定轴转动 微分方程可得到用转角 f 表
n
16
2. 2无阻尼自由振动
一、无阻尼自由振动 non damping free vibration
3、微分方程中各常数由初始条件确定 进一步可确定式 y A sin(nt ) 中的A和
0 2 y 2 2 2 A A1 A2 y0 ( ) n tg 1 ( A2 ) arctan( y0n ) 0 A1 y
2. 2无阻尼自由振动 求固有频率ωn的几种常用方法
机械振动基础-单自由度系统-1
• 速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率； • 在相位上，速度超前位移90，加速度超前位移180°。
• 加速度始终与位移反向： u&&(t) n2u(t) • 速度和加速度的幅值分别是振幅的 n和n2倍。
• 简谐振动过程
最大振幅
最大速度
最大振幅
-A
速度为零， 位移，加速度 绝对值最大， 方向反向。
m
解：系统的动能和势能分别为：
系统的广义力为：
T 1 mx2 , 2
U 1 kx2 2
Q W P(t)x Pt
x
x
代入到拉格朗日方程得：
d dt
Tx
dU dx
Q
mx kx P(t)
例1-3： 如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体 作纯滚动。建立其运动方程。
解：因为纯滚动，所以振动
a) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足条件： u(t T ) u(t)
（1.2.13）
即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正 常数 T -振动周期。
Tn
2 n
2
m k
（1.2.14）
— 无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。
固有频率的另一种形式：
fn
n 2
1 Tn
(赫兹）
表示1秒内重复振动的次数。
该矢量在t 时刻在y轴 上的投影 即为位移 响应在同 一时刻的 值.
b) 简谐运动的位移、速度和加速度之间的关系：
• 速度和加速度可分别表达为：
u&(t )
na
cos
nt
na
sin(nt
2
)
（1.2.17）
u&&(t) n2a sin nt n2a sin nt （1.2.18）
第3章单自由度体系4(隔振和振动测量)
第三章单自由度体系振（震）动测量和隔振（震）主要内容•拾振仪的设计原理•隔振（震）原理其中：)(t P Ku eff =0=++Ku u c eff u m t P −=)(7.0=ζ0/0.5(0.6)n ωω≤≤1.0d R ≈/nϕωω∝/constϕω≈通常采用提高加速度计中弹簧刚度的方法来实现提高因此，加速度计或强震仪中弹簧刚度比较大，是比较刚性的。
通常采用降低位移计中弹簧刚度的方法来实现降低此，位移计中弹簧刚度比较小，是比较柔性的。
隔振（震）分两种情况：1）阻止振动的输出。
例如，大型机器动力机器振动向地基中的传播；地铁车辆振动传播。
——力的传递和隔振2）阻止振动的输入。
例如，结构抗震问题中的隔震设计，在振动的结构或地基上安装的精密仪器设备的隔震问题。
——基底振动的隔离)]cos(ϕωω−t c1可以提高隔振效率，，2221()()1c c k TR k ωω⎞+⎟⎟−+′⎟⎟⎠解：①假设初始时刻（t =0），汽车的接触点x =0，则桥行驶时，汽车相当于受简谐荷载的强迫振动=0.075m ，s s m m 35.1)3600/80000(30=s k m T n n 71.01408.1222====ππωπ22sin sin sin go go x v u t u tl l ππω==2sin go cu ku m u t ωω+=−汽车竖向运动的振幅：53.03571=3.1)53.04.02()53.01()53.04.02(1)2)222222=××+−××+=ζγm u g 0975.0075.03.13.10=×=发生共振时汽车的行驶速度(使振幅最大时的速度)如果体系的阻尼比ζ很小，最大，而本0.4很大，ω不一，此时要采用取最大，取最大值的频率ω，也使TR 2取最大值。
当汽车的行驶速度为135km/h 时，车辆的振幅达到最大值vL T /=22222)2()1()2(1(ζγγζγ+−+=TR 02=89.0798.089.071.0==γn T h km s m T L /135/6.37798.030===汽车竖向运动的振幅：222222)1(20.40.89) 1.655(2)(10.89)(20.40.89)ζγ+××==−+××01.3 1.6550.0750.124g u m ==×=。
振动的隔离与阻尼减振
振动是造成工程结构损坏及寿命降低的原因，同时，振动将导致机器和仪器仪表的工作效率、工作质量和工作精度的降低。
控制振动的一个重要方法就是隔振。
从振动控制的角度研究隔振，不涉及结构强度的计算，它只是研究如何降低振动本身。
这里所介绍的隔振方法，就是将振源与基础或连接结构的近刚性连接改成弹性连接，以防止或减弱振动能量的传递，最终达到减振降噪的目的。
隔振的作用有两个方面：一是减少振源振动传至周围环境；二是减少环境振动对物体或设备的影响。
原理是在设备和底座之间安装适当的隔振器，组成隔振系统，以减少或隔离振动的传递。
有两类隔振，一是隔离机械设备通过支座传至地基的振动，以减少动力的传递，称为主动隔振；另一种是防止地基的振动通过支座传至需保护的精密设备或仪表仪器，以减小运动的传递，称为被动隔振。
在一般隔振设计中，常常用振动传递比T 和隔振率η来评价隔振效果。
主动隔振传递比等于物体传递到底座的振动与物体振动之比，被动隔振传递比等于底座传递到物体的振动与底座的振动之比，两个方向的传递比相等。
隔振效率： η=（1- T ) ·100%传递比T ： ]u D )u -/[(1u D (1T 222222++=）式中D 为阻尼比，0f u f =为激振频率和共振频率的比。
只有传递比小于1才有隔振效果。
因此T<1的区域称为隔振区。
隔振可以分为两类，一类是对作为振动源的机械设备采取隔振措施，防止振动源产生的振动向外传播，称为积极隔振或主动隔振；另一类是对怕受振动干扰的设备采取隔振措施，以减弱或消除外来振动对这一设备带来的不利影响，称为消极隔振或被动隔振。
对于薄板类结构振动及其辐射噪声，如管道、机械外壳、车船体和飞机外壳等，在其结构表面涂贴阻尼材料也能达到明显的减振降噪效果，我们称这种振动控制方式为阻尼减振。
隔振，就是在振动源与地基、地基与需要防振的机器设备之间，安装具有一定弹性的装置，使得振动源与地基之间或设备与地基之间的近刚性连接成为弹性连接，以隔离或减少振动能量的传递，达到减振降噪的目的。
单自由度系统强迫振动汇总
x2(t) Bsin( pt )
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
x2(t) Bsin( pt ) 代入 x 2nx 2 x hsin pt
h B
( 2 p2 )2 4n2 p2
tan
2np 2 p2
特解：
x2(t)
h
sin( pt )
( 2 p2 )2 4n2 p2
全解：
稳态响应： x2(t) Bsin( pt )
B
h ( 2 p2 )2 4n2 p2
简谐激振力引起的振动的全解：
tan
2np 2 p2
右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；由于瞬态振动会很快衰 减而停止，我们在研究强迫振动问题时主要关心它的稳态振动解。
第二项是特解，代表由激振力引起的稳态强迫振动，位移响应是一简谐 运动，其频率与激振力的频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。
讨论影响振幅、相位差的因素：
mx cx kx H sin pt
x 2nx 2 x hsin pt x2(t) Bsin( pt )
B
( 2
h p2 )2
4n2 p2
h
2
1
1
p
2
2
2
n
p
2
B0
1 2 2 22
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
激振力的幅 值引起的静
变形
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
（单自由度系统）
1.1 无阻尼自由振动—简谐运动 1.2 有阻尼自由振动—衰减运动 强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。
强迫振动从外界不断获取能量来补偿阻尼所消耗的能 量，使系统维持持续的振动。
外界激励周期激励简F (谐t 激T )励
第1章 单自由度系统的振动
第1章 单自由度系统的振动1.1概述机械振动是工程中常见的物理现象。
悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。
广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。
例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。
因此，机械振动就是在一定的条件下，振动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。
实际中的振动系统是很复杂的。
为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。
例如图示1.1-1就是个最简单的单自由度质量(m )—弹簧(k )系统。
如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。
振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。
但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。
机械振动分析方法很多。
对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。
由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。
由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB 语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。
本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB 语言来实现。
1.2单自由度系统的振动1.2.1 无阻尼自由振动如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述：0=+kx xm (1.2.1-1) 令mkn =2ω ，方程的通解为t b t a x n n ωωcos sin += (1.2.1-2)式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。
式(1.2.1-2)中，a 、b 为积分常数，它决定于振动的初始条件。
隔振基本原理
隔振基本原理主动隔振和被动隔振的共同点是安装减振器(弹簧)，但减振器安上去后，可能使要保护的电子产品的振动减小了。
也可能使振动比原来更大。
因此必须了解振动的基本原理，否则可能会得到相反的结果。
1．病动系统的组成机械振动时物体受交变力的作用，在莱一位置附近做往复运动。
如电动机放在一简支梁上，当电动机旋转时，由于转子的不平衡质量的惯性力引起电动机产生上下和左右方向的往复运动。
当限制其左右方向的运动时，就构成了最简单的上下方向的振动(单自由度系统的正弦振动)，如图5—50(a)所示。
亿宾微电子电动机放在简支梁上，电动机的转动中心在0点，转子质量为mf，重心偏移在口点，偏心距为‘，转子转动的角速度为m，则转动时，转子产生的离心力为EJ，zJ的垂直分量为y2，水平分量为D：。
如果限制左右方向的运动，则电动机仅受yJ的交变作用。
如果只考虑简支梁的弹性，不计其质量，电动机连同底座的质量为m，视为一个集中质量，则电动机的振动模型可表示为图5—50(b)，该图即为其力学模型。
研究机械振动时，往往把实际的复杂系统进行简化，抓主要因素，得出力学模型，然后用力学模型进行分析计算。
几种常见的振动力学模型如图5—5l所示，5—51(a)是单自由度系统自由振动；图5—51(b)是单自由度系统阻尼自由振动；图5—51(c)、5—51(d)是单自由度系统的强迫振动的两种形式。
固5—5l(c)中激振以交变力形式存在，图5—51(d)中激振以支承振动位移的形式加于系统。
物体呼弹性回复力和重力的作用，并只能在一个方向上振动的机械振动称为单自从图5—52(b)可以看出，这种振动只要一开始，就会不停地进行下去，这显然是不行的。
只要给振动系统加上阻尼f(常用阻尼比D表示)，如图5—5l(b)所示，振动就很挟消失，这种振动称为阻尼自由振动。
3．单自由度系统的阻尼强迫振动实际产品的持续振动是取外来激振对弹性系统做功，即输入能量以弥补阻尼所消耗的能量来进行的。
(完整版)第十六章振动理论基础
例16-5
在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在 A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。
解：取摆角 为广义坐标，设其变化规律为
系统动能
以平衡位置为势能零点，系统势能
由 得固有频率
1 2
J
2 2 n
1 2
(k1l 2
k2d 2 ) 2
例16-6 如图所示，质量为m ，半径为r 的圆柱体，在半径为R 的 圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微 小振动的固有频率。
解：物块在平衡位置时，弹簧静变形
以此位置为原点O，建立图示 坐标。物块受力如图，其运动 微分方程为
化简后得 系统的固有频率
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点。 则运动的初始条件： 初位移
初速度
得振幅及初位相
mm
物块的运动方程
例16-2
如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块，其 静挠度（静变形）为2mm。若将物块在梁未变形位置处无 初速释放，求系统的振动规律。
点，受力如图（b）。
阻力
或
微分方程为
化简得 令 代入上式得衰减振动微分方程的标准形式
2、微分方程的解
设
，代入式中，得特征方程
方程的两个根
通解
有三种可能情形：
★ 小阻尼情形
当
或
此时
时，称为小阻尼。
令 则 得运动方程
如图所示。由于振幅随时间不断衰减，故称为衰减振动。
衰减振动的周期
令
称为阻尼比。
则
周期Td较无阻尼自由振动的周期T 略有增加。阻尼对周期的 影响很小，可忽略不计，取Td≈T。
解：取摆角 为广义坐标，设其微振动规律为
单自由度振动及隔振
单自由度系统振动和隔振摘要：简述机械振动的概率以及分类，了解单自由度振动系统和简谐振动；利用隔振技术对振动系统进行控制。
关键词：振动机械系统单自由度系统简谐振动隔振引言：单自由度振动系统是机械振动的基础，通过研究单自由度振动有利于更好的掌握和扩展机械振动的学习，通过根据不同机械振动类型，利用隔振技术进行控制，达到工厂的要求。
例如：悬臂锤削镗杆；外圆磨床的砂轮主轴；安装在地上的床身等。
所谓的机械振动，是指物体或物体系在平衡位置附近来回往复运动。
在机械振动过程中，表示物体运动特征的某些物理量，如：速度、位移、加速度等。
将时而增大时而减小的反复变化。
在工程实际中，机械振动式非常普遍的。
如钟摆的摆动、车厢的晃动、桥梁、屋顶的振动、飞行器与船舶的振动、机床与刀具的振动、各种机械的振动等，都是机械振动。
振动按系统相应的性质可分为两类:确定振动和随机振动。
按激励的控制方式可分为：自由振动、强迫振动、自激振动、参激振动。
关于振动的问题，都是激励、响应及系统特性三者知二求一。
只有一个自由度的振动系统称为单自由度振动系统。
简称为单自由度系统，是机械振动中最基本的振动系统。
自由振动是系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动状态。
自由振动时系统不受外加激励的影响，其振动规律完全取决于系统本身的性质。
单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动，振幅、初相位取决于初始条件和系统的刚度、质量。
运动的中点就是系统的静平衡位置。
振动频率只和系统的刚度质量、有关。
当系统的刚度增加而质量不变时，系统的固有频率增高。
振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件。
由于不考虑能量耗散。
无阻尼自由振动时能量守恒，机械能的大小取决于初始条件和系统参数。
振动时动能与势能相互转化，因此，势能有一个最小值。
使得势能取最小值的位置正是系统的静平衡位置。
系统有稳定的平衡位置。
其动能和势能可以相互转化，在外界激励的作用下，才能产生振动，因此，振动总是在平衡位置的附近进行。
单自由度系统的受迫振动
为品质因子。表征共振峰的陡峭程度
1，相位差为π/2，与阻尼无关
相频特性曲线 θλ
1， 响应与激励同相 1， 响应与激励反相 阻尼越小反响现象越明显
不同形式简谐激励的稳态响应
转子偏心质量引起的受迫振动
ω
系统振动方程
M x cx kx me2 sin t
幅频特性曲线
2
(1 2 )2 (2 )2
1-2-2 周期激励作用的受迫振动响应
对于周期激励
F(t) F(t nT)
(n 0,1, 2)
F
0 F(t)
F
t
0
t
由Fourier级数展开
F (t) Fne int n
Fn
1 T
T
2 F (t)eintdt
T 2
(n 0, 1, 2,)
F (t) an cos nt bn sin nt n
线加速度法
将时间区间[ a , b ]剖分成若干个分点：a = t0 < t1<······< tn= b
ti t0 ihi 时间步长 hi ti1 t i 等时间步长 h ti1 t i
i 0,1, 2,n
假设在第 i 时间间隔[ ti , ti+1 ]内，加速度呈线性变化，即
x
xi
x(0 ) 0, x(0 ) 0
mx cx kx 0
t
0,
x(0 ) 0, x(0 ) 1 m
由冲量定理
mdx (t)dt
0dx 1
0
(t)dt
0
m 0
x(0 ) 1 m
系统对单位脉冲的响应
h(t)
1
md
en t
sin dt
第1讲 单自由度振动
用 xi , xi m 表示两个相隔m个周期的振幅，可得
x x 1 d 1 ln i ln i 2m n xi m 2m xi m
1
1.4 简谐激振下单自由度体系的响应 F 2 (t ) 2 n x (t ) n 运动方程： x x(t ) 0 sin t
a
A k c
2 2
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
1.4.6 用复数表示的稳态响应 激振力： F0 sin t → F0 e it t cx kx F0 e i；稳态响应： m x x Ae i (t ) 运动方程： 激振力、惯性力、弹性力、阻尼力矢量平衡关系：
1.4.5 主动隔振（力隔振）
图示系统运动方程
mx cx kx F0 sin t 设稳态解 x A sin(t ) 传到基础上的力为 cx kx c A sin(t ) kA sin(t )
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
A F0 sin / c
得
绝对位移运动方程：m cx kx kxg cx g x
cx kx kB sin t cB cos t m x
振动力学与结构动力学第二章1
自由振动衰减曲线
y ln
yi y i 1
T d
2
d
2 1
2
由此可得阻尼比
＝
y
( 2 ) y
2 2
为了获得 更高的精度和避免偶然 可以量测相隔 y ln yi yi m m 个周期的幅值 mT d m y ( 2 m ) ( y )
第三节 单自由度系统简谐荷载作用下的 受迫振动 一、无阻尼受迫振动
1、无阻尼受迫振动方程解
m ( t ) ky ( t ) F sin t y
运动方程的解
y (t ) y0 sin t y 0 cos t F
2 2
m ( )
sin t
2 2
因素产生的误差， y i 和 y i m , 同样有
2
d
2 m 1
2
从而得阻尼比
＝
例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使M产生侧移 25mm，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动5周 后测得的侧移为7.12mm。试求 ：（1）考虑阻尼时 的自振频率；（2）阻尼比和阻尼系数；（3）振动 10周后的振幅。 解：由y0=25mm, y0+5TD=7.12mm,有：
[ y 0 ch D t
y 0 y 0
D
sh D t ]
体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期 蠕动，上式也不含简谐振动因子，由于大阻尼作用，受 干扰后，偏离平衡位置体系不会产生振动，初始能量全 部用于克服阻尼，不足以引起振动。
3、负阻尼情况<0或c<0 阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不
02单自由度系统的振动
6
如果振系中质量块的重力与弹簧静伸长力产生力矢平 衡或力矩平衡时, 以静平衡位臵作为坐标原点而建立 的振动方程中不会出现重力项.
2 2. 方程 n x 0 的解 x
用特征根法 方程的解
2 2 n 0
in
A1
2 A12 A2
x A1 cos n t A2 si n n t
a
A mg
B
由对O 点的动量矩定理 3 J 0 ka2 ( 0 ) mg a ka2 2 J 0 ka2
1 2 m 3a ka2 3
k 0 3m
由静平衡时的力矩方程可得
3 ka2 0 mg a 0 2
n
k m1 m
n
xo
sin n t
代入初始条件
2m 2 gh k sin t m1 m k m1 m
13
13/113
§2.2 求系统固有频率的方法
1. 建立系统动力学微分方程的标准形式
a. 牛顿第二定律及动力学普遍定理 ; b. 达朗伯原理; c. 拉格朗日方程 .
例1. 均质杆OA = 3a , 质量为 m , 弹簧的刚度系数为 k , OB = a . 求: 系统振动的固有频率 . 解: 选静平衡位置为 角的起始位置 a O k a
k
k
a
O
a
st
O
O
l
mg A l
k A
A
mg
x k x0 m
x
ka2 2 0 ml
ka2 mgl 0 2 ml
17
17/113
结构振动理论3-隔振原理
所以有： ( )2 1 1
n
Td
又因为 (n )2 g / s
则
s
g
2
(1 1 Td
)
由已知条件：
360* 2 12 rad / s Td 0.2
60
可得
s
9.8
(12 )2
(1
1) 0.2
0.0414 m
4.14cm
单自由度系统的定常强迫振动
Base Isolation Technique
(t )dt
1dt 1 ＝1
由此可得
lim
0
(t
)
(t
)
单位脉冲响应:零初始条件下,系统对单位冲量产生的瞬态响应。
单自由度系统非定常响应
函数具有如下的重要性质和功能：
（1）筛选性
积分中值定理
(t ) f (t)dt lim 1/ f (t)dt lim 1/ f ( ) f ( )
传到基础上的力幅与机器上作用的简谐力幅之比称为力传递率：
FT F0
1 (2 )2
X
(1 2)2 (2 )2 Y T
可见力隔振与运动隔 振的原理是统一的。
单自由度系统的定常强迫振动
三.反馈控制隔振
1/s k2 m
F (k1x& k2&x&) m&x& k(x xg ) F
k1
4
0
0.1
时间内作用的效果，可以把它
t t
f(t)
看成是 一系列冲量微元之和 。
t 时刻冲量微元 f ( )d
作用下系统的响应为 h(t ) f ( )d t
0
t
d
第二章(第5节)单自由度系统的自由振动
西雅图Novelty 桥
Willamette 河行人桥
2.5 振动在工程中的应用
2有阻尼自由振动自由振动应用―(3)桥梁、高塔等高大建筑的消振
旧金山海湾悬索大桥
2.5 振动在工程中的应用
2有阻尼自由振动自由振动应用―(3)桥梁、高塔等高大建筑的消振
伦敦 Millennium 桥全景
2.5 振动在工程中的应用
工程上许多机械设备，如精 密机床，往往被固定在较重的混 凝土基础之上，在基础与地面之 间铺设一层弹性阻尼衬垫，以隔 绝外界振动的干扰，如图所示。 在机械系统中出现自激振动的例子很多，如机床的 切削过程，旋转轴的油膜振动，机翼的颤振等等，这都 是工程实际中还在继续研究的问题，人们企图在设计过 程中预计不发生这种振动，因为这种振动一开始就表现 为不稳定的增长运动而导致事故。
2.5 振动在工程中的应用
2有阻尼自由振动自由振动应用―(3)桥梁、高塔等高大建筑的消振
用大石块制造阻尼，以减小海浪对堤岸的冲击
2.5 振动在工程中的应用
2有阻尼自由振动自由振动应用―(自由振动，若不在 下次击球之前停止振动，将影响再次击球的方向和角度 ，为此在铁合金管外面绕上石墨纤维，并在其外面用塑 料捆扎住，由于石墨纤维外表面的库仑阻尼，使球拍在 击球后，以最快的时间稳定下来。
2.5 振动在工程中的应用
2有阻尼自由振动自由振动应用―(2)机械系统隔振
Santana轿车整车薄壁上粘贴高阻尼材料， 以达到减振降噪的效果。
2.5 振动在工程中的应用
2有阻尼自由振动自由振动应用―(3)桥梁、高塔等高大建筑的消振
高大的桥梁、铁塔等建筑物，四周用钢索拉紧。当 受到风力、车辆和行人激励时，钢索会产生振动，进而 使桥梁、铁塔等建筑物稳定性受到威胁。为此，在钢索 上装有阻尼的动力消振器。
自由度线性系统振动
弹性元件 无质量、不耗能，储存势能的元件
平动：
力、刚度和位移的单位分别为N、N / m和m 。
转动：
力矩、扭转刚度和角位移的单位分别为Nm、 Nm / rad和rad
阻尼元件 无质量、无弹性、线性耗能元件
平动：
力、阻尼系数和速度的单位分别为N、N s/ m和m/s。
第2章 单自由度线性系统的振动 2. 8单自由度系统振动的利用和隔振
2)被动隔振 （消极隔振） 将设备与环境隔离，减小环境对其它设备的影响。 目的：减小m的响应
振源是地基的运动：
隔振效果用隔振系数表示，即：
第2章 单自由度线性系统的振动 2. 8单自由度系统振动的利用和隔振
3)扭转振动的隔离 问题：转子以等角速度w旋转，在外干扰 作用下将引起 变化 目的：减小 的变化
第2章 单自由度线性系统的振动 2. 3 自由振动 无阻尼自由振动 当 时系统为无阻尼振动 方程的解为： 系统对初始扰动的响应可用初始条件代入后解出。
第2章 单自由度线性系统的振动 2. 3 自由振动
惯性测振仪原理 如图所示，被测物体的运动方程为
其中： 记录纸上记录到的是相对位移，设为U，则
第2章 单自由度线性系统的振动 2. 8单自由度系统振动的利用和隔振
稳态解为：
当阻尼为0且 即弹簧十分柔软时 时，有： ，这样U可反映A的大小。 当 时，相对振幅 机械频率计原理。
讨论 设： 当
第2章 单自由度线性系统的振动
第2章 单自由度线性系统的振动 ２.３自由振动
系统对初始条件的响应 (1) 阻尼自由振动 当 时系统出现振动 方程 的解为： 其中有两个任意常，需用初始条件确定。 初始条件： 代入上式解得：
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单自由度系统振动和隔振
摘要：简述机械振动的概率以及分类，了解单自由度振动系统和简谐振动；利用隔振技术对振动系统进行控制。
关键词：振动机械系统单自由度系统简谐振动隔振
引言：单自由度振动系统是机械振动的基础，通过研究单自由度振动有利于更好的掌握和扩展机械振动的学习，通过根据不同机械振动类型，利用隔振技术进行控制，达到工厂的要求。
例如：悬臂锤削镗杆；外圆磨床的砂轮主轴；安装在地上的床身等。
所谓的机械振动，是指物体或物体系在平衡位置附近来回往复运动。
在机械振动过程中，表示物体运动特征的某些物理量，如：速度、位移、加速度等。
将时而增大时而减小的反复变化。
在工程实际中，机械振动式非常普遍的。
如钟摆的摆动、车厢的晃动、桥梁、屋顶的振动、飞行器与船舶的振动、机床与刀具的振动、各种机械的振动等，都是机械振动。
振动按系统相应的性质可分为两类:确定振动和随机振动。
按激励的控制方式可分为：自由振动、强迫振动、自激振动、参激振动。
关于振动的问题，都是激励、响应及系统特性三者知二求一。
只有一个自由度的振动系统称为单自由度振动系统。
简称为单自由度系统，是机械振动中最基本的振动系统。
自由振动是系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动状态。
自由振动时系统不受外加激励的影响，其振动规律完全取决于系统本身的性质。
单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动，振幅、初相位取决于初始条件和系统的刚度、质量。
运动的中点就是系统的静平衡位置。
振动频率只和系统的刚度质量、有关。
当系统的刚度增加而质量不变时，系统的固有频率增高。
振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件。
由于不考虑能量耗散。
无阻尼自由振动时能量守恒，机械能的大小取决于初始条件和系统参数。
振动时动能与势能相互转化，因此，势能有一个最小值。
使得势能取最小值的位置正是系统的静平衡位置。
系统有稳定的平衡位置。
其动能和势能可以相互转化，在外界激励的作用下，才能产生振动，因此，振动总是在平衡位置的附近进行。
求解单自由度线性系统在非周期性激励下的响应的方法通常有两种：一种是Fourier变换法，另一种是脉冲响应法。
前一种方法的基本思路是：将F（t）看作是周期T趋近于无穷大时的周期函数，此时，系统基频W=1/T趋近于零依周期函数的Fourier级数展开式，此时相邻谐波之间的频率差距趋近于零。
对于线性振动系统，可将其受到的激励分为与时间无关的静载荷和与时间有关的动载荷。
分别计算系统的静力相应和动力响应，系统的总响应是静力响应与动力响应之和。
振动系统的无阻尼振动是是对实际问题的理论抽象。
客观世界是和谐的，有振动有阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。
工程机构在振动时，有一部分能量会转变成，诸如声能、热能或其他结构的机械
能而消耗掉。
产生阻尼的原因多种多样。
从能量的角度看，简谐振动的全过程有点像汽车的运动。
一开始，汽车由静止启动，在发动机引擎的作用下，汽车车速不断增大，因而动能也不断增大。
但车速越大阻尼也越大，阻力消耗的动能也越大，最终使汽车的动能不能再增加，汽车做匀速行驶。
简谐强迫振动也是如此，当在一个周期内外力系统所做的功与系统阻尼消耗的能量相等时，系统做稳态运动。
强迫振动主要有旋转失衡引起的强迫振动和支承运动引起的强迫振动。
在旋转机械中，旋转失衡是使系统振动的外界激励的主要来源。
旋转失衡的主要原因是高速旋转机械中转动部分的质量中心与转轴中心不重合。
系统的支承部分如果有运动也可使系统发生强迫振动。
精密仪器受到周围环境振动的影响而振动，车辆由于路面不平而振动等。
机械设备运转过程中，由于各种激振因素的存在，产生振动是不可避免的。
振动不仅影响机器本身的工作性能、降低精度、降低效率、缩短寿命甚至产生破坏。
而且还会影响周围的机器设备、仪表及建筑物等。
振动产生的噪音污染对人体伤害极大，所以采用有效的隔振措施是现代工业备受关注的问题。
隔振的目的各不相同，有时隔振物体时稳态振源或冲击源，他们以动态力或振动力的形式传递到基座或基础部分，此时隔振的目的就
是阻止这种力传递到基础；有时被隔振物体对振动非常敏感，而
此时的隔振目的就是为了保护被隔振物体免受从振源传来的稳定或瞬时的振动的破坏。
还有些被隔振物体在工作过程中对振动非常敏感，而它内部元件运动时却要产生不希望出现的动态载荷。
例如，汽车飞发动机，一方面汽车的发动机产生的振动能传递给汽车的乘客，另一方面又要保护发动机不受由于路面不平而产生的强烈振动的破坏。
隔振主要有主动隔振和被动隔振两种方式。
如机器本身是振源，为减少它对周围环境的影响，可使用隔振器来使它与地基隔离隔振效果用主动隔振系数表示：
主动隔振系数=隔振后传到地基上去的力/未隔振时传到地基的力
如果振源是由地基传来的，为减小地基振动的影响，也可采用隔振器将仪器与地基隔开，叫被动隔振。
用被动隔振系数表示：
被动隔振系数=隔振后机器的振幅/地基运动的振幅为了使系统中出现的振动尽快的衰减，以减少其不利影响，可以采用以下一些方法：
（1）减少或消除振源的激振动力。
找出振动的根源，例如
转子的质量偏心往往是引起振动的根源，可以采取平
衡措施来消除或减弱
（2）避免共振。
设计机器设备或机械零件时，应使其固有频率与振源的频率相差比较大，不致发生共振。
（3）适当增加系统的阻尼。
利用阻尼来消耗振动产生的能量。
可以在一些较为复杂的振动系统中采用阻尼衰减
器，如液体阻尼减振器。
或者给构件施加某种外阻尼，
如利用面间阻尼（摩擦）、在振动物体表面涂一层具有
高内耗的材料、将构件做成“层状”的结构虽然在很多情况下，振动是有害的。
但在某些场合振动死有益的。
利用振动可以有效的完成许多工艺过程，或提高某些机械的工作效率。
振动机械的优点是结构简单、制造容易、质量较轻、成本低、能耗小、安装方便、维修容易等。
传统的振动隔离，在分析问题时假定：被隔振的物体时一个没有任何弹性的理想质量块，隔振器是没有质量的理想弹簧和理想阻尼器并联而成，基础是一个刚体，质量无限大。
由假设可得:只要激振频率大于固有频率的1.414倍就有隔振效果。
一般可衰减40-60dB，简单的隔振装置很少能衰减20dB以上。
机械振动是一个很广泛的话题，有时候机械振动是有利的，有时候是有害的，我们要根据不同的情况具体分析，有害的要加以控制使其不影响机械的性能和工作质量，要采用不同的隔振技术来实现控制振动，使其向方向发展。